Спин-сети: Диаграммы квантовой теории поля

Введение

Диаграмма, используемая для представления вычислений в квантовой теории поля.

В физике спиновая сеть — это тип диаграммы, который может использоваться для представления состояний и взаимодействий между частицами и полями в квантовой механике. С математической точки зрения, диаграммы являются лаконичным способом представления мультилинейных функций и функций между представлениями матричных групп. Диаграммная нотация может значительно упростить вычисления. Роджер Пенроуз описал спиновые сети в 1971 году. Это вид диаграммы, в котором каждый сегмент линии представляет собой мировую линию "единицы" (либо элементарной частицы, либо составной системы частиц). Три сегмента линии сходятся в каждой вершине. Вершина может интерпретироваться как событие, в котором либо одна единица расщепляется на две, либо две единицы сталкиваются и объединяются в одну. Диаграммы, сегменты линий которых соединены в вершинах, называются замкнутыми спиновыми сетями. Время можно рассматривать как направленное в одном направлении, например, снизу вверх по диаграмме, но для замкнутых спиновых сетей направление времени не влияет на вычисления. Каждый сегмент линии маркируется целым числом, называемым спиновым числом. Единица со спиновым числом n называется n-единицей и имеет угловой момент nħ/2, где ħ — приведённая постоянная Планка. Для бозонов, таких как фотоны и глюоны, n — чётное число. Для фермионов, таких как электроны и кварки, n — нечётное. Для любой замкнутой спиновой сети можно вычислить неотрицательное целое число, называемое нормой спиновой сети. Нормы можно использовать для вычисления вероятностей различных спиновых значений. Сеть, норма которой равна нулю, имеет нулевую вероятность возникновения. Правила вычисления норм и вероятностей выходят за рамки данной статьи. Однако они подразумевают, что для того, чтобы спиновая сеть имела ненулевую норму, в каждой вершине должны выполняться два условия. Предположим, что вершина соединяет три единицы со спиновыми числами a, b и c. Тогда эти условия формулируются следующим образом:
Неравенство треугольника: a должно быть меньше или равно b + c, b меньше или равно a + c, и c меньше или равно a + b.
Сохранение фермионного числа: a + b + c должно быть чётным числом. Например, a = 3, b = 4, c = 6 невозможно, так как 3 + 4 + 6 = 13 нечётно, и a = 3, b = 4, c = 9 невозможно, так как 9 > 3 + 4. Однако a = 3, b = 4, c = 5 возможно, поскольку 3 + 4 + 5 = 12 чётно, и неравенство треугольника выполняется. Некоторые соглашения используют обозначения полуцелыми числами, при условии, что сумма a + b + c должна быть целым числом.

In physics, a spin network is a type of diagram which can be used to represent states and interactions between particles and fields in quantum mechanics. From a mathematical perspective, the diagrams are a concise way to represent multilinear functions and functions between representations of matrix groups. The diagrammatic notation can thus greatly simplify calculations. Roger Penrose described spin networks in 1971. is a kind of diagram in which each line segment represents the world line of a "unit" (either an elementary particle or a compound system of particles). Three line segments join at each vertex. A vertex may be interpreted as an event in which either a single unit splits into two or two units collide and join into a single unit. Diagrams whose line segments are all joined at vertices are called closed spin networks. Time may be viewed as going in one direction, such as from the bottom to the top of the diagram, but for closed spin networks the direction of time is irrelevant to calculations. Each line segment is labelled with an integer called a spin number. A unit with spin number n is called an n unit and has angular momentum nħ/2, where ħ is the reduced Planck constant. For bosons, such as photons and gluons, n is an even number. For fermions, such as electrons and quarks, n is odd. Given any closed spin network, a non negative integer can be calculated which is called the norm of the spin network. Norms can be used to calculate the probabilities of various spin values. A network whose norm is zero has zero probability of occurrence. The rules for calculating norms and probabilities are beyond the scope of this article. However, they imply that for a spin network to have nonzero norm, two requirements must be met at each vertex. Suppose a vertex joins three units with spin numbers a, b, and c. Then, these requirements are stated as:
Triangle inequality: a must be less than or equal to b + c, b less than or equal to a + c, and c less than or equal to a + b.
Fermion conservation: a + b + c must be an even number. For example, a = 3, b = 4, c = 6 is impossible since 3 + 4 + 6 = 13 is odd, and a = 3, b = 4, c = 9 is impossible since 9 > 3 + 4. However, a = 3, b = 4, c = 5 is possible since 3 + 4 + 5 = 12 is even, and the triangle inequality is satisfied. Some conventions use labellings by half integers, with the condition that the sum a + b + c must be a whole number.

Формальный подход к определению

Формально спиновую сеть можно определить как (ориентированный) граф, чьи рёбра связаны с неприводимыми представлениями компактной группы Ли, а вершины – с интертвиндерами представлений рёбер, смежных с ними.

Свойства

Спиновая сеть, погруженная в многообразие, может быть использована для определения функционала на пространстве связностей на этом многообразии. Вычисляются голономии связности вдоль каждой связи (замкнутого пути) графа, определяются матрицы представления, соответствующие каждой связи, перемножаются все матрицы и интертвинтеры, и происходит стягивание индексов заданным образом. Примечательной особенностью полученного функционала является его инвариантность относительно локальных калибровочных преобразований.

Более общие теории калибровки

Подобные конструкции могут быть построены и для общих калибровочных теорий с компактной группой Ли G и формой связи. Фактически, это точная двойственность на решетке. Однако на многообразии для того, чтобы двойственность была точной, необходимы предположения, такие как инвариантность относительно диффеоморфизмов (сглаживание петель Уилсона — задача нетривиальная). Позднее Роберт Оекл обобщил этот подход на представления квантовых групп в двух и трех измерениях, используя дуальность Таннака — Крейна. Майкл А. Левин и Сяо Ган Вэнь также определили струнные сети, используя тензорные категории, которые являются объектами, очень похожими на спиновые сети. Тем не менее, точная связь между ними пока не установлена. Конденсация струнных сетей приводит к образованию топологически упорядоченных состояний в физике конденсированного состояния.

Использование в математике

В математике спиновые сети используются для изучения скейн-модулей и характеров, соответствующих пространствам связностей.

Современные бумаги

Сяо Ган Вэнь, "Квантовая теория поля систем с большим числом частиц – от происхождения звука к происхождению света и фермионов" (Здесь используется термин «струнные сети»).