Кіріспе

Математикалық тұрақты e негізіндегі логарифм.

Санның табиғи логарифмі – математикалық тұрақты e негізіндегі логарифмі, яғни иррационалды және трансценденттік сан, шамамен тең. x санының табиғи логарифмі әдетте ln x, loge x түрінде жазылады, немесе кейде, егер e негізі айқын болмаса, жай ғана log x деп белгіленеді. Бұл әсіресе логарифмнің аргументі бір символ болмағанда, қате түсініктіктерді болдырмау үшін жасалады. x санының табиғи логарифмі – e санының қанша дәрежеге көтерілгенде x санына тең болатынын көрсетеді. Мысалы, ln 7.5 = 2.0149, себебі e^(2.0149) = 7.5. e санының табиғи логарифмі ln e = 1, өйткені e^1 = e, ал 1 санының табиғи логарифмі ln 1 = 0, себебі e^0 = 1. Кез келген оң нақты сан a үшін табиғи логарифмді 1-ден a-ға дейінгі 1/x қисығының астындағы аудан ретінде анықтауға болады (егер 0 < a < 1 болса, аудан теріс болады). Бұл анықтаманың қарапайымдылығы, табиғи логарифмге қатысты көптеген формулаларда да кездеседі, осыдан "табиғи" термині пайда болған. Табиғи логарифмнің анықтамасын теріс сандар мен нөлдік емес барлық комплекс сандар үшін де логарифм мәндерін алу үшін кеңейтуге болады, бірақ бұл көпмәнді функцияға әкеледі: толықрақ ақпарат алу үшін комплекс логарифм тақырыбына жүгініңіз. Табиғи логарифм функциясы, оң нақты айнымалының нақты мәнді функциясы ретінде қарастырылса, экспоненциалдық функцияның кері функциясы болып табылады, соның салдарынан келесі теңдіктер орындалады:

Барлық логарифмдар сияқты, табиғи логарифм да оң сандардың көбейтілуін қосуға айналдырады:

Логарифмдер 1-ден өзге кез келген оң негізде анықталуы мүмкін, тек e ғана емес. Дегенмен, басқа негіздегі логарифмдер табиғи логарифмнен тек тұрақты көбейткішпен ғана ерекшеленеді және оның арқылы анықталуы мүмкін. Логарифмдер белгісіз шаманың көрсеткіш ретінде келетін теңдеулерді шешуге көмектеседі. Мысалы, логарифмдер жартылай ыдырау периоды, ыдырау тұрақтысы немесе экспоненциалдық ыдырау есептеріндегі белгісіз уақытты табу үшін қолданылады. Олар математиканың және ғылымның көптеген салаларында маңызды және күрделі пайызды есептеуге қатысты мәселелерді шешуге пайдаланылады.

Тарих

Табиғи логарифм туралы ұғымды Грегор де Сент-Винсент және Альфонс Антонио де Сараса 1649 жылға дейін жасаған. Олардың жұмысы 1=xy = 1 теңдеуімен берілген гиперболаның ауданын табу, яғни гиперболалық секторлардың ауданын анықтау арқылы квадраттауды қамтиды. Олардың шешімі қазір табиғи логарифммен байланысты қасиеттері бар қажетті "гиперболалық логарифм" функциясын тудырды. Николас Меркатор өзінің 1668 жылы жарияланған "Логарифмотехния" еңбегінде табиғи логарифмды алғашқы рет атады, бірақ математика мұғалімі Джон Спейдель 1619 жылы іс жүзінде табиғи логарифмдердің кестесін құрастырған болатын. Спейделлдің логарифмдері e негізінде екендігі айтылған, бірақ мәндер бүтін сандар түрінде берілгендіктен бұл толыққанды дұрыс емес. Дегенмен, химия сияқты басқа салаларда лог x жалпы логарифмді (10-дық негізде) білдіру үшін қолданылуы мүмкін. Бұл сондай-ақ компьютер ғылымында, әсіресе уақыттың күрделілігін қарастырғанда, екілік (2-ші негізде) логарифмді де білдіруі мүмкін.

Анықтамалар

Табиғи логарифмді бірнеше эквивалентті тәсілмен анықтауға болады.

Толық анықтама

Оң, нақты санның табиғи логарифмі 1/x = y теңдеуімен берілген гипербола графигінің 1/x = 1 және 1/x = a арасындағы астындағы ауданы ретінде анықталуы мүмкін. Бұл Фубини теоремасымен келесідей есептелуге болады:

Тиімді есептеу

Егер x > 1 болса, x мәні 1-ге неғұрлым жақын болса, оның 1-ге ортақталған Тейлор қатарының жуысу жылдамдығы соғұрлым жоғары болады. Логарифммен байланысты теңдіктерді осы артықшылықты пайдалану үшін қолдануға болады:

Мұндай тәсілдер калькуляторлар пайда болмас бұрын, сандық кестелерге жүгініп, жоғарыда көрсетілген сияқты амалдар орындау арқылы қолданылған.

Есептеу күрделілігі

Табиғи логарифмді арифметикалық-геометриялық орташа арқылы есептеудің есептеу күрделілігі (жоғарыда аталған екі әдіс үшін де) осы жерде келтірілген. Мұнда n – табиғи логарифмді қанша таңбалы дәлдікпен есептеу керектігін көрсетеді, ал M(n) – екі n таңбалы санды көбейтудің есептеу күрделілігін білдіреді.

Күрделі логарифмдер

Экспоненциалдық функцияны кез келген кездейсоқ кешенді сан z үшін e^(z) сияқты кешенді санды беретін функцияға кеңейтуге болады; жай ғана x=z кешенді болатын шексіз қатарды қолданыңыз. Бұл экспоненциалдық функцияны кері аудару арқылы күрделі логарифм құруға болады, ол обыкновенный логарифмнің көптеген қасиеттерін көрсетеді. Мұнда екі қиындық бар: ешқандай x үшін 1=e^(x) = 0 теңдігі орындалмайды; және 1=e^(2iπ) = 1 = e^(0) екені белгілі болады. Көбейту қасиеті күрделі экспоненциалдық функция үшін де сақталады, сондықтан 1=e^(z) = e^(z+2kiπ), барлық кешенді z және k бүтін саны үшін.

Осылайша, логарифмді бүкіл кешенді жазықтықта анықтау мүмкін емес, тіпті оның көп мәнді болуы мүмкін. Кез келген күрделі логарифмды кез келген 2iπ-нің бүтін еселігін қосу арқылы "эквивалентті" логарифмге өзгертуге болады. Күрделі логарифм тек кесілген жазықтықта ғана бір мәнді болады. Мысалы, немесе немесе және т.б.; және оны 2iπ, 10iπ немесе -6iπ деп анықтауға болады, және т.б.