Введение

Исчисление с использованием логически строгого понятия бесконечно малых чисел

История исчисления полна философских дебатов о значении и логической обоснованности флюкций или бесконечно малых чисел. Стандартный способ разрешения этих дебатов – определить операции исчисления, используя эпсилон-дельта процедуры, а не бесконечно малые. Нестандартный анализ вместо этого переформулирует исчисление, используя логически строгое понятие бесконечно малых чисел. Нестандартный анализ возник в начале 1960-х годов благодаря математику Абрахаму Робинсону. Он писал:

Идея бесконечно малых или бесконечно малых величин, кажется, естественно апеллирует к нашей интуиции. Во всяком случае, использование бесконечно малых чисел было широко распространено на ранних этапах формирования дифференциального и интегрального исчисления. Что касается возражения, что расстояние между двумя различными действительными числами не может быть бесконечно малым, Готфрид Вильгельм Лейбниц утверждал, что теория бесконечно малых подразумевает введение идеальных чисел, которые могут быть бесконечно малыми или бесконечно большими по сравнению с действительными числами, но при этом должны обладать теми же свойствами, что и последние. Робинсон утверждал, что этот закон непрерывности Лейбница является предшественником принципа переноса. Однако ни он, ни его ученики и последователи не смогли предложить рационального развития, ведущего к системе такого рода. В результате теория бесконечно малых постепенно пришла в упадок и в конечном итоге была заменена классической теорией пределов. Робинсон продолжает:

Идеи Лейбница могут быть полностью оправданы, и они приводят к новому и плодотворному подходу к классическому анализу и многим другим областям математики. Ключ к нашему методу предоставляется детальным анализом отношения между математическими языками и математическими структурами, лежащим в основе современной теории моделей. В 1973 году интуиционист Аренд Хейтинг оценил нестандартный анализ как «стандартную модель важных математических исследований».

Введение

Ненулевой элемент упорядоченного поля является бесконечно малым тогда и только тогда, когда его абсолютная величина меньше любого элемента вида , где – стандартное натуральное число. Упорядоченные поля, содержащие бесконечно малые элементы, также называются неархимедовыми. В более общем смысле, нестандартный анализ – это любая форма математики, основанная на нестандартных моделях и принципе переноса. Поле, удовлетворяющее принципу переноса для действительных чисел, называется действительно замкнутым полем, а нестандартный анализ действительных чисел использует эти поля как нестандартные модели действительных чисел. Исходный подход Робинсона был основан на этих нестандартных моделях поля действительных чисел. Его классическая основополагающая книга по этой теме, «Нестандартный анализ», была опубликована в 1966 году и до сих пор издается. На странице 88 Робинсон пишет:

Существование нестандартных моделей арифметики было открыто Торальфом Сколемом в 1934 году. Метод Сколема предвосхищает построение ультрастепени [ ].

Для разработки исчисления бесконечно малых необходимо решить несколько технических вопросов. Например, недостаточно просто построить упорядоченное поле с бесконечно малыми элементами. Подробное обсуждение соответствующих идей можно найти в статье о гипердействительных числах.

Мотивация

Есть по крайней мере три причины рассмотреть нестандартный анализ: историческая, педагогическая и техническая.

Исторические

Большая часть раннего развития бесконечно малого исчисления Ньютоном и Лейбницем была сформулирована с использованием таких выражений, как бесконечно малое число и исчезающая величина. Как отмечается в статье о гиперреальных числах, эти формулировки подверглись широкой критике со стороны Джорджа Беркли и других. Задача разработки непротиворечивой и удовлетворительной теории анализа, использующей бесконечно малые величины, была впервые решена Авраамом Робинсоном в работе ("Расширение бесконечно малого исчисления"), где было предложено построение кольца, содержащего бесконечно малые. Кольцо было построено из последовательностей действительных чисел. Две последовательности считались эквивалентными, если они различались лишь на конечном числе элементов. Арифметические операции определялись поэлементно. Однако кольцо, построенное таким образом, содержит делители нуля и, следовательно, не может быть полем.

Технические

Некоторые недавние исследования были проведены в анализе с использованием концепций нестандартного анализа, в частности, при изучении предельных процессов в статистике и математической физике. Серхио Альбеверио и другие авторы рассматривают некоторые из этих применений.

Подходы к нестандартному анализу

Существует два основных, различных подхода к нестандартному анализу: семантический, или теоретико-модельный подход, и синтаксический подход. Оба этих подхода применимы к другим областям математики, помимо анализа, включая теорию чисел, алгебру и топологию. Оригинальная формулировка нестандартного анализа Робинсона относится к категории семантического подхода. Как он развил в своих работах, она основана на изучении моделей (в частности, насыщенных моделей) теории. С тех пор как работа Робинсона впервые появилась, был разработан более простой семантический подход (благодаря Элиасу Закону) с использованием чисто теоретико-множественных объектов, называемых надстройками. В этом подходе модель теории заменяется объектом, называемым надстройкой V(S) над множеством S. Начиная с надстройки V(S), строится другой объект V(S) с использованием конструкции ультрастепени вместе с отображением V(S) → *V(S), которое удовлетворяет принципу переноса. Отображение * связывает формальные свойства V(S) и V(S). Кроме того, можно рассмотреть более простую форму насыщения, называемую счетным насыщением. Этот упрощенный подход также более подходит для использования математиками, не являющимися специалистами в теории моделей или логике. Синтаксический подход требует гораздо меньше знаний в области логики и теории моделей для понимания и использования. Этот подход был разработан в середине 1970-х годов математиком Эдвардом Нельсоном. Нельсон представил полностью аксиоматическую формулировку нестандартного анализа, которую он назвал теорией внутренних множеств (ТИМ). ТИМ является расширением теории множеств Цермело — Френкеля (ZF), поскольку наряду с базовым бинарным отношением принадлежности ∈, она вводит новый унарный предикат «стандартный», который может быть применен к элементам математической вселенной вместе с некоторыми аксиомами для рассуждений с этим новым предикатом. Синтаксический нестандартный анализ требует большой осторожности при применении принципа формирования множеств (формально известного как аксиома выделения), который математики обычно принимают как должное. Как отмечает Нельсон, логическая ошибка в рассуждениях в ТИМ заключается в незаконном формировании множеств. Например, в ТИМ не существует множества, элементы которого являются именно стандартными целыми числами (здесь «стандартный» понимается в смысле нового предиката). Чтобы избежать незаконного формирования множеств, для определения подмножеств следует использовать только предикаты ZFC, стремясь найти аксиомы теории множеств, более совместимые с нестандартным анализом, чем аксиомы ZF.

Книга Робинсона

Книга Абрахама Робинсона «Нестандартный анализ» была опубликована в 1966 году. Некоторые из тем, разработанных в книге, уже присутствовали в его статье 1961 года с тем же названием (Robinson 1961). Помимо первого полного изложения нестандартного анализа, книга содержит подробный исторический раздел, в котором Робинсон оспаривает некоторые устоявшиеся взгляды на историю математики, основанные на представлении об бесконечно малых величинах как о противоречивых сущностях, существовавшем до появления нестандартного анализа. Таким образом, Робинсон опровергает мнение о том, что «теорема о суммировании» Огюстена Луи Коши в «Курсе анализа», касающаяся сходимости ряда непрерывных функций, была ошибочной, и предлагает интерпретацию её гипотезы с использованием бесконечно малых величин, приводящую к верной теореме.

Проблема с инвариантной подпространством

Авраам Робинсон и Аллен Бернштейн использовали нестандартный анализ, чтобы доказать, что каждый полиномиально компактный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет инвариантное подпространство. Для оператора T, действующего в гильбертовом пространстве H, рассмотрим орбиту точки v в H при последовательных применениях T. Применяя процедуру Грама — Шмидта, получим ортонормальный базис (ei) для H. Пусть (Hi) — соответствующая вложенная последовательность "координатных" подпространств H. Матрица ai,j, выражающая T относительно базиса (ei), является почти верхнетреугольной, в том смысле, что коэффициенты ai+1,i — единственные ненулевые поддиагональные коэффициенты. Бернштейн и Робинсон показали, что если T полиномиально компактен, то существует гиперконечный индекс w, такой что матричный элемент aw+1,w является бесконечно малым. Далее рассмотрим подпространство Hw пространства H. Если y принадлежит Hw и имеет конечную норму, то T(y) бесконечно близко к Hw. Пусть Tw — оператор, действующий в Hw, где Pw — ортогональная проекция на Hw. Обозначим q — многочлен, такой что q(T) — компактный оператор. Подпространство Hw является внутренним и имеет гиперконечное измерение. Перенося идею верхнетреуголизации операторов в конечномерном комплексном векторном пространстве, существует внутренняя ортонормальная основа Гильберта (ek) для Hw, где k принимает значения от 1 до w, такая что каждое из соответствующих k-мерных подпространств Ek является T-инвариантным. Обозначим Πk проекцией на подпространство Ek. Для ненулевого вектора x конечной нормы в H можно считать, что q(T)(x) ненулевой, или, чтобы зафиксировать идею. Поскольку q(T) — компактный оператор, то q(Tw)(x) бесконечно близко к q(T)(x), и, следовательно, пусть j — наибольший индекс, такой что. Тогда пространство всех стандартных элементов, бесконечно близких к Ej, является искомым инвариантным подпространством. Прочитав препринт работы Бернштейна и Робинсона, Пол Халмос переинтерпретировал их доказательство, используя стандартные методы. Обе статьи были опубликованы подряд в одном и том же выпуске журнала "Pacific Journal of Mathematics". Некоторые идеи, использованные в доказательстве Халмоса, появились много лет спустя в его собственной работе над квазитреугольными операторами.

Другие применения

Другие результаты были получены в ходе переосмысления или опровержения ранее известных результатов. Особый интерес представляет доказательство Тэтуро Камаэ индивидуальной эргодической теоремы или работа Л. ван ден Дриса и Алекса Уилки над теоремой Громова о группах полиномиального роста. Ларри Маневиц и Шмуэль Вайнбергер использовали нестандартный анализ для доказательства результата в алгебраической топологии. Однако, реальный вклад нестандартного анализа заключается в понятиях и теоремах, использующих новый расширенный язык нестандартной теории множеств. Среди новых применений в математике – новые подходы к теории вероятностей, теории меры, негладкому и гармоническому анализу и т.д. Также нестандартный анализ находит применение в теории стохастических процессов, в частности, в построении броуновского движения как случайных блужданий. Альбеверио и др. Для любого кардинала κ можно построить κ-насыщенное расширение.