Введение
В физике и математике брахистохронная кривая, или кривая наискорейшего спуска, — это кривая на плоскости между точкой А и точкой В, расположенной ниже, где В не находится непосредственно под А, по которой бусинка скользит без трения под действием однородного гравитационного поля до заданной конечной точки за минимальное время. Задача была сформулирована Иоганном Бернулли в 1696 году. Брахистохронная кривая имеет ту же форму, что и таутохронная кривая; обе являются циклоидами. Однако используемая часть циклоиды для каждой из них различна. В частности, брахистохрона может использовать до полного оборота циклоиды (в предельном случае, когда точки А и В находятся на одном уровне), но всегда начинается с острого угла (куспида). В отличие от этого, задача о таутохроне использует только первую половину оборота и всегда заканчивается в горизонтальной точке. Задача может быть решена с использованием методов вариационного исчисления и оптимального управления. Кривая не зависит ни от массы испытываемого тела, ни от локальной силы тяжести. Выбирается лишь один параметр, чтобы кривая соответствовала начальной точке А и конечной точке В. Если телу задана начальная скорость в точке А или учитывается трение, то кривая, минимизирующая время, отличается от таутохронной кривой.
In physics and mathematics, a brachistochrone curve , or curve of fastest descent, is the one lying on the plane between a point A and a lower point B, where B is not directly below A, on which a bead slides frictionlessly under the influence of a uniform gravitational field to a given end point in the shortest time. The problem was posed by Johann Bernoulli in 1696. The brachistochrone curve is the same shape as the tautochrone curve; both are cycloids. However, the portion of the cycloid used for each of the two varies. More specifically, the brachistochrone can use up to a complete rotation of the cycloid (at the limit when A and B are at the same level), but always starts at a cusp. In contrast, the tautochrone problem can use only up to the first half rotation, and always ends at the horizontal. The problem can be solved using tools from the calculus of variations and optimal control. The curve is independent of both the mass of the test body and the local strength of gravity. Only a parameter is chosen so that the curve fits the starting point A and the ending point B. If the body is given an initial velocity at A, or if friction is taken into account, then the curve that minimizes time differs from the tautochrone curve.
Проблема Галилея
Ранее, в 1638 году, Галилео Галилей пытался решить аналогичную задачу для пути самого быстрого спуска от точки к стене в своем труде «Две новые науки». Он приходит к выводу, что дуга окружности быстрее любого числа её хорд. Из вышесказанного можно заключить, что самый быстрый путь из всех [lationem omnium velocissimam], от одной точки к другой, – это не кратчайший путь, то есть прямая линия, а дуга окружности. Следовательно, чем ближе вписанный многоугольник приближается к окружности, тем меньше времени требуется для спуска от А до С. То, что было доказано для квадранта, справедливо и для меньших дуг; рассуждение остается тем же. Сразу после теоремы 6 в «Двух новых науках» Галилей предупреждает о возможных ошибках и необходимости «высшей науки». В этом диалоге Галилей пересматривает свою работу. Галилей изучал циклоиду и дал ей название, но установление связи между ней и его задачей потребовало дальнейшего развития математики. Галилей предполагал, что «наименьшее время [для движущегося тела] будет при падении вдоль дуги ADB [четверти окружности], и подобные свойства следует понимать как справедливые для всех меньших дуг, взятых вверх от нижней точки B».
На рис. 1 из «Диалога о двух главных мировых системах» Галилей утверждает, что тело, скользящее по дуге окружности в четверть окружности от А до В, достигнет точки В за меньшее время, чем при любом другом пути от А до В. Аналогично, на рис. 2 из любой точки D на дуге AB он утверждает, что время, затраченное на прохождение по меньшей дуге DB, будет меньше, чем при любом другом пути от D до B. Фактически, самый быстрый путь от А к В или от D к В, брахистохрона, представляет собой циклоидальную дугу, которая показана на рис. 3 для пути от А к В и на рис. 4 для пути от D к В, наложенную на соответствующую дугу окружности.