Кіріспе

Көбінесе функциялардың туындысы түрінде анықталатын сызықтық оператор.

Математикада дифференциалдық оператор – дифференциалдау операторының функциясы ретінде анықталған оператор. Біріншіден, дифференциалдауды функцияны қабылдап, басқа функцияны қайтаратын абстракт операция ретінде қарастыру пайдалы (компьютер ғылымындағы жоғары ретті функция стилінде). Бұл мақалада негізінен ең көп таралған сызықтық дифференциалдық операторлар қарастырылады. Дегенмен, Шварц туындысы сияқты сызықтық емес дифференциалдық операторлар да бар.

Фурье интерпретациясы

Дифференциалдық оператор P және оның символы Фурье түрлендіруімен байланысты келесідей табиғи түрде пайда болады. ƒ – Шварц функциясы болсын. Онда кері Фурье түрлендіруі бойынша,

Бұл P-ді Фурье көбейткіші ретінде көрсетеді. ξ-де ең көп полиномдық өсу шарттарын қанағаттандыратын және бұл интегралдың дұрыс екенін қамтамасыз ететін p(x,ξ функцияларының жалпы класы псевдодифференциалдық операторларды құрайды.

Мысалдар

Дифференциалдық оператор эллипстік болып есептеледі, егер оның символы инверттік болса; яғни, кез келген нөлдік емес үшін, бундельдік бейнелеу инверттік болады. Компактты көптеуде, эллипстік теориядан келіп, P операторы Фредгольм операторы болып табылады: оның шекті өлшемді ядросы және коядросы бар. Гиперболалық және параболалық дербес дифференциалдық теңдеулерді зерттеуде, бас символдың нөлдері дербес дифференциалдық теңдеудің сипаттамаларына сәйкес келеді. Физикалық ғылымдарда қолданылуында, Лаплас операторы сияқты операторлар дербес дифференциалдық теңдеулерді құру және шешуде маңызды рөл атқарады. Дифференциалдық топологияда, сыртқы туынды және Ли туынды операторлары маңызға ие. Абстрактты алгебрада, туынды ұғымы дифференциалдық операторларды жалпылауға мүмкіндік береді, олар есептеуді қажет етпейді. Мұндай жалпылаулар алгебралық геометрияда және коммутативтік алгебрада жиі қолданылады. Сондай-ақ, "Jet (математика)" бетіне қараңыз. Комплексті айнымалы z = x + iy функцияларының дамуында, кейде күрделі функция екі нақты айнымалы x және y функциясы ретінде қарастырылады. Виртингер туындылары қолданылады, олар дербес дифференциалдық операторлар болып табылады: Бұл тәсіл бірнеше комплекс айнымалылардың функцияларын және мотор айнымалының функцияларын зерттеу үшін де қолданылады. Дель дифференциалдық операторы, сонымен қатар набла деп те аталады, маңызды векторлық дифференциалдық оператор болып табылады. Ол физикада, мысалы, Максвелл теңдеулерінің дифференциалдық түрінде жиі кездеседі. Үш өлшемді картезиандық координаттарда дель, градиентті анықтайды және әртүрлі объектілердің ротор, дивергенция және лапласиандарын есептеу үшін қолданылады.

Тарих

Дифференциалдық операторды дербес түрде жазу тұжырымдамалық қадамы 1800 жылы Луи Франсуа Антуан Арбогастқа жатқызылады.

Мысал

Sturm–Liouville операторы – формальды өзін-өзі қосатын оператордың кең танымал мысалы. Бұл екінші реттік сызықтық дифференциалдық оператор L мына түрде жазылуы мүмкін.

Бұл қасиет жоғарыда келтірілген формальды қосымша анықтамасын қолдану арқылы дәлелдеуге болады. Бұл оператор Sturm–Liouville теориясының орталық ұғымы болып табылады, онда осы оператордың өзіндік функциялары (өзіндік векторларға аналогты) қарастырылады.

Дифференциалдық операторлардың қасиеттері

Дифференциация сызықтық, яғни

мұнда f және g функциялар, ал a тұрақты сан. D-дегі функциялық коэффициенттері бар кез келген полином да дифференциалдық оператор болып табылады. Біз дифференциалдық операторларды келесі ереже бойынша құрастыра аламыз:

Мұнда бірнеше мәселе туындайды: біріншіден, D2 операторындағы кез келген функциялық коэффициенттері D1 қолданылуы қажетті реттен кем емес, дифференциалдануы керек. Мұндай операторлардың сақинасын алу үшін, пайдаланылған коэффициенттердің барлық реттегі туындыларын ескеруіміз керек. Екіншіден, бұл сақина коммутативті болмайды: gD операторы, әдетте, Dg операторынан өзгеше. Мысалы, кванттық механикадағы негізгі қатынас:

Ал, тұрақты коэффициенттері бар полиномдардан құралған операторлардың ішкі сақинасы, керісінше, коммутативті болады. Оны басқаша да сипаттауға болады: ол ауысуға инвариант операторлардан тұрады. Дифференциалдық операторлар да қабаттасу теоремасын орындайды.

Бір өзгермелі көпжақты дифференциалдық операторлар сақинасы

Егер R сақина болса, онда D және X айнымалыларындағы R үстіндегі коммутативті емес полином сақинасы, ал I – DX – XD – 1 арқылы туындаған екі жақты идеал. Содан кейін, R үстіндегі бір айнымалы полиномдық дифференциалды операторлардың сақинасы – бұл бөлу сақинасы. Бұл коммутативті емес қарапайым сақина. Кез келген элементті R-дің сызықтық комбинациясы түріндегі мономиалдардың бірегей жолымен жазуға болады. Ол полиномдарды Евклидтік бөлудің аналогын қолдайды. (Стандартты туынды үшін) дифференциалдық модульдер модульдермен сәйкес келеді.

шексіз реттік дифференциалдық оператор

Шексіз ретті дифференциалдық оператор – (шамамен) жалпы символы полином емес, қуат қатарынан тұратын дифференциалдық оператор.

Бидифференциалдық оператор

Екі функцияға әсер ететін дифференциалдық оператор бидифференциалдық оператор деп аталады. Бұл түсінік, мысалы, Пуассон алгебрасының деформациялық квантталуындағы ассоциативтік алгебра құрылымында кездеседі.

Микродифференциалдық оператор

Микродифференциалдық оператор — көпқырлы емес, котангенттік шоғырдың ашық ішкі жиынындағы оператордың бір түрі. Ол дифференциалдық оператор ұғымын котангенттік шоғырға кеңейту арқылы алынады.