Кіріспе
Сызықтық оператор өзінің серігіне тең
In mathematics, a self adjoint operator on an infinite dimensional complex vector space V with inner product is a linear map A (from V to itself) that is its own adjoint. If V is finite dimensional with a given orthonormal basis, this is equivalent to the condition that the matrix of A is a Hermitian matrix, i. e., equal to its conjugate transpose A. By the finite dimensional spectral theorem, V has an orthonormal basis such that the matrix of A relative to this basis is a diagonal matrix with entries in the real numbers. This article deals with applying generalizations of this concept to operators on Hilbert spaces of arbitrary dimension. Self adjoint operators are used in functional analysis and quantum mechanics. In quantum mechanics their importance lies in the Dirac–von Neumann formulation of quantum mechanics, in which physical observables such as position, momentum, angular momentum and spin are represented by self adjoint operators on a Hilbert space. Of particular significance is the Hamiltonian operator defined by
which as an observable corresponds to the total energy of a particle of mass m in a real potential field V. Differential operators are an important class of unbounded operators. The structure of self adjoint operators on infinite dimensional Hilbert spaces essentially resembles the finite dimensional case. That is to say, operators are self adjoint if and only if they are unitarily equivalent to real valued multiplication operators. With suitable modifications, this result can be extended to possibly unbounded operators on infinite dimensional spaces. Since an everywhere defined self adjoint operator is necessarily bounded, one needs to be more attentive to the domain issue in the unbounded case. This is explained below in more detail.
Математикада, ішкі көбейтіндісі бар V шексіз өлшемді кешенді векторлық кеңістіктегі өзіне-серік оператор – V-ден өзіне дейін бейнелейтін және өзінің серігіне тең болатын A сызықтық түрлендіру. Егер V белгілі бір ортонормалды базиске ие шекті өлшемді болса, онда бұл A матрицасының Эрмиттік матрицаға тең болуымен эквивалентті, яғни оның конъюгатты транспозыциясы A-ға тең. Шектелген өлшемді спектрлік теорема бойынша, V-та ортонормалды базис бар, онда A матрицасы нақты сандардағы элементтері бар диагональдық матрица болады. Бұл мақалада осы ұғымның жалпыламаларын кез келген өлшемді Гильберт кеңістіктеріндегі операторларға қолдану қарастырылады. Өзіне-серік операторлар функционалдық анализ және кванттық механикада қолданылады. Кванттық механикада олардың маңыздылығы кванттық механиканың Дирак-фон Нейман формулировкасында жатыр, онда физикалық шамалар, мысалы, координата, импульс, бұрыштық импульс және спин, Гильберт кеңістігіндегі өзіне-серік операторлармен бейнеленеді. Ерекше маңызға ие Гамильтон операторы келесідей анықталады:
In mathematics, a self adjoint operator on an infinite dimensional complex vector space V with inner product is a linear map A (from V to itself) that is its own adjoint. If V is finite dimensional with a given orthonormal basis, this is equivalent to the condition that the matrix of A is a Hermitian matrix, i. e., equal to its conjugate transpose A. By the finite dimensional spectral theorem, V has an orthonormal basis such that the matrix of A relative to this basis is a diagonal matrix with entries in the real numbers. This article deals with applying generalizations of this concept to operators on Hilbert spaces of arbitrary dimension. Self adjoint operators are used in functional analysis and quantum mechanics. In quantum mechanics their importance lies in the Dirac–von Neumann formulation of quantum mechanics, in which physical observables such as position, momentum, angular momentum and spin are represented by self adjoint operators on a Hilbert space. Of particular significance is the Hamiltonian operator defined by
which as an observable corresponds to the total energy of a particle of mass m in a real potential field V. Differential operators are an important class of unbounded operators. The structure of self adjoint operators on infinite dimensional Hilbert spaces essentially resembles the finite dimensional case. That is to say, operators are self adjoint if and only if they are unitarily equivalent to real valued multiplication operators. With suitable modifications, this result can be extended to possibly unbounded operators on infinite dimensional spaces. Since an everywhere defined self adjoint operator is necessarily bounded, one needs to be more attentive to the domain issue in the unbounded case. This is explained below in more detail.
ол байқалатын шама ретінде нақты потенциалдық өріс V-дегі m массасы бар бөлшектің толық энергиясына сәйкес келеді. Дифференциалдық операторлар – шектелмеген операторлардың маңызды класы. Шексіз өлшемді Гильберт кеңістіктеріндегі өзіне-серік операторлардың құрылымы шектелген өлшемді жағдайға ұқсас. Яғни, операторлар өзіне-серік, егер және тек егер олар нақты мәнді көбейту операторларына унитарлық түрлендіру арқылы өтетін болса. Тиісті түзетулермен бұл нәтижені шексіз өлшемді кеңістіктердегі мүмкін шектелмеген операторларға да қолдануға болады. Өйткені барлық жерде анықталған өзіне-серік оператор міндетті түрде шектелген, сондықтан шектелмеген жағдайда домен мәселесіне көбірек назар аудару қажет. Бұл төменде егжей-тегжейлі түсіндіріледі.
In mathematics, a self adjoint operator on an infinite dimensional complex vector space V with inner product is a linear map A (from V to itself) that is its own adjoint. If V is finite dimensional with a given orthonormal basis, this is equivalent to the condition that the matrix of A is a Hermitian matrix, i. e., equal to its conjugate transpose A. By the finite dimensional spectral theorem, V has an orthonormal basis such that the matrix of A relative to this basis is a diagonal matrix with entries in the real numbers. This article deals with applying generalizations of this concept to operators on Hilbert spaces of arbitrary dimension. Self adjoint operators are used in functional analysis and quantum mechanics. In quantum mechanics their importance lies in the Dirac–von Neumann formulation of quantum mechanics, in which physical observables such as position, momentum, angular momentum and spin are represented by self adjoint operators on a Hilbert space. Of particular significance is the Hamiltonian operator defined by
which as an observable corresponds to the total energy of a particle of mass m in a real potential field V. Differential operators are an important class of unbounded operators. The structure of self adjoint operators on infinite dimensional Hilbert spaces essentially resembles the finite dimensional case. That is to say, operators are self adjoint if and only if they are unitarily equivalent to real valued multiplication operators. With suitable modifications, this result can be extended to possibly unbounded operators on infinite dimensional spaces. Since an everywhere defined self adjoint operator is necessarily bounded, one needs to be more attentive to the domain issue in the unbounded case. This is explained below in more detail.
Спектрлік теорема
Физика әдебиетінде спектрлік теорема көбінесе өзіне-қосымша оператордың өзіндік векторларының ортонормальды негізі бар екенін айту арқылы тұжырымдалады. Алайда, физиктер "үзіліссіз спектр" құбылысын жақсы біледі; сондықтан олар "ортонормальды негіз" туралы сөйлегенде, классикалық мағынадағы ортонормальды негізді немесе оның үздіксіз аналогын меңзейді. Мысалы, импульс операторының жағдайында физиктер өзіндік векторлар – бұл Хилберт кеңістігіне жатпайтын функциялар дейді (физиктер өзіндік векторлар "нормалдалмайды" дейді). Содан кейін физиктер бұл "ұсынылған өзіндік векторлардың" жалғастығы бар мағынада импульс операторы үшін "ортонормальды негіз" құрайтынын айтады, дәстүрлі Kronecker дельтасын Dirac дельта функциясымен алмастырғаннан кейін.
Бұл тұжырымдамалар математиктерге қызықсыз көрінсе де, оларды Фурье түрлендіруін пайдаланып қатаңдауға болады, ол жалпы функцияны функциялардың "суперпозициясы" (яғни интегралы) ретінде көрсетуге мүмкіндік береді, тіпті бұл функциялар Хилберт кеңістігіне жатпаса да. Фурье түрлендіруі импульс операторын "диагональдауға" мүмкіндік береді; яғни, оны Фурье түрлендіруінің айнымалысы болып табылатын көбейту операторына түрлендіреді. Жалпы спектрлік теореманы да операторды бірлікке тең көбейту операторына түрлендіру арқылы "диагональдау" мүмкіндігі ретінде тұжырымдауға болады. Спектрлік теореманың басқа да нұсқалары өзіне-қосымша оператордың нақтыда Хилберт кеңістігіне жатпайтын "өзіндік векторлары" болуы мүмкін деген идеяны жеткізуге бағытталған.
Таза нүктелік спектр
H кеңістігіндегі өзіне-қосымша оператор A таза нүктелік спектрге ие болса және тек қана H кеңістігінде A-ның меншікті векторларынан тұратын {ei}i ∈ I ортонормалдық базасы болса. Мысал. Гармоникалық осциллятордың гамильтонианы V квадраттық потенциалына ие, яғни
Бұл гамильтониан таза нүктелік спектрге ие; бұл кванттық механикадағы байланысты күйдегі гамильтониандар үшін тән. Бұрынғы мысалда көрсетілгендей, шексіз симметриялық оператордың гильберт кеңістігінің базасын құрайтын меншікті векторларының болуы үшін жеткілікті шарт – оның компактты кері операторының болуы.
Симметриялық және өзін-өзі қосу операторлары
Симметриялық оператор мен (мәні бойынша) өзіне-қосымша оператор арасындағы айырмашылық күрделі болғанымен, өзіне-қосымшалық спектральді теореманың шарты болғандықтан маңызды. Бұл жерде осы айырмашылықтың нақты мысалдары қарастырылады.
Бірлік потенциалдары бар Шредингер операторлары
Кванттық механикадағы Шредингер операторлары симметриялық және (негізінен) өзін-өзі қосатын операторлар арасындағы айырмашылықтың тағы бір нақты мысалы болып табылады. Егер потенциалдық энергия ерекше болса – әсіресе, егер потенциал төменнен шексіз болса – онда сәйкес Шредингер операторы негізінен өзін-өзі қосатын болмауы мүмкін. Мысалы, бір өлшемде оператор
тегіс, жылдам жойылатын функциялар кеңістігінде өзін-өзі қосатын емес. Бұл жағдайда, өзін-өзі қосудың сәтсіздігі негізгі классикалық жүйедегі патологияны көрсетеді: потенциалы бар классикалық бөлшек шекті уақытта шексіздікке қашып кетеді. Бұл оператордың бірегей өзін-өзі қосуы жоқ, бірақ ол «шексіздіктегі шекаралық шарттарды» анықтау арқылы алынған өзін-өзі қосу кеңейтімдерін қабылдайды. (Оператор нақты болғандықтан, ол комплекс конъюгациямен коммутациялайды. Осылайша, кемшілік индекстері автоматты түрде тең болады, бұл өзін-өзі қосу кеңейтімдерінің шарты болып табылады.) Бұл жағдайда, егер біз бастапқыда тегіс, жылдам жойылатын функциялар кеңістігінде анықтасақ, қосымша оператор «бірдей» оператор (яғни, бірдей формуламен берілген) болады, бірақ ең үлкен мүмкін доменде, атап айтқанда
Содан кейін оператор симметриялық емес екенін көрсетуге болады, бұл, әрине, оның негізінен өзін-өзі қосатын емес екенін білдіреді. Шындығында, ол таза жорамал өзіндік мәндері бар өзіндік векторларға ие, бұл симметриялық оператор үшін мүмкін емес. Бұл ерекше жағдайдың болуы : екі терминнің арасындағы жойылғандыққа байланысты мүмкін болады. доменінде мүшесі емес екі де, бірақ олардың комбинациясы мүшесі болып табылады. Бұл оның симметриялық операторлар болса да, симметриялық емес болуына мүмкіндік береді. Егер біз керітетін потенциалды шектеуші потенциалмен ауыстырсақ, мұндай жойылғандық болмайды.
Кванттық механикадағы өзін-өзі қосқан операторлар
Кванттық механикада, байқалатын шамалар өзін-өзі түйіндестіретін операторларға сәйкес келеді. Стоунның бір параметрлі унитарлық топтар туралы теоремасына сәйкес, өзін-өзі түйіндестіретін операторлар – уақыт эволюциясы операторларының унитарлық топтарының инфинитезималды генераторлары болып табылады. Дегенмен, көптеген физикалық мәселелер уақыт эволюциясы теңдеуі түрінде формулировкаланады, онда гамильтониан тек симметриялы дифференциалды операторларды қамтиды. Мұндай жағдайларда, гамильтониан негізінен өзін-өзі түйіндестіре алады, онда физикалық мәселенің бірегей шешімдері болады, немесе гамильтонианның әртүрлі шекаралық шарттарға немесе нөлдік шарттарға сәйкес келетін өзін-өзі түйіндестіретін кеңейтімдерін табуға тырысады. Мысал келтірейік. Бастапқыда тегіс, ықшам қолдау функцияларында анықталған, потенциалы бар бір өлшемді Шредингер операторы 0 < α ≤ 2 үшін негізінен өзін-өзі түйіндестіреді, бірақ α > 2 үшін жоқ. -ның өзін-өзі түйіндестірудің сәтсіздігіне, потенциалы бар бөлшектің классикалық динамикасында да сондай жағдай кездеседі: классикалық бөлшек шекті уақытта шексіздікке қашып кетеді. Мысал келтірейік. Жартылай түзуде қозғалатын бөлшектің өзін-өзі түйіндестіретін импульс операторы жоқ. Дегенмен, жартылай түзудегі "еркін" бөлшектің гамильтонианы әртүрлі шекаралық шарттарға сәйкес келетін бірнеше өзін-өзі түйіндестіретін кеңейтімдерге ие. Физикалық тұрғыдан, бұл шекаралық шарттар бөлшектің нөлдік нүктеде шағылысуымен байланысты.
Спектрлік көптік теориясы
Өзін-өзі қосатын оператордың көбейту түрі өте пайдалы болғанымен, канондық түр емес. Бұл, өзін-өзі қосатын А және В операторларының унитарлық эквивалентті екенін анықтау үшін осы түрден критерий алудың қиын екенін көрсетеді. Біз қазір талқылайтын ең толық түрі спектрлік көптікті қамтиды. Бұл нәтижелер жиынтығы Хан–Геллингердің спектрлік көптік теориясы деп аталады.