Введение

Логарифм к основанию математической константы e.

Естественный логарифм числа — это его логарифм к основанию математической константы e, которая является иррациональным и трансцендентным числом, приблизительно равным. Естественный логарифм x обычно записывается как ln x, loge x или иногда, если основание e подразумевается, просто log x. Для ясности иногда добавляются скобки, что дает ln(x), loge(x) или log(x). Это особенно полезно, когда аргумент логарифма не является одним символом, чтобы избежать двусмысленности. Естественный логарифм x — это степень, в которую нужно возвести e, чтобы получить x. Например, ln 7.5 равен 2.0149, потому что e^(2.0149) ≈ 7.5. Естественный логарифм e, ln e, равен 1, потому что e^(1) = e, а естественный логарифм 1 равен 0, так как e^(0) = 1. Естественный логарифм можно определить для любого положительного действительного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a (при этом площадь считается отрицательной, если 0 < a < 1). Простота этого определения, которая встречается во многих других формулах, включающих естественный логарифм, обуславливает термин "естественный". Определение естественного логарифма можно расширить для получения значений логарифма для отрицательных чисел и для всех ненулевых комплексных чисел, хотя это приводит к многозначной функции: подробности см. в разделе «Комплексный логарифм». Функция натурального логарифма, рассматриваемая как функция действительного значения положительной действительной переменной, является обратной функцией экспоненциальной функции, что приводит к следующим тождествам:

Как и все логарифмы, натуральный логарифм преобразует умножение положительных чисел в сложение:

Логарифмы можно определить для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e. Однако логарифмы в других основаниях отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и могут быть определены через него.

Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестное является показателем степени другой величины. Например, логарифмы используются для вычисления периода полураспада, константы распада или неизвестного времени в задачах экспоненциального распада. Они важны во многих областях математики и естественных наук и используются для решения задач, связанных со сложными процентами.

История

Концепция натурального логарифма была разработана Грегуаром де Сен-Винсентом и Альфонсом Антонио де Сараса до 1649 года. Их работа включала в себя квадратуру гиперболы с уравнением 1 = xy = 1, посредством определения площади гиперболических секторов. Их решение породило необходимую функцию "гиперболического логарифма", которая обладала свойствами, ныне ассоциируемыми с натуральным логарифмом. Одним из первых упоминаний о натуральном логарифме является работа Николаса Меркатора "Logarithmotechnia", опубликованная в 1668 году, хотя учитель математики Джон Спейделл уже в 1619 году составил таблицу, фактически представляющую собой натуральные логарифмы. Утверждалось, что логарифмы Спейделла были по основанию e, однако это не совсем верно из-за сложностей, связанных с представлением значений в виде целых чисел. В других областях, таких как химия, log x может использоваться для обозначения десятичного (по основанию 10) логарифма. Он также может относиться к двоичному (по основанию 2) логарифму в контексте информатики, особенно при обсуждении временной сложности алгоритмов.

Определения

Естественный логарифм может быть определён несколькими равнозначными способами.

Интегральное определение

Естественный логарифм положительного действительного числа a может быть определен как площадь под графиком гиперболы с уравнением y = 1/x между x = 1 и x = a. Это интеграл, который можно вывести с помощью теоремы Фубини следующим образом:

Эффективные вычисления

Для x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее сходится ряд Тейлора, центрированный в точке 1. Это можно использовать, опираясь на тождества, связанные с логарифмом: подобные методы применялись до появления калькуляторов, используя числовые таблицы и выполняя подобные вычисления.

Комплексность вычислений

Вычислительная сложность вычисления натурального логарифма с использованием среднего арифметико-геометрического (для обоих вышеуказанных методов) равна. Здесь n — количество знаков точности, с которой необходимо вычислить натуральный логарифм, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.

Комплексные логарифмы

Экспоненциальную функцию можно расширить до функции, которая принимает любое комплексное число z и возвращает e^(z); достаточно использовать бесконечный ряд, где x – комплексное число, равное z. Эту экспоненциальную функцию можно обратить, чтобы получить комплексный логарифм, обладающий большинством свойств обычного логарифма. Однако возникают две трудности: не существует такого x, чтобы e^(x) = 1 = 0; и оказывается, что e^(2πi) = 1 = e^(0). Поскольку мультипликативное свойство сохраняется для комплексной экспоненциальной функции, то e^(z) = e^(z + 2πki) для любого комплексного числа z и целого числа k.

Следовательно, логарифм нельзя определить на всей комплексной плоскости, и даже в этом случае он многозначен – любой комплексный логарифм можно заменить на "эквивалентный", прибавляя к нему любое целое кратное 2πi. Комплексный логарифм однозначен только на разрезанной плоскости. Например, или или , и т.д.; при этом можно определить как 2πi, или 10πi, или −6πi и так далее.