Бесконечно малые величины в математике

Введение

Чрезвычайно малая величина в математическом анализе; величина настолько мала, что её невозможно измерить.

В математике бесконечно малая величина – это количество, которое ближе к нулю, чем любое ненулевое действительное число, но не равно нулю. Слово «инфинитезималь» происходит от латинского *infinitesimus* XVII века, первоначально обозначавшего «бесконечно малый» элемент в последовательности. Инфинитезимали не существуют в стандартной системе действительных чисел, но существуют в других системах, таких как система сюрреальных чисел и система гипердействительных чисел, которые можно рассматривать как расширение действительных чисел, включающее как инфинитезимальные, так и бесконечно большие величины; эти расширения являются обратными друг другу. Инфинитезимали были введены в развитие математического анализа, где производная первоначально понималась как отношение двух инфинитезимальных величин. Это определение не было строго формализовано. По мере развития математического анализа инфинитезимали были заменены пределами, которые можно вычислять с использованием стандартных действительных чисел. Инфинитезимали вновь обрели популярность в XX веке благодаря разработке Абрахамом Робинсоном нестандартного анализа и гипердействительных чисел, которые, после столетий споров, показали возможность формального подхода к исчислению инфинитезимальных величин. Впоследствии математики разработали сюрреальные числа – связанную формализацию бесконечно больших и бесконечно малых величин, включающую как гипердействительные кардинальные, так и порядковые числа, являющуюся наибольшим упорядоченным полем. Владимир Арнольд писал в 1990 году:

Ключевым прозрением, позволившим сделать инфинитезимали осуществимыми математическими объектами, было то, что они могли сохранять определенные свойства, такие как угол или наклон, даже будучи бесконечно малыми. Инфинитезимали являются базовым компонентом математического анализа, разработанного Лейбницем, включая закон непрерывности и трансцендентный закон однородности. В обычной речи инфинитезимальный объект – это объект, меньший любого возможного измерения, но не нулевого размера, или настолько малый, что его нельзя отличить от нуля никакими доступными средствами. Следовательно, когда используется как прилагательное в математике, «инфинитезимальный» означает бесконечно малый, меньше любого стандартного действительного числа. Инфинитезимали часто сравниваются с другими инфинитезималями аналогичного размера, например, при исследовании производной функции. Бесконечное число инфинитезималей суммируется для вычисления интеграла. Концепция инфинитезималей была первоначально введена около 1670 года Николасом Меркатором или Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Архимед использовал то, что впоследствии стало известно как метод неделимых в своей работе «Метод механических теорем» для нахождения площадей областей и объемов тел. В своих официально опубликованных трактатах Архимед решил ту же задачу, используя метод исчерпывания. В XV веке появились работы Николая Кузанского, которые были развиты в XVII веке Иоганном Кеплером, в частности, вычисление площади круга путем представления последнего как бесконечноугольный многоугольник. Работа Саймона Стевина по десятичному представлению всех чисел в XVI веке подготовила основу для вещественного континуума. Метод Бонавентуры Кавальери по неделимым привел к расширению результатов классических авторов. Метод неделимых рассматривал геометрические фигуры как состоящие из элементов коразмерности 1. Инфинитезимали Джона Уоллиса отличались от неделимых тем, что он разлагал геометрические фигуры на бесконечно тонкие строительные блоки той же размерности, что и сама фигура, подготавливая основу для общих методов интегрального исчисления. Он использовал инфинитезимальную величину, обозначаемую 1/∞, в расчетах площади. Использование инфинитезималей Лейбницем опиралось на эвристические принципы, такие как закон непрерывности: то, что верно для конечных чисел, верно и для бесконечных чисел, и наоборот; и трансцендентный закон однородности, определяющий процедуры замены выражений, включающих неопределимые величины, выражениями, включающими только определимые величины. В XVIII веке математики Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж регулярно использовали инфинитезимали. Огюстен Луи Коши использовал инфинитезимали как при определении непрерывности в своем «Курсе анализа», так и при определении ранней формы дельта-функции Дирака. По мере того как Кантор и Дедекинд разрабатывали более абстрактные версии континуума Стевина, Поль дю Буа-Реймон написал серию работ об обогащенных инфинитезималями континуумах, основанных на скоростях роста функций. Работы дю Буа-Реймона вдохновили Эмиля Бореля и Торальфа Сколема. Борель явно связал работы дю Буа-Реймона с работами Коши о скоростях роста инфинитезималей. Сколем в 1934 году разработал первые нестандартные модели арифметики. Математическая реализация как закона непрерывности, так и инфинитезималей была достигнута Абрахамом Робинсоном в 1961 году, который разработал нестандартный анализ, основанный на более ранних работах Эдвина Хьюитта в 1948 году и Ежи Лося в 1955 году. Гипердействительные числа реализуют обогащенный инфинитезималями континуум, а принцип переноса реализует закон непрерывности Лейбница. Функция стандартной части реализует адекватность Ферма.

The crucial insight for making infinitesimals feasible mathematical entities was that they could still retain certain properties such as angle or slope, even if these entities were infinitely small. Infinitesimals are a basic ingredient in calculus as developed by Leibniz, including the law of continuity and the transcendental law of homogeneity. In common speech, an infinitesimal object is an object that is smaller than any feasible measurement, but not zero in size—or, so small that it cannot be distinguished from zero by any available means. Hence, when used as an adjective in mathematics, infinitesimal means infinitely small, smaller than any standard real number. Infinitesimals are often compared to other infinitesimals of similar size, as in examining the derivative of a function. An infinite number of infinitesimals are summed to calculate an integral. The concept of infinitesimals was originally introduced around 1670 by either Nicolaus Mercator or Gottfried Wilhelm Leibniz. Archimedes used what eventually came to be known as the method of indivisibles in his work The Method of Mechanical Theorems to find areas of regions and volumes of solids. In his formal published treatises, Archimedes solved the same problem using the method of exhaustion. The 15th century saw the work of Nicholas of Cusa, further developed in the 17th century by Johannes Kepler, in particular, the calculation of the area of a circle by representing the latter as an infinite sided polygon. Simon Stevin's work on the decimal representation of all numbers in the 16th century prepared the ground for the real continuum. Bonaventura Cavalieri's method of indivisibles led to an extension of the results of the classical authors. The method of indivisibles related to geometrical figures as being composed of entities of codimension 1. John Wallis's infinitesimals differed from indivisibles in that he would decompose geometrical figures into infinitely thin building blocks of the same dimension as the figure, preparing the ground for general methods of the integral calculus. He exploited an infinitesimal denoted 1/∞ in area calculations. The use of infinitesimals by Leibniz relied upon heuristic principles, such as the law of continuity: what succeeds for the finite numbers succeeds also for the infinite numbers and vice versa; and the transcendental law of homogeneity that specifies procedures for replacing expressions involving unassignable quantities, by expressions involving only assignable ones. The 18th century saw routine use of infinitesimals by mathematicians such as Leonhard Euler and Joseph Louis Lagrange. Augustin Louis Cauchy exploited infinitesimals both in defining continuity in his Cours d'Analyse, and in defining an early form of a Dirac delta function. As Cantor and Dedekind were developing more abstract versions of Stevin's continuum, Paul du Bois Reymond wrote a series of papers on infinitesimal enriched continua based on growth rates of functions. Du Bois Reymond's work inspired both Émile Borel and Thoralf Skolem. Borel explicitly linked du Bois Reymond's work to Cauchy's work on rates of growth of infinitesimals. Skolem developed the first non standard models of arithmetic in 1934. A mathematical implementation of both the law of continuity and infinitesimals was achieved by Abraham Robinson in 1961, who developed nonstandard analysis based on earlier work by Edwin Hewitt in 1948 and Jerzy Łoś in 1955. The hyperreals implement an infinitesimal enriched continuum and the transfer principle implements Leibniz's law of continuity. The standard part function implements Fermat's adequality.

История бесконечно малых

Понятие бесконечно малых величин обсуждалось в Элеатской школе. Греческий математик Архимед (ок. 287 до н.э. – ок. 212 до н.э.) в своей работе «Метод механических теорем» первым предложил логически строгое определение бесконечно малых. Его свойство Архимеда определяет число x как бесконечное, если оно удовлетворяет определённым условиям, а как бесконечно малое, если x ≠ 0 и аналогичный набор условий выполняется для x и обратных величин положительных целых чисел. Система чисел называется архимедовой, если она не содержит бесконечно больших или бесконечно малых элементов. Английский математик Джон Уоллис ввёл выражение 1/∞ в своей книге 1655 года «Трактат о конических сечениях». Символ, обозначающий обратную величину или инверсию ∞, является символическим представлением математической концепции бесконечно малого. В своём «Трактате о конических сечениях» Уоллис также обсуждает концепцию взаимосвязи между символическим представлением бесконечно малого 1/∞, которое он ввёл, и концепцией бесконечности, для которой он ввёл символ ∞. Эта концепция предполагает мысленный эксперимент по добавлению бесконечного числа параллелограммов бесконечно малой ширины для получения конечной площади. Эта концепция стала предшественницей современного метода интегрирования, используемого в интегральном исчислении. Концептуальные истоки понятия бесконечно малого 1/∞ можно проследить до греческого философа Зенона Элейского, чей парадокс Зенона о дихотомии был первой математической концепцией, рассматривающей взаимосвязь между конечным интервалом и интервалом, стремящимся к интервалу бесконечно малого размера. Бесконечно малые были предметом политических и религиозных споров в Европе XVII века, включая запрет на использование бесконечно малых, изданный церковнослужителями в Риме в 1632 году. До изобретения математического анализа математики могли вычислять касательные линии, используя метод адекватности Пьера де Ферма и метод нормалей Рене Декарта. Существуют споры среди учёных относительно того, был ли этот метод основан на бесконечно малых величинах или на алгебре. Когда Ньютон и Лейбниц изобрели математический анализ, они использовали бесконечно малые, флюксии Ньютона и дифференциалы Лейбница. Использование бесконечно малых величин подверглось критике епископа Беркли как ошибочное в его работе «Аналитик». Математики, учёные и инженеры продолжали использовать бесконечно малые величины для получения верных результатов. Во второй половине XIX века математический анализ был переформулирован Огюстеном Луи Коши, Бернардом Болцано, Карлом Вейерштрассом, Кантором, Дедекиндом и другими, с использованием (ε, δ)-определения предела и теории множеств. В то время как последователи Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса стремились избавить анализ от бесконечно малых величин, а их философские союзники, такие как Бертран Рассел и Рудольф Карнап, утверждали, что бесконечно малые величины являются псевдоконцепциями, Герман Коэн и его Марбургская школа неокантианства стремились разработать рабочую логику бесконечно малых величин. Математическое изучение систем, содержащих бесконечно малые величины, продолжалось благодаря работам Леви-Чивиты, Джузеппе Веронезе, Поля дю Буа Реймона и других на протяжении конца XIX и XX веков, что задокументировано Филиппом Эрлихом (2006). В XX веке было установлено, что бесконечно малые величины могут служить основой для математического анализа (см. гиперреальные числа).

The notion of infinitely small quantities was discussed by the Eleatic School. The Greek mathematician Archimedes (c. 287 BC – c. 212 BC), in The Method of Mechanical Theorems, was the first to propose a logically rigorous definition of infinitesimals. His Archimedean property defines a number x as infinite if it satisfies the conditions , and infinitesimal if x ≠ 0 and a similar set of conditions holds for x and the reciprocals of the positive integers. A number system is said to be Archimedean if it contains no infinite or infinitesimal members. The English mathematician John Wallis introduced the expression 1/∞ in his 1655 book Treatise on the Conic Sections. The symbol, which denotes the reciprocal, or inverse, of ∞, is the symbolic representation of the mathematical concept of an infinitesimal. In his Treatise on the Conic Sections, Wallis also discusses the concept of a relationship between the symbolic representation of infinitesimal 1/∞ that he introduced and the concept of infinity for which he introduced the symbol ∞. The concept suggests a thought experiment of adding an infinite number of parallelograms of infinitesimal width to form a finite area. This concept was the predecessor to the modern method of integration used in integral calculus. The conceptual origins of the concept of the infinitesimal 1/∞ can be traced as far back as the Greek philosopher Zeno of Elea, whose Zeno's dichotomy paradox was the first mathematical concept to consider the relationship between a finite interval and an interval approaching that of an infinitesimal sized interval. Infinitesimals were the subject of political and religious controversies in 17th century Europe, including a ban on infinitesimals issued by clerics in Rome in 1632. Prior to the invention of calculus mathematicians were able to calculate tangent lines using Pierre de Fermat's method of adequality and René Descartes' method of normals. There is debate among scholars as to whether the method was infinitesimal or algebraic in nature. When Newton and Leibniz invented the calculus, they made use of infinitesimals, Newton's fluxions and Leibniz' differential. The use of infinitesimals was attacked as incorrect by Bishop Berkeley in his work The Analyst. Mathematicians, scientists, and engineers continued to use infinitesimals to produce correct results. In the second half of the nineteenth century, the calculus was reformulated by Augustin Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, Cantor, Dedekind, and others using the (ε, δ) definition of limit and set theory. While the followers of Cantor, Dedekind, and Weierstrass sought to rid analysis of infinitesimals, and their philosophical allies like Bertrand Russell and Rudolf Carnap declared that infinitesimals are pseudoconcepts, Hermann Cohen and his Marburg school of neo Kantianism sought to develop a working logic of infinitesimals. The mathematical study of systems containing infinitesimals continued through the work of Levi Civita, Giuseppe Veronese, Paul du Bois Reymond, and others, throughout the late nineteenth and the twentieth centuries, as documented by Philip Ehrlich (2006). In the 20th century, it was found that infinitesimals could serve as a basis for calculus and analysis (see hyperreal numbers).

Серия Лоранта

Примером из категории 1 выше является поле ряда Лорана с конечным числом отрицательных степеней. Например, ряд Лорана, состоящий только из постоянного члена 1, отождествляется с действительным числом 1, а ряд, содержащий только линейный член x, рассматривается как простейшая бесконечно малая величина, из которой строятся все остальные. Используется лексикографический порядок, что эквивалентно пренебрежению более высокими степенями x по сравнению с более низкими. Дэвид О. Талл называет эту систему "сверхдействительными числами", что не следует путать с системой сверхдействительных чисел Дейлса и Вудина. Поскольку ряд Тейлора, вычисленный при значении, заданном рядом Лорана, остаётся рядом Лорана, эта система может быть использована для дифференциального и интегрального исчисления трансцендентных функций, если они аналитичны. Эти бесконечно малые величины обладают свойствами первого порядка, отличными от свойств действительных чисел, поскольку, например, у основной бесконечно малой величины x нет квадратного корня.

Поле Леви-Сивита

Поле Леви-Чивиты аналогично ряду Лорана, но является алгебраически замкнутым. Например, у базисного инфинитезимального x есть квадратный корень. Это поле достаточно развито для проведения значительного объема анализа, однако его элементы все еще могут быть представлены на компьютере так же, как вещественные числа представляются в формате с плавающей точкой.

Транссерии

Поле транссерий больше, чем поле Леви-Чивиты. Примером транссерии является:

где для целей упорядочения x рассматривается как бесконечно большое.

Сюрреалистические цифры

Сюрреалистические числа Конвея относятся к категории 2, за исключением того, что сюрреалистические числа образуют собственный класс, а не множество. Это система, разработанная таким образом, чтобы охватывать максимально возможное разнообразие чисел по величине, однако она не обязательно ориентирована на удобство проведения анализа в том смысле, что любое упорядоченное поле является подполем сюрреалистических чисел. Для сюрреалистических чисел существует естественное расширение экспоненциальной функции.

Гиперреальные

Наиболее распространенной техникой для работы с бесконечно малыми величинами являются гиперреальные числа, разработанные Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах. Они относятся к категории 3, описанной выше, поскольку были специально созданы для того, чтобы весь классический анализ можно было перенести из области действительных чисел. Это свойство естественного переноса всех отношений известно как принцип переноса, доказанный Ежи Лосем в 1955 году. Например, трансцендентная функция sin имеет естественный аналог *sin, который принимает гиперреальное число на вход и выдает гиперреальное число на выход, и аналогично множество натуральных чисел имеет естественный аналог , который содержит как конечные, так и бесконечные целые числа. Утверждение, такое как , переносится на гиперреальные числа как .

Суперреалисты

Система сверхреальных чисел Дейла и Вуддина является обобщением гиперреальных чисел. Она отличается от системы сверхреальных чисел, определённой Дэвидом Тэллом.

Двойные числа

В линейной алгебре двойственные числа расширяют множество действительных чисел, добавляя один бесконечно малый элемент ε, обладающий свойством ε² = 0 (то есть ε является нильпотентным). Любое двойственное число имеет вид z = a + bε, где a и b – однозначно определенные действительные числа. Одно из применений двойственных чисел – автоматическое дифференцирование. Это применение можно обобщить на многочлены от n переменных, используя внешнюю алгебру n-мерного векторного пространства.

Гладкий бесконечно малый анализ

Синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий бесконечно малый анализ имеют корни в теории категорий. Этот подход отходит от классической логики, используемой в обычной математике, отрицая всеобщую применимость закона исключённого третьего – то есть, отрицание того, что a не равно b, не обязательно означает, что a равно b. Тогда можно определить нильквадратный или нильпотентный бесконечно малый. Это число x, для которого x² = 0 истинно, но x = 0 не обязательно истинно одновременно. Поскольку в основе лежит интуиционистская логика, не сразу очевидно, как классифицировать эту систему относительно классов 1, 2 и 3. Сначала необходимо разработать интуиционистские аналоги этих классов.

Бесконечно малые дельта-функции

Коши использовал бесконечно малую величину для записи единичного импульса, бесконечно высокой и узкой дельта-функции дираковского типа, удовлетворяющей определенным свойствам, в ряде статей 1827 года, см. Лаугвиц (1989). Коши определил бесконечно малую величину в 1821 году (Cours d'Analyse) как последовательность, стремящуюся к нулю. А именно, такая предел-последовательность становится бесконечно малой в терминологии Коши и Лазара Карно. Современные подходы теории множеств позволяют определить бесконечно малые величины посредством построения ультрастепени, где предел-последовательность становится бесконечно малой в смысле класса эквивалентности по отношению, определенному на основе подходящего ультрафильтра. В статье Ямашиты (2007) содержится библиография о современных дельта-функциях Дирака в контексте континуума, обогащенного бесконечно малыми, предоставляемого гипердействительными числами.

Бесконечно малые в преподавании

В учебники по математическому исчислению, основанные на бесконечно малых числах, входят классический "Математический анализ сделан простым" Сильвануса П. Томпсона (с девизом "Что один дурак может сделать, другой тоже сможет") и немецкий текст Mathematik für Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie Р. Нойендорфа. Пионерские работы, основанные на бесконечно малых числах Абрахама Робинсона, включают тексты Строяна (с 1972 года) и Говарда Джерома Кейслера (Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach). Студенты легко воспринимают интуитивное понятие бесконечно малой разности 1 "0,999", где "0,999" отличается от своего стандартного значения как действительное число 1 и переинтерпретируется как бесконечная, но конечная расширенная десятичная дробь, строго меньшая 1. Другим элементарным текстом по исчислению, использующим теорию бесконечно малых чисел, разработанную Робинсоном, является "Infinitesimal Calculus" Хенле и Клейнберга, впервые опубликованный в 1979 году. Авторы вводят язык логики первого порядка и демонстрируют построение модели первого порядка гипердействительных чисел. В тексте дается введение в основы интегрального и дифференциального исчисления в одном измерении, включая последовательности и ряды функций. В приложении они также рассматривают расширение своей модели до гипергипердействительных чисел и демонстрируют некоторые применения расширенной модели. Элементарный текст по исчислению, основанный на гладком бесконечно малом анализе, – это Bell, John L. (2008). "Введение в бесконечно малый анализ", 2-е издание. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521887182. Более поздний текст по исчислению, использующий бесконечно малые числа, – это Dawson, C. Bryan (2022), "Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue", Oxford University Press. ISBN 9780192895608.

Функции, стремящиеся к нулю

В связанном, но несколько ином смысле, который развился из первоначального определения "бесконечно малого" как бесконечно малой величины, этот термин также использовался для обозначения функции, стремящейся к нулю. Более точно, Loomis и Sternberg в книге "Advanced Calculus" определяют класс функций бесконечно малых, , как подмножество функций между нормированными векторными пространствами , а также два связанных класса (см. нотацию "Большое O") посредством , и . Обычно выполняются включения множеств. То, что эти включения являются строгими, демонстрируют вещественнозначные функции вещественной переменной , , и : но и . В качестве применения этих определений, отображение между нормированными векторными пространствами определяется как дифференцируемое в точке , если существует [то есть, ограниченное линейное отображение] такое, что в некоторой окрестности точки . Если такое отображение существует, оно единственно; это отображение называется дифференциалом и обозначается , что совпадает с традиционным обозначением классического (хотя и логически несостоятельного) представления дифференциала как бесконечно малой "части" F. Это определение представляет собой обобщение обычного определения дифференцируемости для векторнозначных функций (открытых подмножеств) евклидовых пространств.

Массив случайных переменных

Пусть $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ — вероятностное пространство и пусть $\{X_n\}_{n \geq 1}$ — массив случайных переменных. Этот массив называется инфинитезимальным, если для каждого $\epsilon > 0$ выполняется:

Понятие инфинитезимального массива существенно в некоторых центральных предельных теоремах, и из монотонности оператора математического ожидания легко следует, что любой массив, удовлетворяющий условию Линдеберга, является инфинитезимальным, что делает его важным в центральной предельной теореме Линдеберга (обобщении центральной предельной теоремы).