Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сигнал өңдеуді жобалау процесі
Signal processing design process
Сүзгіні жобалау – бұл белгілі бір талаптарға, олардың кейбіреуі қақтығысқа түсуі мүмкін, сай келетін сигнал өңдеу сүзгісін жобалау процесі. Мақсаты – талаптардың әрқайсысын қанағаттандыратын сүзгіні қабылданатын деңгейде табу. Сүзгіні жобалау процесін оптимизациялау мәселесі ретінде қарастыруға болады. Жобалау процесінің кейбір бөліктерін автоматтандыру мүмкін, бірақ жақсы нәтиже алу үшін тәжірибелі дизайнердің қатысуы қажет болуы мүмкін. Цифрлық сүзгілерді жобалау – күрделі тақырып. Сүзгілерді түсіну және есептеу оңай болғанымен, оларды жобалау және іске асырудың практикалық қиындықтары маңызды және олар кеңейтілген зерттеулердің нысаны болып табылады.
Filter design is the process of designing a signal processing filter that satisfies a set of requirements, some of which may be conflicting. The purpose is to find a realization of the filter that meets each of the requirements to an acceptable degree. The filter design process can be described as an optimization problem. Certain parts of the design process can be automated, but an experienced designer may be needed to get a good result. The design of digital filters is a complex topic. Although filters are easily understood and calculated, the practical challenges of their design and implementation are significant and are the subject of advanced research.
Фазалық және топтық кідіріс
Барлық өткізгіш сүзгі барлық жиіліктерді өзгеріссіз өткізеді, бірақ сигналдың фазасын өзгертеді. Осындай сүзгілер рекурсивті сүзгілердің топтық кешігуін теңестіру үшін қолданылуы мүмкін. Бұл сүзгі фазер эффектілерінде де пайдаланылады. Гилберт трансформациясы – бұл амплитудасы өзгермейтін, бірақ әрбір синусоиданың фазасын ±90°-қа қабаттай жылдыратын нақты бір барлық өткізгіш сүзгі. Бөлшек кешігу сүзгісі – барлық жиіліктер үшін белгілі бір және тұрақты топтық немесе фазалық кешігуі бар барлық өткізгіш сүзгі.
An all pass filter passes through all frequencies unchanged, but changes the phase of the signal. Filters of this type can be used to equalize the group delay of recursive filters. This filter is also used in phaser effects. A Hilbert transformer is a specific all pass filter that passes sinusoids with unchanged amplitude but shifts each sinusoid phase by ±90°. A fractional delay filter is an all pass that has a specified and constant group or phase delay for all frequencies.
Импульстік жауап
Сүзгінің жиілік функциясы мен импульстік жауабы арасында тікелей сәйкестік бар: біріншісі екіншісінің Фурье түрлендірілісі болып табылады. Яғни, жиілік функциясына қойылатын кез келген талап импульстік жауапқа қойылатын талап болып табылады, және керісінше. Дегенмен, кейбір қолдануларда сүзгінің импульстік жауабы нақты берілген болуы мүмкін, ал жобалау процесінің мақсаты – барлық басқа талаптарды ескере отырып, сұралған импульстік жауапқа мүмкіндігінше жақын жуықтама жасау болады. Кейбір жағдайларда сүзгінің жиілік функциясы мен импульстік жауабын бір-бірінен тәуелсіз таңдау қажет болуы мүмкін. Мысалы, біз сүзгінің белгілі бір жиілік функциясын және нәтижедегі сүзгінің сигнал доменіндегі тиімді енінің мүмкіндігінше кіші болуын қалауымыз мүмкін. Соңғы талапты сүзгінің қажетті импульстік жауабы ретінде өте тар функцияны қарастыру арқылы іске асыруға болады, тіпті бұл функция қажетті жиілік функциясымен байланысты болмаса да. Осылайша, жобалау процесінің мақсаты – осы қарама-қайшы жобалау мақсаттарына мүмкіндігінше жақын келетін сүзгіні жасау болып табылады. Мысалы, жоғары сапалы аудиода тұрақты күйдегі сигналдар үшін (синусоидтардың қосындысы) жиілік жауабы (шамасы және фазасы) – негізгі сүзгі талабы болып табылады, ал шектеусіз импульстік жауап уақытша сигналдардың уақытқа таралуынан күтілмеген нашарлауға әкелуі мүмкін.
There is a direct correspondence between the filter's frequency function and its impulse response: the former is the Fourier transform of the latter. That means that any requirement on the frequency function is a requirement on the impulse response, and vice versa. However, in certain applications it may be the filter's impulse response that is explicit and the design process then aims at producing as close an approximation as possible to the requested impulse response given all other requirements. In some cases it may even be relevant to consider a frequency function and impulse response of the filter which are chosen independently from each other. For example, we may want both a specific frequency function of the filter and that the resulting filter have a small effective width in the signal domain as possible. The latter condition can be realized by considering a very narrow function as the wanted impulse response of the filter even though this function has no relation to the desired frequency function. The goal of the design process is then to realize a filter which tries to meet both these contradicting design goals as much as possible. An example is for high resolution audio in which the frequency response (magnitude and phase) for steady state signals (sum of sinusoids) is the primary filter requirement, while an unconstrained impulse response may cause unexpected degradation due to time spreading of transient signals.
Себеп-салдарлық байланысы
Нақты уақытта жұмыс істейтін кез келген сүзгі (сүзгінің жауабы тек қазіргі және өткен кірістерге ғана байланысты) себептік болуы керек. Егер жобалау процесі себепсіз сүзгіге әкелсе, нәтижедегі сүзгіге тиісті уақыт ығысуын (немесе кешігуді) қосу арқылы себептікке айналдыруға болады. Нақты уақытта жұмыс істемейтін сүзгілер (мысалы, кескін өңдеу үшін) себепсіз болуы мүмкін. Себепсіз сүзгілер нөлдік кешігумен жобалануы мүмкін.
Any filter operating in real time (the filter response only depends on the current and past inputs) must be causal. If the design process yields a noncausal filter, the resulting filter can be made causal by introducing an appropriate time shift (or delay). Filters that do not operate in real time (e. g. for image processing) can be non causal. Noncausal filters may be designed to have zero delay.
Тұрақтылық
Тұрақты сүзгі кез келген шектеулі кіріс сигналының шектеулі сүзгі жауабын тудыратынын қамтамасыз етеді. Осы талапқа қанағаттандырмайтын сүзгі кейбір жағдайларда тиімсіз немесе тіпті зиянды болуы мүмкін. Белгілі бір жобалау әдістері тұрақтылықты кепілдей алады, мысалы, FIR сүзгісі сияқты тек алға байланыс тізбектерін пайдалану арқылы. Дегенмен, кері байланыс тізбектеріне негізделген сүзгілердің басқа артықшылықтары бар, сондықтан бұл сүзгілер класына тұрақсыз сүзгілер кірсе де, оларға басымдық берілуі мүмкін. Мұндай жағдайда, тұрақсыздыққа жол бермеу үшін сүзгілерді сақтықпен жобалау қажет.
A stable filter assures that every limited input signal produces a limited filter response. A filter which does not meet this requirement may in some situations prove useless or even harmful. Certain design approaches can guarantee stability, for example by using only feed forward circuits such as an FIR filter. On the other hand, filters based on feedback circuits have other advantages and may therefore be preferred, even if this class of filters includes unstable filters. In this case, the filters must be carefully designed in order to avoid instability.
Жергілікті жер
Кейбір қолданбаларда біз белгілі бір уақыт аралығында болатын импульстар немесе секірістер сияқты жергілікті құбылыстар ретінде сипатталатын компоненттері бар сигналдармен жұмыс істеуіміз қажет. Сигналға сүзгі қолдану нәтижесінде, жергілікті құбылыстардың ұзақтығы сүзгінің еніне пропорционалды ұзарады. Осыдан келіп, сүзгінің импульстік реакция функциясының енін мүмкіндігінше қысқа ұстау маңызды болады. Фурье түрлендірілімінің белгісіздік принципіне сәйкес, сүзгінің импульстік реакция функциясының ені мен оның жиілік функциясының енінің көбейтіндісі белгілі бір тұрақты мәннен жоғары болуы керек. Демек, сүзгінің жергіліктілігіне қойылатын кез келген талап, оның жиілік функциясының еніне де шектеулер қояды. Осылайша, сүзгінің импульстік реакция функциясының жергіліктілігіне және оның жиілік функциясына қойылатын талаптарды бірдей қанағаттандыру мүмкін болмайды. Бұл – қарама-қайшы талаптардың классикалық мысалы.
In certain applications we have to deal with signals which contain components which can be described as local phenomena, for example pulses or steps, which have certain time duration. A consequence of applying a filter to a signal is, in intuitive terms, that the duration of the local phenomena is extended by the width of the filter. This implies that it is sometimes important to keep the width of the filter's impulse response function as short as possible. According to the uncertainty relation of the Fourier transform, the product of the width of the filter's impulse response function and the width of its frequency function must exceed a certain constant. This means that any requirement on the filter's locality also implies a bound on its frequency function's width. Consequently, it may not be possible to simultaneously meet requirements on the locality of the filter's impulse response function as well as on its frequency function. This is a typical example of contradicting requirements.
Есептеу күрделілігі
Кез келген жобалаудағы жалпы тілек – сүзгінің жауабын есептеу үшін қажетті операциялардың саны (қосу және көбейту) мүмкіндігінше аз болуы. Кейбір қолданбаларда бұл тілек қатаң талап болып табылады, мысалы, шектеулі есептеу ресурстары, шектеулі қуат ресурстары немесе шектеулі уақыт болған жағдайда. Соңғы шектеу нақты уақыт қолданбаларында кең таралған. Сүзгінің есептеу күрделілігі әртүрлі болуының бірнеше жолы бар. Мысалы, сүзгінің реті операциялар санына пропорционалды. Демек, төмен ретті сүзгіні таңдау арқылы есептеу уақытын қысқартуға болады. Дискретті сүзгілер үшін есептеу күрделілігі сүзгі коэффициенттерінің санына пропорционалды. Егер сүзгіде көптеген коэффициенттер болса, мысалы, томографиялық деректер сияқты көп өлшемді сигналдарда, нөлге жақын коэффициенттерді жою арқылы коэффициенттер санын азайту маңызды болуы мүмкін. Көп жылдамдықты сүзгілерде кіріс сигналының жолақ ені шектерін пайдаланып, оны төмендетуге (мысалы, оның критиктік жиілігіне дейін) және сүзгіден өткеннен кейін жоғарылатуға болады, соның арқасында коэффициенттердің санын азайтуға болады. Есептеу күрделілігіне қатысты тағы бір мәселе – ажыратылу, яғни сүзгіні екі немесе одан да көп қарапайым сүзгілердің конволюциясы түрінде жазу мүмкіндігі және қалай жазуға болатыны. Бұл мәселе, әсіресе, көп өлшемді сүзгілер үшін маңызды, мысалы, бейне өңдеуде қолданылатын 2D сүзгілер. Бұл жағдайда, егер сүзгіні горизонталь бағыттағы бір 1D сүзгі мен тік бағыттағы бір 1D сүзгінің конволюциясы ретінде ажыратуға болады, онда есептеу күрделілігін айтарлықтай төмендетуге болады. Сүзгіні жобалау процесінің нәтижесі, мысалы, белгілі бір қажетті сүзгіні ажыратылатын сүзгі ретінде немесе ажыратылатын сүзгілердің қосындысы ретінде жуықтау болуы мүмкін.
A general desire in any design is that the number of operations (additions and multiplications) needed to compute the filter response is as low as possible. In certain applications, this desire is a strict requirement, for example due to limited computational resources, limited power resources, or limited time. The last limitation is typical in real time applications. There are several ways in which a filter can have different computational complexity. For example, the order of a filter is more or less proportional to the number of operations. This means that by choosing a low order filter, the computation time can be reduced. For discrete filters the computational complexity is more or less proportional to the number of filter coefficients. If the filter has many coefficients, for example in the case of multidimensional signals such as tomography data, it may be relevant to reduce the number of coefficients by removing those which are sufficiently close to zero. In multirate filters, the number of coefficients by taking advantage of its bandwidth limits, where the input signal is downsampled (e. g. to its critical frequency), and upsampled after filtering. Another issue related to computational complexity is separability, that is, if and how a filter can be written as a convolution of two or more simpler filters. In particular, this issue is of importance for multidimensional filters, e. g., 2D filter which are used in image processing. In this case, a significant reduction in computational complexity can be obtained if the filter can be separated as the convolution of one 1D filter in the horizontal direction and one 1D filter in the vertical direction. A result of the filter design process may, e. g., be to approximate some desired filter as a separable filter or as a sum of separable filters.
Аналогты сүзгілер
Сызықтық аналогты сүзгілердің жобалануы көбінесе сызықтық сүзгілер бөлімінде жарылған.
The design of linear analog filters is for the most part covered in the linear filter section.
Үлгілеу мөлшері
Егер сынама жиілігі сыртқы талаптармен белгіленбесе, қолайлы сынама жиілігін таңдау маңызды жобалау шешімі болып табылады. Жоғары жиілік есептеу ресурстарын көп қажет етеді, бірақ антиалиасингтік сүзгілерге деген қажеттілік азаяды. Сондай-ақ, жүйедегі басқа сигналдармен кедергі және араласу да проблема тудыруы мүмкін.
Unless the sample rate is fixed by some outside constraint, selecting a suitable sample rate is an important design decision. A high rate will require more in terms of computational resources, but less in terms of anti aliasing filters. Interference and beating with other signals in the system may also be an issue.
Алмастыруға қарсы
Кез келген цифрлық сүзгіні жобалау үшін алиасинг әсерлерін талдау және олардан сақтану өте маңызды. Көбінесе, бұл кіріс және шығыста аналогтық антиалиасингтік сүзгілерді қосу арқылы іске асырылады, осылайша Найквист жиілігінен жоғары жиілікті компоненттердің пайда болуына жол берілмейді. Мұндай сүзгілердің күрделілігі (яғни, тіктеп тұруы) қажетті сигнал-шу қатынасына және сынамалау жылдамдығы мен сигналдың ең жоғары жиілігі арасындағы қатынасқа байланысты.
For any digital filter design, it is crucial to analyze and avoid aliasing effects. Often, this is done by adding analog anti aliasing filters at the input and output, thus avoiding any frequency component above the Nyquist frequency. The complexity (i. e., steepness) of such filters depends on the required signal to noise ratio and the ratio between the sampling rate and the highest frequency of the signal.
Белгісіздік принципі
Габор шегі бойынша, белгісіздік принципіне сәйкес, жиілік функциясының ені мен импульстік жауаптың енінің көбейтіндісі белгілі бір тұрақтыдан кем болмайды. Бұл, егер нақты жиілік еніне сәйкес нақты жиілік функциясы қажет болса, сигнал саласындағы сүзгінің минималды ені анықталады дегенді білдіреді. Керісінше, егер жауаптың максималды ені берілсе, бұл жиілік саласындағы ең кішкентай мүмкін енді анықтайды. Бұл сүзгіні жобалау процесінде пайдалы шартты іздеуге болатын қарама-қайшы талаптардың классикалық мысалы.
As stated by the Gabor limit, an uncertainty principle, the product of the width of the frequency function and the width of the impulse response cannot be smaller than a specific constant. This implies that if a specific frequency function is requested, corresponding to a specific frequency width, the minimum width of the filter in the signal domain is set. Vice versa, if the maximum width of the response is given, this determines the smallest possible width in the frequency. This is a typical example of contradictory requirements where the filter design process may try to find a useful compromise.
Ұдайы емес және асимптотикалық мінез-құлық
f(t) функциясы және оның Фурье түрлендірмесі F болсын. Егер F-тің бірінші туындысы үздіксіз болмаса, оның реті болса, онда f функциясы асимптотикалық түрде кемиді деген теорема бар. Бұл теореманың салдары – сүзгінің жиілік функциясы импульстік жауабының жылдам кемуіне және осылайша тар енге ие болуы үшін мүмкіндігінше тегіс болуы керек.
Let f(t) be a function and let be its Fourier transform. There is a theorem which states that if the first derivative of F which is discontinuous has order , then f has an asymptotic decay like
A consequence of this theorem is that the frequency function of a filter should be as smooth as possible to allow its impulse response to have a fast decay, and thereby a short width.
Екі доменде бір мезгілде оңтайландыру
Бұрынғы әдісті сигнал доменіндегі қажетті сүзгінің импульстік жауабымен байланысты қосымша қателік мүшесін қосу арқылы кеңейтуге болады, оған сәйкес салмақ функциясы қосады. Идеалдық импульстік жауапты идеалдық жиілік функциясынан тәуелсіз таңдауға болады, және практикада нәтижедегі сүзгінің тиімді енін шектеу және сигнал доменіндегі дірілдеу эффектілерін жою үшін қолданылады. Бұл идеалдық сүзгінің тар импульстік жауап функциясын, мысалы, импульсті, және бастапқы нүктеден қашықтықпен тез өсетін салмақ функциясын, мысалы, қашықтықтың квадратын таңдау арқылы іске асырылады. Оптималды сүзгіні ең кіші квадраттар мәселесін шешу арқылы есептеуге болады, ал нәтижесіндегі сүзгі екі домендегі идеалдық функцияларға толықтай жақын "шартты келісімге" қол жеткізеді. Екі салмақ функциясының салыстырмалы күші – маңызды параметр, ол қай доменде идеалдық функцияға жақын болуы маңызды екенін анықтайды.
The previous method can be extended to include an additional error term related to a desired filter impulse response in the signal domain, with a corresponding weighting function. The ideal impulse response can be chosen independently of the ideal frequency function and is in practice used to limit the effective width and to remove ringing effects of the resulting filter in the signal domain. This is done by choosing a narrow ideal filter impulse response function, e. g., an impulse, and a weighting function which grows fast with the distance from the origin, e. g., the distance squared. The optimal filter can still be calculated by solving a simple least squares problem and the resulting filter is then a "compromise" which has a total optimal fit to the ideal functions in both domains. An important parameter is the relative strength of the two weighting functions which determines in which domain it is more important to have a good fit relative to the ideal function.