Үш өлшемді координат жүйесі: Цилиндрлік координаттар, осьтен қашықтық, бағыт және жазықтықтан арақашықтық арқылы нүктені анықтау. Математика, геометрия.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
3 өлшемді координаттар жүйесі
3 dimensional coordinate system
Цилиндрлік координаттар жүйесі – таңдалған анықтама осінен (суреттегі L осі), осы оське қатысты бағыттан (A осі) және таңдалған анықтама жазықтығынан (күлгін бөліктен тұратын жазықтықтан) нүктенің орналасуын анықтайтын үш өлшемді координаттар жүйесі. Соңғы арақашықтық анықтама жазықтығына қарағанда нүкте қай жақта орналасқандығына байланысты оң немесе теріс санмен беріледі. Жүйенің бастапқы нүктесі – үш координатаның да нөлге тең болатын нүкте. Бұл – анықтама жазықтығы мен осьтің қиылысу нүктесі. Ось әртүрлі жағдайда цилиндрлік немесе бойлық ось деп аталады, оны полярлық осьтен ажырату үшін, ол бастапқы нүктеден өтетін және анықтама бағытына қарай бағытталған сәуле. Бойлық оське перпендикуляр басқа бағыттар радиалдық түзулер деп аталады. Осьтен арақашықтық радиалдық арақашықтық немесе радиус деп аталуы мүмкін, ал бұрыштық координата кейде бұрыштық орналасу немесе азимут деп аталады. Радиус және азимут бірге полярлық координаттар деп аталады, себебі олар нүкте арқылы өтетін және анықтама жазықтығына параллель болатын екі өлшемді полярлық координаттар жүйесіне сәйкес келеді. Үшінші координата биіктік немесе абсолютті биіктік (егер анықтама жазықтығы көлденең деп есептелсе), бойлық орналасу немесе осьтік орналасу деп аталуы мүмкін. Цилиндрлік координаттар бойлық оське қатысты белгілі бір айналу симметриясы бар объектілер мен құбылыстарды зерттеуде пайдалы, мысалы, дөңгелек қимасы бар түзу құбырдағы су ағыны, металл цилиндрдегі жылу таралуы, ұзын, түзу сымдағы электр тогынан туындаған электромагниттік өрістер, астрономиядағы аккрециялық дискілер және т.б. Олар кейде «цилиндрлік полярлық координаттар» және «полярлық цилиндрлік координаттар» деп аталады, сондай-ақ галактикадағы жұлдыздардың орнын анықтау үшін қолданылады («галактикалық цилиндрлік полярлық координаттар»).
A cylindrical coordinate system is a three dimensional coordinate system that specifies point positions by the distance from a chosen reference axis (axis L in the image opposite), the direction from the axis relative to a chosen reference direction (axis A), and the distance from a chosen reference plane perpendicular to the axis (plane containing the purple section). The latter distance is given as a positive or negative number depending on which side of the reference plane faces the point. The origin of the system is the point where all three coordinates can be given as zero. This is the intersection between the reference plane and the axis. The axis is variously called the cylindrical or longitudinal axis, to differentiate it from the polar axis, which is the ray that lies in the reference plane, starting at the origin and pointing in the reference direction. Other directions perpendicular to the longitudinal axis are called radial lines. The distance from the axis may be called the radial distance or radius, while the angular coordinate is sometimes referred to as the angular position or as the azimuth. The radius and the azimuth are together called the polar coordinates, as they correspond to a two dimensional polar coordinate system in the plane through the point, parallel to the reference plane. The third coordinate may be called the height or altitude (if the reference plane is considered horizontal), longitudinal position, or axial position. Cylindrical coordinates are useful in connection with objects and phenomena that have some rotational symmetry about the longitudinal axis, such as water flow in a straight pipe with round cross section, heat distribution in a metal cylinder, electromagnetic fields produced by an electric current in a long, straight wire, accretion disks in astronomy, and so on. They are sometimes called "cylindrical polar coordinates" and "polar cylindrical coordinates", and are sometimes used to specify the position of stars in a galaxy ("galactocentric cylindrical polar coordinates").
Бірегей цилиндрлік координаттар
Полярлық координаттардағыдай, цилиндрлік координаттары (ρ, φ, z) бар бір нүктеде шексіз көп теңдес координаттар болады, атап айтқанда (ρ, φ ± n × 360°, z) және (−ρ, φ ± (2n + 1) × 180°, z), мұндағы n – кез келген бүтін сан. Сонымен қатар, егер радиус ρ нөлге тең болса, азимут кез келген шамада болуы мүмкін. Әрбір нүкте үшін бірегей координаттар жиынтығын алу үшін радиустың теріс емес (ρ ≥ 0) болуын және азимут φ-тің 360° кеңістікте орналасқан белгілі бір аралықта болуын, мысалы [−180°, +180°] немесе [0°, 360°] деп шектеуге болады.
As in polar coordinates, the same point with cylindrical coordinates (ρ, φ, z) has infinitely many equivalent coordinates, namely (ρ, φ ± n×360°, z) and (−ρ, φ ± (2n + 1)×180°, z), where n is any integer. Moreover, if the radius ρ is zero, the azimuth is arbitrary. In situations where someone wants a unique set of coordinates for each point, one may restrict the radius to be non negative (ρ ≥ 0) and the azimuth φ to lie in a specific interval spanning 360°, such as [−180°,+180°] or [0,360°].
Конвенциялар
Цилиндрлік координаттардың белгілеуі біркелкі емес. ISO 3111 стандарты (ρ, φ, z) түрін ұсынады, онда ρ – радиалды координата, φ – азимут, ал z – биіктік. Дегенмен, радиус көбінесе r немесе s арқылы, азимут θ немесе t арқылы, ал үшінші координата h немесе (цилиндрлік ось көлденең деп есептелсе) x немесе нақты жағдайға қатысты кез келген әріппен белгіленеді. Конкретті жағдайларда және көптеген математикалық иллюстрацияларда оң бұрыштық координата оң биіктігі бар кез келген нүктеден қарсы сағат тіліне қарсы бағытта өлшенеді.
The notation for cylindrical coordinates is not uniform. The ISO standard 31 11 recommends (ρ, φ, z), where ρ is the radial coordinate, φ the azimuth, and z the height. However, the radius is also often denoted r or s, the azimuth by θ or t, and the third coordinate by h or (if the cylindrical axis is considered horizontal) x, or any context specific letter. In concrete situations, and in many mathematical illustrations, a positive angular coordinate is measured counterclockwise as seen from any point with positive height.
Координаттық жүйелерді түрлендіру
Цилиндрлік координаттар жүйесі – үш өлшемді координаттар жүйелерінің бірі. Оларды бір-біріне түрлендіру үшін келесі формулаларды пайдалануға болады.
The cylindrical coordinate system is one of many three dimensional coordinate systems. The following formulae may be used to convert between them.
Цилиндрлік гармоникалар
Лаплас теңдеуінің цилиндрлік симметриялы жүйедегі шешімдері цилиндрлік гармоникалар деп аталады.
The solutions to the Laplace equation in a system with cylindrical symmetry are called cylindrical harmonics.