Кіріспе
Физика мен математикада брахистохрондық қисық немесе ең жылдам түсу қисығы – А нүктесі мен төменгі B нүктесі арасындағы жазықтықта орналасқан, мұнда B нүктесі тікелей А нүктесінің астында болмайды, және бірқатар дөңгелекше (буын) біркелкі гравитациялық өріс әсерімен берілген соңғы нүктеге ең қысқа уақытта, үйкеліссіз сырғанап түседі. Бұл мәселені 1696 жылы Иоганн Бернулли қойды. Брахистохрондық қисық таутохрондық қисықпен бірдей пішінде болады; екеуі де циклоидтар. Дегенмен, екі қисық үшін де қолданылатын циклоидтың бөлігі әртүрлі. Нақтырақ айтқанда, брахистохрон циклоидтың толық айналымына дейін қолданылуы мүмкін (A және B нүктелері бір деңгейде болған кездегі шектеу), бірақ әрқашан өріс нүктесінен басталады. Керісінше, таутохрондық мәселе тек алғашқы жарты айналымға дейін ғана қолданылады және әрқашан көлденеңмен аяқталады. Мәселені вариациялық есептеулер және оңтайлы басқару құралдарын пайдалану арқылы шешуге болады. Қисық сынама дененің массасына да, жергілікті гравитация күшіне де тәуелді емес. Тек бір параметр таңдалады, соның арқасында қисық А бастапқы нүктесіне және B соңғы нүктесіне сәйкес келеді. Егер дененің А нүктесінде бастапқы жылдамдығы болса немесе үйкеліс ескерілсе, онда уақытты азайтатын қисық таутохрондық қисықтан өзгеше болады.
In physics and mathematics, a brachistochrone curve , or curve of fastest descent, is the one lying on the plane between a point A and a lower point B, where B is not directly below A, on which a bead slides frictionlessly under the influence of a uniform gravitational field to a given end point in the shortest time. The problem was posed by Johann Bernoulli in 1696. The brachistochrone curve is the same shape as the tautochrone curve; both are cycloids. However, the portion of the cycloid used for each of the two varies. More specifically, the brachistochrone can use up to a complete rotation of the cycloid (at the limit when A and B are at the same level), but always starts at a cusp. In contrast, the tautochrone problem can use only up to the first half rotation, and always ends at the horizontal. The problem can be solved using tools from the calculus of variations and optimal control. The curve is independent of both the mass of the test body and the local strength of gravity. Only a parameter is chosen so that the curve fits the starting point A and the ending point B. If the body is given an initial velocity at A, or if friction is taken into account, then the curve that minimizes time differs from the tautochrone curve.
Галилейдің мәселесі
Бұған дейін 1638 жылы Галилео Галилей өзінің "Екі жаңа ғылым" еңбегінде бір нүктеден қабырғаға ең жылдам түсу жолының осындай мәселесін шешуге тырысқан болатын. Ол шеңбердің доғасы оның кез келген хордасынан жылдам деген қорытындыға келді. Осыдан-ақ, бір нүктеден екінші нүктеге дейінгі барлық [lationem omnium velocissimam] ең жылдам жол, ең қысқа жол емес, атап айтқанда, түзу сызық, ал шеңбердің доғасы екенін тұжырымдауға болады. Сәйкесінше, жазылған көпбұрыш шеңберге неғұрлым жақын болса, А нүктесінен С нүктесіне түсуге қажетті уақыт соғұрлым қысқа болады. Квадрант үшін дәлелденген нәрсе кішігірім доғалар үшін де дұрыс; ойлау бірдей. "Екі жаңа ғылымның" 6-теоремасынан кейін Галилей мүмкін болатын қателіктер мен "жоғары ғылымның" қажеттілігі туралы ескертеді. Бұл диалогта Галилей өзінің жұмысын қайта қарастырады. Галилей циклоиданы зерттеп, оған ат қойды, бірақ оның және оның проблемасының арасындағы байланыс математикадағы жетістіктерді күтуге тура келді. Галилеоның болжамы бойынша, "[қозғалмалы дененің] ең қысқа уақыты – оның ADB [төртінші шеңбердің] доғасы бойымен құлау уақыты болады және осыған ұқсас қасиеттер B төменгі шегінен жоғары қарай алынған барлық кіші доғалар үшін де қолданылады". 1-суретте, "Екі бас жүйе туралы диалогтан" алынған Галилео дененің А нүктесінен B нүктесіне дейін шеңбердің төртінші бөлігінің доғасымен сырғанағанда, кез келген басқа жолға қарағанда B нүктесіне тезірек жететінін көрсетеді. Сол сияқты, 2-суретте AB доғасындағы кез келген D нүктесінен, ол DB кіші доғасы бойымен уақыт D нүктесінен B нүктесіне дейінгі кез келген басқа жолға қарағанда аз болады деп мәлімдейді. Шындығында, А нүктесінен B нүктесіне немесе D нүктесінен B нүктесіне дейінгі ең жылдам жол – брахистохрон, циклоидты доға болып табылады, ол 3-суретте А нүктесінен B нүктесіне дейінгі жолға, ал 4-суретте D нүктесінен B нүктесіне дейінгі жолға тиісті дөңгелек доғаға қойылған.
In Fig.1, from the “Dialogue Concerning the Two Chief World Systems”, Galileo claims that the body sliding along the circular arc of a quarter circle, from A to B will reach B in less time than if it took any other path from A to B. Similarly, in Fig. 2, from any point D on the arc AB, he claims that the time along the lesser arc DB will be less than for any other path from D to B. In fact, the quickest path from A to B or from D to B, the brachistochrone, is a cycloidal arc, which is shown in Fig. 3 for the path from A to B, and Fig.4 for the path from D to B, superposed on the respective circular arc.