Введение

Процесс проектирования обработки сигналов

Проектирование фильтра — это процесс создания фильтра обработки сигналов, удовлетворяющего набору требований, некоторые из которых могут быть противоречивыми. Цель состоит в том, чтобы найти реализацию фильтра, которая в достаточной степени соответствует каждому из требований. Процесс проектирования фильтра можно рассматривать как задачу оптимизации. Определенные этапы процесса проектирования могут быть автоматизированы, но для достижения хорошего результата может потребоваться опытный разработчик. Проектирование цифровых фильтров — сложная задача. Несмотря на то, что принципы работы фильтров легко понять и рассчитать, практические сложности их проектирования и реализации значительны и являются предметом углубленных исследований.

Фаза и групповая задержка

Фильтр с полной пропускной способностью пропускает все частоты без изменений, но изменяет фазу сигнала. Фильтры этого типа могут использоваться для компенсации групповой задержки рекурсивных фильтров. Этот фильтр также применяется в эффектах фазирования. Трансформатор Гильберта — это особый фильтр с полной пропускной способностью, который пропускает синусоиды с неизменной амплитудой, но сдвигает фазу каждой синусоиды на ±90°. Фракционный фильтр задержки — это фильтр с полной пропускной способностью, обеспечивающий заданную и постоянную групповую или фазовую задержку для всех частот.

Импульсная реакция

Существует прямое соответствие между частотной характеристикой фильтра и его импульсным откликом: первая является преобразованием Фурье второй. Это означает, что любое требование к частотной характеристике является требованием к импульсному отклику, и наоборот. Однако в определенных приложениях импульсный отклик фильтра может быть задан явно, и процесс проектирования направлен на получение максимально точного приближения к требуемому импульсному отклику с учетом всех остальных требований. В некоторых случаях может быть даже целесообразно рассматривать частотную характеристику и импульсный отклик фильтра, которые выбираются независимо друг от друга. Например, может потребоваться одновременно заданная частотная характеристика фильтра и минимальная эффективная ширина фильтра в сигнальной области. Последнее условие можно реализовать, рассматривая очень узкую функцию в качестве желаемого импульсного отклика фильтра, даже если эта функция не связана с требуемой частотной характеристикой. Тогда целью процесса проектирования становится создание фильтра, который в максимальной степени удовлетворяет обе эти противоречивые цели. Примером может служить высококачественное аудио, где частотный отклик (амплитуда и фаза) для стационарных сигналов (суммы синусоид) является основным требованием к фильтру, в то время как неконтролируемый импульсный отклик может привести к нежелательной деградации из-за временного растягивания переходных процессов.

Причинно-следственная связь

Любой фильтр, работающий в реальном времени (характеристика фильтра зависит только от текущих и предыдущих входных сигналов), должен быть причинным. Если в процессе проектирования получается неказуальный фильтр, его можно сделать причинным, введя соответствующий сдвиг во времени (или задержку). Фильтры, не работающие в реальном времени (например, для обработки изображений), могут быть неказуальными. Неказуальные фильтры могут быть спроектированы с нулевой задержкой.

Стабильность

Стабильный фильтр обеспечивает, что любой ограниченный входной сигнал порождает ограниченный отклик фильтра. Фильтр, не соответствующий этому требованию, в определенных ситуациях может оказаться бесполезным или даже вредным. Некоторые подходы к проектированию могут гарантировать стабильность, например, путем использования только цепей прямого распространения, таких как FIR-фильтр. С другой стороны, фильтры, основанные на цепях обратной связи, обладают другими преимуществами и поэтому могут быть предпочтительнее, даже если этот класс фильтров включает нестабильные фильтры. В этом случае фильтры должны быть спроектированы с особой тщательностью, чтобы избежать возникновения нестабильности.

Местность

В некоторых приложениях нам приходится иметь дело с сигналами, содержащими компоненты, которые можно описать как локальные явления, например, импульсы или скачки, имеющие определенную длительность. Следствием применения фильтра к сигналу является, в интуитивном понимании, увеличение длительности локальных явлений на ширину фильтра. Это подразумевает, что иногда важно поддерживать ширину импульсной характеристики фильтра как можно меньшей. Согласно соотношению неопределенностей преобразования Фурье, произведение ширины импульсной характеристики фильтра и ширины его частотной характеристики должно превышать определенную константу. Это означает, что любое требование к локальности фильтра также накладывает ограничение на ширину его частотной характеристики. Следовательно, одновременное выполнение требований к локальности импульсной характеристики фильтра и к ширине его частотной характеристики может быть невозможно. Это типичный пример противоречивых требований.

Комплексность вычислений

Общим стремлением при любом проектировании является минимизация количества операций (сложений и умножений), необходимых для вычисления выходного сигнала фильтра. В некоторых приложениях это является строгим требованием, например, из-за ограниченных вычислительных ресурсов, ограниченного энергопотребления или ограниченного времени. Последнее ограничение характерно для приложений реального времени. Существует несколько способов, которыми фильтр может обладать различной вычислительной сложностью. Например, порядок фильтра в большей или меньшей степени пропорционален количеству операций. Это означает, что выбор фильтра низкого порядка позволяет сократить время вычислений. Для дискретных фильтров вычислительная сложность в большей или меньшей степени пропорциональна числу коэффициентов фильтра. Если фильтр имеет большое количество коэффициентов, например, при обработке многомерных сигналов, таких как данные томографии, может быть полезно уменьшить их число, удалив те, которые достаточно близки к нулю. В многоскоростных фильтрах можно уменьшить количество коэффициентов, используя ограничения полосы пропускания, понижая дискретизацию входного сигнала (например, до частоты Найквиста) и повышая её после фильтрации. Другой аспект, связанный с вычислительной сложностью, – это возможность разделения фильтра, то есть возможность представить его как свёртку двух или более простых фильтров. Особенно это важно для многомерных фильтров, например, двумерных фильтров, используемых в обработке изображений. В этом случае можно существенно снизить вычислительную сложность, если фильтр можно разложить на свёртку одномерного фильтра по горизонтали и одномерного фильтра по вертикали. Результатом процесса проектирования фильтра может быть, например, аппроксимация желаемого фильтра в виде разделяемого фильтра или в виде суммы разделяемых фильтров.

Аналоговые фильтры

Конструирование линейных аналоговых фильтров в основном освещается в разделе, посвященном линейным фильтрам.

Уровень выборки

Если частота дискретизации не фиксирована внешними ограничениями, выбор подходящей частоты дискретизации является важным этапом проектирования. Высокая частота потребует больше вычислительных ресурсов, но меньше – для антиалиасинговых фильтров. Также может возникнуть проблема интерференции и биений с другими сигналами в системе.

Антиализинг

Для любого проектирования цифрового фильтра крайне важно анализировать и избегать эффектов наложения спектров. Часто это достигается добавлением аналоговых фильтров антиалиасинга на входе и выходе, что позволяет избежать появления частотных компонентов выше частоты Найквиста. Сложность (то есть крутизна) таких фильтров зависит от требуемого отношения сигнал/шум и отношения между частотой дискретизации и наивысшей частотой сигнала.

Принцип неопределенности

Как указано в пределе Габора, принципе неопределенности, произведение ширины частотной характеристики и ширины импульсной характеристики не может быть меньше определенной константы. Это означает, что если требуется конкретная частотная характеристика, соответствующая определенной полосе частот, то устанавливается минимальная ширина фильтра во временной области. И наоборот, если задана максимальная ширина импульсной характеристики, это определяет минимальную возможную ширину в частотной области. Это типичный пример противоречивых требований, при которых процесс разработки фильтра может стремиться к нахождению разумного компромисса.

Непрерывность и асимптотическое поведение

Пусть f(t) — функция, а — её преобразование Фурье. Существует теорема, утверждающая, что если первая производная F, имеющая разрыв, имеет порядок , то f имеет асимптотическое убывание вида . Следствием этой теоремы является то, что частотная характеристика фильтра должна быть максимально гладкой, чтобы обеспечить быстрое затухание его импульсной характеристики и, как следствие, малую длительность.

Одновременная оптимизация в обоих областях

Предыдущий метод можно расширить, включив дополнительный член ошибки, связанный с желаемым импульсным откликом фильтра в сигнальной области, с соответствующей функцией веса. Идеальный импульсный отклик можно выбирать независимо от идеальной частотной характеристики и на практике он используется для ограничения эффективной ширины и подавления эффекта звона результирующего фильтра в сигнальной области. Это достигается выбором узкого идеального импульсного отклика фильтра, например, дельта-функции, и функции веса, которая быстро возрастает с увеличением расстояния от начала координат, например, пропорционально квадрату расстояния. Оптимальный фильтр по-прежнему можно вычислить, решив простую задачу наименьших квадратов, и результирующий фильтр будет представлять собой "компромисс", обеспечивающий наилучшее соответствие идеальным функциям в обеих областях. Важным параметром является относительная сила двух функций веса, определяющая, в какой области важнее обеспечить хорошее соответствие идеальной функции.