Преобразование Z: от теории к применению в цифровой обработке сигналов.
Z-transform
Z-преобразование: математический инструмент для анализа дискретных сигналов в частотной области. Связь с преобразованием Лапласа и Фурье. Применение в обработке сигналов.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическое преобразование, преобразующее сигналы из временной области в частотную область.
Mathematical transform which converts signals from the time domain to the frequency domain
В математике и обработке сигналов Z-преобразование преобразует дискретный во времени сигнал, представляющий собой последовательность вещественных или комплексных чисел, в комплексное представление в частотной области (z-область или z-плоскость). Его можно рассматривать как эквивалент преобразования Лапласа для дискретного времени (s-область или s-плоскость). Это сходство изучается в теории исчисления по шкале времени. В то время как непрерывное преобразование Фурье вычисляется на вертикальной оси s-области (мнимая ось), дискретное преобразование Фурье вычисляется вдоль единичной окружности z-области. Левая полуплоскость s-области отображается в область внутри единичной окружности z-области, а правая полуплоскость s-области – в область вне единичной окружности z-области. Один из способов разработки цифровых фильтров заключается в использовании аналоговых схем, подвергая их билинейному преобразованию, которое переводит их из s-области в z-область, а затем создании цифрового фильтра путем анализа, манипулирования или численного приближения. Такие методы обычно не отличаются высокой точностью, за исключением окрестности комплексной единицы, то есть на низких частотах.
In mathematics and signal processing, the Z transform converts a discrete time signal, which is a sequence of real or complex numbers, into a complex valued frequency domain (the z domain or z plane) representation. It can be considered a discrete time equivalent of the Laplace transform (the s domain or s plane). This similarity is explored in the theory of time scale calculus. While the continuous time Fourier transform is evaluated on the s domain's vertical axis (the imaginary axis), the discrete time Fourier transform is evaluated along the z domain's unit circle. The s domain's left half plane maps to the area inside the z domain's unit circle, while the s domain's right half plane maps to the area outside of the z domain's unit circle. One of the means of designing digital filters is to take analog designs, subject them to a bilinear transform which maps them from the s domain to the z domain, and then produce the digital filter by inspection, manipulation, or numerical approximation. Such methods tend not to be accurate except in the vicinity of the complex unity, i. e. at low frequencies.
История
Основополагающая концепция, ныне известная как Z-преобразование, являющаяся краеугольным камнем в анализе и проектировании цифровых систем управления, не была совершенно новой, когда она появилась в середине XX века. Ее зарождающиеся принципы можно проследить в работах французского математика Пьера Симона Лапласа, который более известен преобразованием Лапласа – тесно связанной математической техникой. Однако, явное формулирование и применение того, что мы теперь понимаем под Z-преобразованием, были значительно продвинуты в 1947 году Витольдом Гуревичем и его коллегами. Их работа была мотивирована задачами, возникающими при работе с системами управления дискретизированными данными, которые в тот период становились все более актуальными в контексте радиолокационных технологий. Z-преобразование предоставляло систематический и эффективный метод решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, которые широко используются в анализе дискретных сигналов и систем. Метод был дополнительно усовершенствован и получил официальное название «Z-преобразование» в 1952 году благодаря усилиям Джона Р. Рагаццини и Лотфи А. Заде, работавших в группе управления дискретизированными данными в Колумбийском университете. Их работа не только укрепила математическую основу Z-преобразования, но и расширила область его применения, особенно в электротехнике и системах управления. Развитие Z-преобразования не остановилось на работах Рагаццини и Заде. Значительное расширение, известное как модифицированное или расширенное Z-преобразование, позднее было предложено Элияху И. Джури. Работа Джури расширила применимость и устойчивость Z-преобразования, особенно при обработке начальных условий и предоставлении более полной основы для анализа цифровых систем управления. Эта расширенная формулировка сыграла ключевую роль в проектировании и анализе устойчивости дискретных систем управления, внеся значительный вклад в область цифровой обработки сигналов. Интересно, что концептуальные основы Z-преобразования пересекаются с более широкой математической концепцией, известной как метод производящих функций – мощным инструментом в комбинаторике и теории вероятностей. Эта связь была намечена еще в 1730 году Авраамом де Муавром, пионером в развитии теории вероятностей. Де Муавр использовал производящие функции для решения задач теории вероятностей, заложив основу для того, что в конечном итоге превратилось в Z-преобразование. С математической точки зрения, Z-преобразование можно рассматривать как частный случай ряда Лорана, где последовательность рассматриваемых чисел интерпретируется как коэффициенты в (Лорановском) разложении аналитической функции. Эта перспектива не только подчеркивает глубокие математические корни Z-преобразования, но и иллюстрирует его универсальность и широкое применение в различных областях математики и инженерии.
The foundational concept now recognized as the Z transform, which is a cornerstone in the analysis and design of digital control systems, was not entirely novel when it emerged in the mid 20th century. Its embryonic principles can be traced back to the work of the French mathematician Pierre Simon Laplace, who is better known for the Laplace transform, a closely related mathematical technique. However, the explicit formulation and application of what we now understand as the Z transform were significantly advanced in 1947 by Witold Hurewicz and colleagues. Their work was motivated by the challenges presented by sampled data control systems, which were becoming increasingly relevant in the context of radar technology during that period. The Z transform provided a systematic and effective method for solving linear difference equations with constant coefficients, which are ubiquitous in the analysis of discrete time signals and systems. The method was further refined and gained its official nomenclature, "the Z transform," in 1952, thanks to the efforts of John R. Ragazzini and Lotfi A. Zadeh, who were part of the sampled data control group at Columbia University. Their work not only solidified the mathematical framework of the Z transform but also expanded its application scope, particularly in the field of electrical engineering and control systems. The development of the Z transform did not halt with Ragazzini and Zadeh. A notable extension, known as the modified or advanced Z transform, was later introduced by Eliahu I. Jury. Jury's work extended the applicability and robustness of the Z transform, especially in handling initial conditions and providing a more comprehensive framework for the analysis of digital control systems. This advanced formulation has played a pivotal role in the design and stability analysis of discrete time control systems, contributing significantly to the field of digital signal processing. Interestingly, the conceptual underpinnings of the Z transform intersect with a broader mathematical concept known as the method of generating functions, a powerful tool in combinatorics and probability theory. This connection was hinted at as early as 1730 by Abraham de Moivre, a pioneering figure in the development of probability theory. De Moivre utilized generating functions to solve problems in probability, laying the groundwork for what would eventually evolve into the Z transform. From a mathematical perspective, the Z transform can be viewed as a specific instance of a Laurent series, where the sequence of numbers under investigation is interpreted as the coefficients in the (Laurent) expansion of an analytic function. This perspective not only highlights the deep mathematical roots of the Z transform but also illustrates its versatility and broad applicability across different branches of mathematics and engineering.
Определение
Трансформация Z может быть определена как односторонняя или двусторонняя, подобно тому, как существуют одностороннее и двустороннее преобразования Лапласа.
The Z transform can be defined as either a one sided or two sided transform. (Just like we have the one sided Laplace transform and the two sided Laplace transform.)
Регион сближения
Область сходимости (ROC) — это множество точек на комплексной плоскости, для которых сумма Z-преобразования сходится (то есть не стремится к бесконечности по величине).
The region of convergence (ROC) is the set of points in the complex plane for which the Z transform summation converges (i. e. doesn't blow up in magnitude to infinity):
Нули и полюса
Из фундаментальной теоремы алгебры числитель имеет корни (соответствующие нулям функции) и знаменатель имеет корни (соответствующие полюсам функции). Переписывая передаточную функцию в терминах нулей и полюсов:
From the fundamental theorem of algebra the numerator has roots (corresponding to zeros of ) and the denominator has roots (corresponding to poles). Rewriting the transfer function in terms of zeros and poles
где – -й нуль, а – -й полюс. Нули и полюса обычно являются комплексными числами, и при отображении их на комплексную плоскость (z-плоскость) получается диаграмма полюсов и нулей. Кроме того, нули и полюса могут существовать в точках и . Если учитывать эти полюса и нули, а также нули и полюса кратных порядков, то количество нулей и полюсов всегда будет одинаковым. Разложив знаменатель на множители, можно использовать разложение на простейшие дроби, которое затем можно преобразовать обратно в область времени. В результате получится импульсная характеристика и линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами системы.
where is the zero and is the pole. The zeros and poles are commonly complex and when plotted on the complex plane (z plane) it is called the pole–zero plot. In addition, there may also exist zeros and poles at and If we take these poles and zeros as well as multiple order zeros and poles into consideration, the number of zeros and poles are always equal. By factoring the denominator, partial fraction decomposition can be used, which can then be transformed back to the time domain. Doing so would result in the impulse response and the linear constant coefficient difference equation of the system.
Ответ на выходе
Если такая система возбуждается сигналом, то выходной сигнал равен . Выполняя разложение на простейшие дроби для и затем применяя обратное Z-преобразование, можно найти выходной сигнал. На практике часто бывает полезно выполнить разложение на простейшие дроби для перед умножением этого выражения на , чтобы получить форму, содержащую слагаемые с легко вычисляемыми обратными Z-преобразованиями.
If such a system is driven by a signal then the output is By performing partial fraction decomposition on and then taking the inverse Z transform the output can be found. In practice, it is often useful to fractionally decompose before multiplying that quantity by to generate a form of which has terms with easily computable inverse Z transforms.