Z-трансформациясы: дискретті сигналдарды жиілік доменіне түрлендіру

Кіріспе

Уақыт доменінен жиілік доменіне сигналдарды түрлендіретін математикалық түрлендіру. Математика және сигналдарды өңдеуде Z түрлендіруі дискретті уақыт сигналын, яғни нақты немесе кешен сандар тізбесін, кешен мәнді жиілік доменіне (z домені немесе z жазықтығы) түрлендіреді. Оны Лаплас түрлендіруінің дискретті уақытқа сәйкес келетін түрі (s домені немесе s жазықтығы) деп қарастыруға болады. Бұл ұқсастық уақыт өлшеміндегі есептеулер теориясында зерттеледі. Ұзындығы үзділіссіз уақыт Фурье түрлендіруі s доменінің тік осында (жолға салынған ос) есептелсе, дискретті уақыт Фурье түрлендіруі z доменінің бірлік шеңбері бойында есептеледі. S доменінің сол жақ жарты жазықтығы z доменінің бірлік шеңберінің ішкі аймағына, ал s доменінің оң жақ жарты жазықтығы z доменінің бірлік шеңберінен тыс аймаққа бейнеленеді. Цифрлық сүзгілерді жобалаудың бір жолы – аналогтық жобаларды алып, оларды s доменінен z доменіне бейнелейтін билинейрлік түрлендіруден өткізу, содан кейін тексеру, өзгерту немесе сандық жуықтау арқылы цифрлық сүзгіні жасау. Мұндай әдістер көбінесе кешен бірлікке жақын, яғни төмен жиіліктерде ғана дәл болады.

Тарих

Қазіргі таңда Z-трансформациясы деп танылған, цифрлық басқару жүйелерін талдау және жобалаудың маңызды құралы болып табылатын негізгі ұғым, 20 ғасырдың ортасында пайда болған кезде толығымен жаңа емес еді. Оның бастапқы қағидаларын француз математигі Пьер Симон Лапласқа қана қолдануға болады, ол Лаплас трансформациясымен, тығыз байланысты математикалық әдіспен танымал. Дегенмен, қазір біз Z-трансформациясы деп түсінетінін нақты формулировкалау және қолдану 1947 жылы Витольд Гуревич және оның әріптестері едәуір дамытты. Олардың жұмысына сол кезде радар технологиясы саласында маңыздылығы артып келе жатқан дискретті деректерді басқару жүйелері тудырған қиындықтар ықпал етті. Z-трансформациясы тұрақты коэффициенттері бар сызықтық айырмашылық теңдеулерін шешудің жүйелі және тиімді әдісін ұсынды, олар дискретті уақыт сигналдарын және жүйелерді талдау кезінде кеңінен қолданылады. Бұл әдіс одан әрі жетілдіріліп, 1952 жылы ресми атауын "Z-трансформациясы" деп алды, бұл Колумбия университетінің дискретті деректерді басқару тобының мүшелері Джон Р. Рагаццини мен Лотфи А. Задехтің еңбегінің арқасында мүмкін болды. Олардың жұмысы Z-трансформациясының математикалық негізін нығайтқан ғана емес, сонымен қатар оның қолданылу аясын, әсіресе электротехника және басқару жүйелері саласында кеңейтті. Z-трансформациясының дамуы Рагаццини мен Задехпен тоқтап қалған жоқ. Кейіннен Элияху И. Жюри модификацияланған немесе кеңейтілген Z-трансформациясы деп аталатын маңызды кеңейтімді енгізді. Жюридің жұмысы Z-трансформациясының қолданылуын және сенімділігін арттырды, әсіресе бастапқы шарттарды басқаруда және цифрлық басқару жүйелерін талдау үшін толыққанды базаны қамтамасыз етті. Бұл кеңейтілген формулировка дискретті уақыт басқару жүйелерін жобалау және тұрақтылығын талдауда маңызды рөл атқарды, сондай-ақ цифрлық сигналдарды өңдеу саласына үлкен үлес қосты. Қызықтысы, Z-трансформациясының тұжырымдық негіздері комбинаторика және ықтималдық теориясындағы қуатты құрал ретінде белгілі, кең математикалық ұғыммен байланысты. Бұл байланыс 1730 жылы ықтималдық теориясын дамытуға үлкен үлес қосқан Абрахам де Муавр көрсеткен. Де Муавр ықтималдық мәселелерін шешу үшін функцияларды пайдаланды, соның нәтижесінде Z-трансформациясына айналатын нәрсенің негізін қалады. Математикалық тұрғыдан алғанда, Z-трансформациясын Лоран қатарының нақты мысалы ретінде қарастыруға болады, онда зерттелетін сандар тізбегі аналитикалық функцияның (Лоран) кеңеюіндегі коэффициенттер ретінде түсіндіріледі. Бұл көзқарас Z-трансформациясының терең математикалық тамырларын ғана емес, сонымен қатар математика мен инженерлік салаларының әртүрлі салаларында оның әмбебаптығын және кең қолданылуын көрсетеді.

The foundational concept now recognized as the Z transform, which is a cornerstone in the analysis and design of digital control systems, was not entirely novel when it emerged in the mid 20th century. Its embryonic principles can be traced back to the work of the French mathematician Pierre Simon Laplace, who is better known for the Laplace transform, a closely related mathematical technique. However, the explicit formulation and application of what we now understand as the Z transform were significantly advanced in 1947 by Witold Hurewicz and colleagues. Their work was motivated by the challenges presented by sampled data control systems, which were becoming increasingly relevant in the context of radar technology during that period. The Z transform provided a systematic and effective method for solving linear difference equations with constant coefficients, which are ubiquitous in the analysis of discrete time signals and systems. The method was further refined and gained its official nomenclature, "the Z transform," in 1952, thanks to the efforts of John R. Ragazzini and Lotfi A. Zadeh, who were part of the sampled data control group at Columbia University. Their work not only solidified the mathematical framework of the Z transform but also expanded its application scope, particularly in the field of electrical engineering and control systems. The development of the Z transform did not halt with Ragazzini and Zadeh. A notable extension, known as the modified or advanced Z transform, was later introduced by Eliahu I. Jury. Jury's work extended the applicability and robustness of the Z transform, especially in handling initial conditions and providing a more comprehensive framework for the analysis of digital control systems. This advanced formulation has played a pivotal role in the design and stability analysis of discrete time control systems, contributing significantly to the field of digital signal processing. Interestingly, the conceptual underpinnings of the Z transform intersect with a broader mathematical concept known as the method of generating functions, a powerful tool in combinatorics and probability theory. This connection was hinted at as early as 1730 by Abraham de Moivre, a pioneering figure in the development of probability theory. De Moivre utilized generating functions to solve problems in probability, laying the groundwork for what would eventually evolve into the Z transform. From a mathematical perspective, the Z transform can be viewed as a specific instance of a Laurent series, where the sequence of numbers under investigation is interpreted as the coefficients in the (Laurent) expansion of an analytic function. This perspective not only highlights the deep mathematical roots of the Z transform but also illustrates its versatility and broad applicability across different branches of mathematics and engineering.

Анықтама

Z түрлендіруді бір жақты немесе екі жақты түрлендіру ретінде анықтауға болады. (Дәл Лаплас түрлендіруінде бір жақты және екі жақты түрлері болатындай.)

Ынтымақтастық аймағы

Ықылас аймағы (ROC) – комплекс жазықтықтағы Z-трансформациясының қосындысы жиналатын (яғни, шамасы шексіздікке ұмтылмайтын) нүктелер жиыны.

Нөлдер мен полюстер

Алгебраның негізгі теоремасынан келіп, алымындағы түбірлер (нөлдерге сәйкес) және бөліміндегі түбірлер (полюстерге сәйкес) болады. Трансферт функциясын нөлдер мен полюстер арқылы қайта жазу:

мұнда –ші нөл және –ші полюс. Нөлдер мен полюстер көбінесе комплекс сандар болып келеді және оларды комплекс жазықтықта (z жазықтықта) көрсеткенде, бұл полюс-нөл диаграммасы деп аталады. Сонымен қатар, нөлдер мен полюстер және де болуы мүмкін. Егер біз осы полюстер мен нөлдерді, сондай-ақ көп реттік нөлдер мен полюстерді ескерсек, нөлдер мен полюстердің саны әрқашан тең болады. Бөлімді көбейткіштерге жіктеу арқылы, бөлшектерге жіктеу қолданылуы мүмкін, одан кейін оны уақыт доменіне қайта түрлендіруге болады. Осылай істеу нәтижесінде импульстік жауап және жүйенің сызықтық тұрақты коэффициенттері бар айырмашылық теңдеуі шығады.

Шығыс реакциясы

Егер мұндай жүйе сигналмен басқарылса, онда шығысы осы сигналға тең болады. -ны жартылай бөлшектерге жіктеуді орындап, содан кейін кері Z-түрлендіруді қолдану арқылы шығысты табуға болады. Іс жүзінде, -ны көбейтуден бұрын оны жартылай түрде жіктеу көбінесе пайдалы, бұл оңай есептелетін кері Z-түрлендірулері бар мүшелерді қамтитын түрін жасауға мүмкіндік береді.