Инфинитезимальдік сандар негізіндегі қатаң математикалық есептеулер

Кіріспе

Калькуль сандар туралы логикалық қатаң түсінікті пайдалана отырып

Calculus using a logically rigorous notion of infinitesimal numbers

The history of calculus is fraught with philosophical debates about the meaning and logical validity of fluxions or infinitesimal numbers. The standard way to resolve these debates is to define the operations of calculus using epsilon–delta procedures rather than infinitesimals. Nonstandard analysis instead reformulates the calculus using a logically rigorous notion of infinitesimal numbers. Nonstandard analysis originated in the early 1960s by the mathematician Abraham Robinson. He wrote:

the idea of infinitely small or infinitesimal quantities seems to appeal naturally to our intuition. At any rate, the use of infinitesimals was widespread during the formative stages of the Differential and Integral Calculus. As for the objection that the distance between two distinct real numbers cannot be infinitely small, Gottfried Wilhelm Leibniz argued that the theory of infinitesimals implies the introduction of ideal numbers which might be infinitely small or infinitely large compared with the real numbers but which were to possess the same properties as the latter. Robinson argued that this law of continuity of Leibniz's is a precursor of the transfer principle. Robinson continued:

However, neither he nor his disciples and successors were able to give a rational development leading up to a system of this sort. As a result, the theory of infinitesimals gradually fell into disrepute and was replaced eventually by the classical theory of limits. Robinson continues:

Leibniz's ideas can be fully vindicated and they lead to a novel and fruitful approach to classical Analysis and to many other branches of mathematics. The key to our method is provided by the detailed analysis of the relation between mathematical languages and mathematical structures which lies at the bottom of contemporary model theory. In 1973, intuitionist Arend Heyting praised nonstandard analysis as "a standard model of important mathematical research".

Калькуль тарихы флюксиялар немесе сандар мағынасы және логикалық дұрыстығы туралы философиялық пікірталастарға толы. Бұл пікірталастарды шешудің стандартты тәсілі – сандық есептеу операцияларын эпсилон-дельта процедураларын қолдану арқылы, сандар емес, анықтау. Стандартты емес талдау керісінше, сандардың логикалық қатаң түсінігін пайдалана отырып, калькульді қайта құрайды. Стандартты емес талдауды 1960-шы жылдардың басында математик Абрахам Робинсон жасаған. Ол былай деп жазды:

шегі шексіз кішкентай немесе сандар идеясы біздің интуициямызға табиғи түрде ұнайды. Қалай болғанда да, дифференциалдық және интегралдық калькульдің қалыптасу кезеңінде сандарды қолдану кеңінен таралған. Екі нақты санның арасындағы қашықтық шексіз кіші бола алмайды деген қарсылыққа қатысты Готфрид Вильгельм Лейбниц сандар теориясы нақты сандармен салыстырғанда шексіз кіші немесе шексіз үлкен болуы мүмкін идеалдық сандарды енгізуді білдіреді, бірақ соңғысы сияқты қасиеттерге ие болады деп мәлімдеді. Робинсон Лейбництің үздіксіздік заңы – көшіру принципінің бастауышы деп дәлелдеді. Алайда, оның өзі де, оның шәкірттері де, ізбасарлары да мұндай жүйеге әкелетін ұтымды дамуды көрсетуге батылмады. Нәтижесінде сандар теориясы біртіндеп беделден тайып, ақырында шектердің классикалық теориясымен алмастырылды. Робинсон жалғастырады:

Лейбництің идеяларын толық растауға болады және олар классикалық талдаудың жаңа және жемісті тәсілдеріне, сондай-ақ математиканың көптеген басқа салаларына әкеледі. Біздің әдісіміздің кілті – қазіргі заманғы модель теориясының негізінде жатқан математикалық тілдер мен математикалық құрылымдар арасындағы қатынастың егжей-тегжейлі талдауы. 1973 жылы интуиционист Аренд Хейтинг стандартты емес талдауды «маңызды математикалық зерттеулердің стандартты моделі» деп бағалады.

Кіріспе

Реттелген өрістің нөлдік емес элементі, егер және тек егер оның абсолюттік мәні, кез келген стандартты табиғи сан үшін, сол өрістің түріндегі кез келген элементінен кіші болса, шексіз кіші деп аталады. Шексіз кіші элементтері бар реттелген өрістер Архимед емес өрістер деп те аталады. Жалпы алғанда, стандартты емес талдау – бұл стандартты емес модельдер мен трансферт принципіне негізделген математиканың кез келген түрі. Нақты сандар үшін трансферт принципін қанағаттандыратын өріс нақты жабық өріс деп аталады, ал стандартты емес нақты талдау осы өрістерді нақты сандардың стандартты емес модельдері ретінде пайдаланады. Робинсонның бастапқы тәсілі нақты сандар өрісінің стандартты емес модельдеріне негізделген. Оның «Стандартты емес талдау» тақырыбындағы классикалық кітабы 1966 жылы жарық көрді және әлі күнге дейін басылып жатыр. 88-бетінде Робинсон былай деп жазады: Арифметиканың стандартты емес модельдерінің бар екендігін Торалф Сколем (1934 ж.) анықтады. Сколемнің әдісі ультракүш құрылысын болжайды [ ].

Шексіз кішіліктерді есептеуді әзірлеу үшін бірнеше техникалық мәселелерді шешу қажет. Мысалы, шексіз кіші элементтері бар реттелген өрісті құру жеткіліксіз. Кейбір маңызды идеяларды талқылау үшін гипернақтық сандар туралы мақаланы қараңыз.

Мотивация

Стандартты емес талдауды қарастыруға кем дегенде үш себеп бар: тарихи, оқу-әдістемелік және техникалық.

Тарихи

Ньютон мен Лейбництің шексіз шағын есептеудің алғашқы дамуының көп бөлігі шексіз шағын сан және жоғалып бара жатқан шама сияқты өрнектерді қолдана отырып жасалды. Гипернақтық сандар туралы мақалада көрсетілгендей, бұл тұжырымдар Джордж Беркли және басқалар тарапынан кеңінен сынға алынды. Инфинитезималдарды қолдана отырып, талдаудың дәйекті және қанағаттанарлық теориясын жасау қиындығы алғаш рет Абрахам Робинсонмен шешілді. ("Шексіз шағын есептеуді кеңейту") шексіз шағын сандарды қамтитын сақинаның құрылысын ұсынды. Сақина нақты сандардың тізбектерінен құрылды. Екі тізбек тек шектеулі элементтерде ғана ерекшеленсе, олар эквивалентті деп есептелді. Арифметикалық амалдар элемент бойынша анықталды. Дегенмен, осылай құрылған сақинада нөлдік бөлгіштер бар, сондықтан ол өріс бола алмайды.

Техникалық

Соңғы жұмыстарда стандартты емес талдаудан алынған түсініктерді қолдана отырып талдау жасалды, әсіресе статистика мен математикалық физиканың лимиттеу процестерін зерттеуде. Серджио Альбеверио және авторлар осы қолданыстардың кейбірін талқылайды.

Стандартты емес талдау әдістері

Стандартты емес талдаудың екі негізгі, әртүрлі тәсілі бар: семантикалық немесе модельдік-теориялық тәсіл және синтаксистік тәсіл. Бұл екі тәсіл де математиканың басқа да салаларына, соның ішінде сандар теориясы, алгебра және топологияға, талдаудан тыс қолданылады. Робинсонның стандартты емес талдаудың бастапқы тұжырымдамасы семантикалық тәсіл санатына жатады. Ол өз еңбектерінде дамытқандай, теорияның модельдерін (әсіресе қаныққан модельдерді) зерттеуге негізделген. Робинсонның жұмысы алғаш рет пайда болғаннан бері, суперструктуралар деп аталатын таза жиындық-теориялық объектілерді пайдалану арқылы қарапайым семантикалық тәсіл (Элиас Законның еңбегінің арқасында) жасалды. Бұл тәсілде теорияның моделі S жиынының үстіндегі V(S) деп аталатын объектімен ауыстырылады. V(S) суперструктурасынан бастап, ультракөлік құрылымын пайдалана отырып және V(S) → *V(S) бейнелеуі арқылы, перенос принципіне сәйкес келетін *V(S) объектісі құрастырылады. * бейнелеуі V(S) және *V(S) формальды қасиеттерін байланыстырады. Сонымен қатар, саналатын қанығу деп аталатын қанығудың қарапайым түрін қарастыруға болады. Бұл қарапайым тәсіл модельдік теория немесе логика бойынша мамандар емес математиктер үшін де ыңғайлы. Синтаксистік тәсілді түсіну және қолдану үшін логика мен модельдік теорияны әлдеқайда аз білу қажет. Бұл тәсілді 1970-ші жылдардың ортасында математик Эдвард Нельсон әзірледі. Нельсон стандартты емес талдаудың толық аксиоматикалық тұжырымдамасын енгізді, оны ол ішкі жиындық теориясы (IST) деп атады. IST – Зермело-Френкель жиындық теориясының (ZF) кеңейтімі, өйткені негізгі екілік қатынас ∈-мен қатар, ол математикалық әлемнің элементтеріне қолданылатын және осы жаңа предикатпен ой жүгірту үшін кейбір аксиомалармен бірге жаңа бірлік предикат "стандартты" енгізеді. Синтаксистік стандартты емес талдау жиын құру принципін (формальды түрде түсіністік аксиомасы деп аталады) қолдануда үлкен сақтық қажет, математиктер оны әдетте берілген деп санайды. Нельсон атап өткендей, IST-дағы ойлау қатесі – заңсыз жиын құру. Мысалы, IST-да элементтері дәл стандартты бүтін сандар болатын жиын жоқ (мұнда "стандартты" жаңа предикаттың мағынасында түсініледі). Заңсыз жиындарды құрудан аулақ болу үшін, ішкі жиындарды анықтау үшін тек ZFC предикаттарын ғана пайдалану керек. Бұл ZF аксиомаларынан гөрі стандартты емес талдаумен үйлесімді жиындық теориясының аксиомаларын табуға тырысады.

There are two, main, different approaches to nonstandard analysis: the semantic or model theoretic approach and the syntactic approach. Both of these approaches apply to other areas of mathematics beyond analysis, including number theory, algebra and topology. Robinson's original formulation of nonstandard analysis falls into the category of the semantic approach. As developed by him in his papers, it is based on studying models (in particular saturated models) of a theory. Since Robinson's work first appeared, a simpler semantic approach (due to Elias Zakon) has been developed using purely set theoretic objects called superstructures. In this approach a model of a theory is replaced by an object called a superstructure V(S) over a set S. Starting from a superstructure V(S) one constructs another object V(S) using the ultrapower construction together with a mapping V(S) → *V(S) that satisfies the transfer principle. The map * relates formal properties of V(S) and V(S). Moreover, it is possible to consider a simpler form of saturation called countable saturation. This simplified approach is also more suitable for use by mathematicians who are not specialists in model theory or logic. The syntactic approach requires much less logic and model theory to understand and use. This approach was developed in the mid 1970s by the mathematician Edward Nelson. Nelson introduced an entirely axiomatic formulation of nonstandard analysis that he called internal set theory (IST). IST is an extension of Zermelo–Fraenkel set theory (ZF) in that alongside the basic binary membership relation ∈, it introduces a new unary predicate standard, which can be applied to elements of the mathematical universe together with some axioms for reasoning with this new predicate. Syntactic nonstandard analysis requires a great deal of care in applying the principle of set formation (formally known as the axiom of comprehension), which mathematicians usually take for granted. As Nelson points out, a fallacy in reasoning in IST is that of illegal set formation. For instance, there is no set in IST whose elements are precisely the standard integers (here standard is understood in the sense of the new predicate). To avoid illegal set formation, one must only use predicates of ZFC to define subsets. which tries to find set theory axioms more compatible with the nonstandard analysis than the axioms of ZF.

Робинсонның кітабы

Абрахам Робинсонның "Стандартты емес талдау" кітабы 1966 жылы жарық көрді. Кітапта дамытылған тақырыптардың кейбіреулері 1961 жылы жарық көрген, сол аттас мақаласында (Робинсон 1961) бұрыннан-ақ кездесетін. Стандартты емес талдауды толыққанды алғаш рет қарастырумен қатар, кітапта Робинсон математика тарихы бойынша қалыптасқан кейбір пікірлерге қарсы шығып, стандартты емес талдауға дейінгі шексіз кіші шамаларды қарама-қайшылықты ұғымдар деп қарастыруға қарсылық білдіретін егжей-тегжейлі тарихи бөлім бар. Осылайша, Робинсон Аугустин Луи Кошидің "қосынды теоремасының" үздіксіз функциялар қатарының жуықталуына қатысты "Анализ курсы" еңбегінде дұрыс емес екендігі туралы пікірді сынап, оның гипотезасына шексіз кішіге негізделген түсіндірме ұсынады, нәтижесінде дұрыс теорема туындайды.

Өзгермейтін субкеңістік мәселесі

Абрахам Робинсон мен Аллен Бернштейн Гильберт кеңістігіндегі әрбір полиномдық тығыз сызықтық оператордың инвариантты кіші кеңістігі бар екенін дәлелдеу үшін стандартты емес талдауды қолданды. Гильберт кеңістігінде H кеңістігінде T операторы берілген болса, H-дегі v нүктесінің T итерациялары бойынша орбитасын қарастырайық. Грам-Шмидт процедурасын қолдану арқылы H үшін ортонормалды негіз (ei) аламыз. (Hi) H кеңістігінің "координаттық" кіші кеңістіктерінің сәйкес келетін тізбегі болсын. (ei) негізіне қатысты T операторын көрсететін ai,j матрицасы дерлік жоғары үшбұрышты болып табылады, яғни ai+1,i коэффициенттері ғана нөлдік емес диагональ астындағы коэффициенттер болып табылады. Бернштейн мен Робинсон T операторы полиномдық тығыз болса, онда aw+1,w матрицалық коэффициенті инфинитезималды болатын w гиперконектік индексі бар екенін көрсетеді. Келесі кезде H кеңістігінің Hw кіші кеңістігін қарастырайық. Егер Hw кіші кеңістігіндегі y векторының нормасы шекті болса, онда T(y) Hw кіші кеңістігіне инфинитезималды жақын болады. Tw операторы Hw кіші кеңістігінде әрекет етеді, мұнда Pw – Hw кіші кеңістігіне ортогональды проекция. q(T) операторы тығыз болатын q полиномын белгілейік. Hw кіші кеңістігі гиперконектік өлшемнің ішкі бөлігі болып табылады. Операторлардың шекті өлшемді кешен векторлық кеңістікте жоғары үшбұрыштандырылуын көшіру арқылы Hw үшін k 1-ден w-ге дейін өтетін ішкі ортонормалды Гильберт кеңістігі негізі (ek) бар, сонда әрқайсысы сәйкес k өлшемді кіші кеңістіктер Ek T инвариантты болады. Πk проекциясын Ek кіші кеңістігіне проекциялау деп белгілейік. H кеңістігіндегі шекті нормасы бар нөлдік емес x векторы үшін q(T)(x) нөлдік емес деп есептеуге болады. q(T) операторы тығыз болғандықтан, (q(Tw))(x) q(T)(x) операторына инфинитезималды жақын болады, сондықтан. Енді j индексін табу керек, ол үшін ол максимальды болады. Сонда Ej кіші кеңістігіне инфинитезималды жақын стандартты элементтердің кеңістігі ізделіп отырған инвариантты кіші кеңістік болады. Бернштейн мен Робинсонның мақаласының алдын ала басылымын оқығаннан кейін Пол Халмос олардың дәлелін стандартты әдістерді қолдана отырып қайта интерпретациялады. Екі мақала да "Тынық мұхиты математика журналының" бір санында бірінен соң бірі жарық көрді. Халмостың дәлелінде қолданылған кейбір идеялар көп жылдардан кейін Халмостың квази-үшбұрышты операторлар туралы жұмысында қайта пайда болды.

Abraham Robinson and Allen Bernstein used nonstandard analysis to prove that every polynomially compact linear operator on a Hilbert space has an invariant subspace. Given an operator T on Hilbert space H, consider the orbit of a point v in H under the iterates of T. Applying Gram–Schmidt one obtains an orthonormal basis (ei) for H. Let (Hi) be the corresponding nested sequence of "coordinate" subspaces of H. The matrix ai,j expressing T with respect to (ei) is almost upper triangular, in the sense that the coefficients ai+1,i are the only nonzero sub diagonal coefficients. Bernstein and Robinson show that if T is polynomially compact, then there is a hyperfinite index w such that the matrix coefficient aw+1,w is infinitesimal. Next, consider the subspace Hw of H. If y in Hw has finite norm, then T(y) is infinitely close to Hw. Now let Tw be the operator acting on Hw, where Pw is the orthogonal projection to Hw. Denote by q the polynomial such that q(T) is compact. The subspace Hw is internal of hyperfinite dimension. By transferring upper triangularisation of operators of finite dimensional complex vector space, there is an internal orthonormal Hilbert space basis (ek) for Hw where k runs from 1 to w, such that each of the corresponding k dimensional subspaces Ek is T invariant. Denote by Πk the projection to the subspace Ek. For a nonzero vector x of finite norm in H, one can assume that q(T)(x) is nonzero, or to fix ideas. Since q(T) is a compact operator, (q(Tw))(x) is infinitely close to q(T)(x) and therefore one has also Now let j be the greatest index such that Then the space of all standard elements infinitely close to Ej is the desired invariant subspace. Upon reading a preprint of the Bernstein and Robinson paper, Paul Halmos reinterpreted their proof using standard techniques. Both papers appeared back to back in the same issue of the Pacific Journal of Mathematics. Some of the ideas used in Halmos' proof reappeared many years later in Halmos' own work on quasi triangular operators.

Басқа қолданбалар

Бұрынғы белгілі нәтижелерді қайта қарастыру немесе жаңадан дәлелдеу жолында басқа да нәтижелер алынды. Тетуро Камеедің жеке ергодикалық теоремасын дәлелдеуі, сондай-ақ Л. ван ден Дриз және Алекс Уилкидің полиномиялық өсуі бар топтардағы Громов теоремасын қарастыруы ерекше қызығушылық тудырады. Ларри Маневиц пен Шмуэль Вайнбергер алгебралық топологиядағы бір нәтижені дәлелдеу үшін стандартты емес талдауды қолданды. Алайда, стандартты емес талдаудың маңызды үлесі стандартты емес жиын теориясының жаңа, кеңейтілген тілін қолданатын түсініктер мен теоремаларда жатыр. Математикадағы жаңа қолданыстардың қатарында ықтималдық, өлшемдер теориясы, үздіксіз емес және гармониялық талдау салаларына жаңа көзқарастар бар. Сонымен қатар, стандартты емес талдау стохастикалық процестер теориясында, әсіресе Браун қозғалысын кездейсоқ жүріс ретінде құруда қолданылады. Альбеверио және авторлар тобы. Кез келген кардинал κ үшін κ қанықтырылған кеңейтім құруға болады.