Цилиндрическая система координат

Введение

3-мерная система координат

Цилиндрическая система координат — это трехмерная система координат, определяющая положение точек по расстоянию от выбранной оси отсчета (ось L на изображении), направлению от оси относительно выбранного направления отсчета (ось A) и расстоянию от выбранной опорной плоскости, перпендикулярной оси (плоскости, содержащей фиолетовый сектор). Последнее расстояние указывается положительным или отрицательным числом в зависимости от того, по какую сторону от опорной плоскости находится точка. Начало координат – это точка, в которой все три координаты равны нулю. Это точка пересечения опорной плоскости и оси. Ось называется цилиндрической или продольной, чтобы отличать её от полярной оси, которая представляет собой луч, лежащий в опорной плоскости, начинающийся в начале координат и направленный в направлении отсчета. Другие направления, перпендикулярные продольной оси, называются радиальными линиями. Расстояние от оси может называться радиальным расстоянием или радиусом, а угловая координата – угловым положением или азимутом. Радиус и азимут вместе называются полярными координатами, поскольку они соответствуют двумерной полярной системе координат в плоскости, проходящей через точку и параллельной опорной плоскости. Третью координату можно назвать высотой или уровнем (если опорная плоскость считается горизонтальной), продольной позицией или осевой позицией. Цилиндрические координаты полезны при описании объектов и явлений, обладающих некоторой осевой симметрией, таких как течение воды в прямой трубе круглого сечения, распределение тепла в металлическом цилиндре, электромагнитные поля, создаваемые электрическим током в длинном прямом проводе, аккреционные диски в астрономии и так далее. Их иногда называют «цилиндрическими полярными координатами» или «полярными цилиндрическими координатами», и иногда используют для определения положения звезд в галактике («галактикоцентрические цилиндрические полярные координаты»).

A cylindrical coordinate system is a three dimensional coordinate system that specifies point positions by the distance from a chosen reference axis (axis L in the image opposite), the direction from the axis relative to a chosen reference direction (axis A), and the distance from a chosen reference plane perpendicular to the axis (plane containing the purple section). The latter distance is given as a positive or negative number depending on which side of the reference plane faces the point. The origin of the system is the point where all three coordinates can be given as zero. This is the intersection between the reference plane and the axis. The axis is variously called the cylindrical or longitudinal axis, to differentiate it from the polar axis, which is the ray that lies in the reference plane, starting at the origin and pointing in the reference direction. Other directions perpendicular to the longitudinal axis are called radial lines. The distance from the axis may be called the radial distance or radius, while the angular coordinate is sometimes referred to as the angular position or as the azimuth. The radius and the azimuth are together called the polar coordinates, as they correspond to a two dimensional polar coordinate system in the plane through the point, parallel to the reference plane. The third coordinate may be called the height or altitude (if the reference plane is considered horizontal), longitudinal position, or axial position. Cylindrical coordinates are useful in connection with objects and phenomena that have some rotational symmetry about the longitudinal axis, such as water flow in a straight pipe with round cross section, heat distribution in a metal cylinder, electromagnetic fields produced by an electric current in a long, straight wire, accretion disks in astronomy, and so on. They are sometimes called "cylindrical polar coordinates" and "polar cylindrical coordinates", and are sometimes used to specify the position of stars in a galaxy ("galactocentric cylindrical polar coordinates").

Уникальные цилиндрические координаты

Как и в полярных координатах, одна и та же точка с цилиндрическими координатами (ρ, φ, z) имеет бесконечно много эквивалентных координат, а именно (ρ, φ ± n × 360°, z) и (−ρ, φ ± (2n + 1) × 180°, z), где n – любое целое число. Кроме того, если радиус ρ равен нулю, азимут может быть любым. В случаях, когда требуется однозначное определение координат для каждой точки, можно ограничить радиус неотрицательными значениями (ρ ≥ 0), а азимут φ – определенным интервалом, охватывающим 360°, например, [−180°, +180°] или [0, 360°].

Конвенции

Обозначение цилиндрических координат не является единообразным. Стандарт ISO 31 11 рекомендует (ρ, φ, z), где ρ — радиальная координата, φ — азимут, а z — высота. Однако радиус также часто обозначается r или s, азимут — θ или t, а третья координата — h или (если цилиндрическая ось считается горизонтальной) x, либо любой буквой, зависящей от контекста. В конкретных случаях и во многих математических иллюстрациях положительная угловая координата измеряется против часовой стрелки, если смотреть с любой точки с положительной высотой.

Переводы координатных систем

Цилиндрическая система координат – одна из многих трехмерных систем координат. Для преобразования между ними можно использовать следующие формулы.

Цилиндрические гармоники

Решения уравнения Лапласа в системе с цилиндрической симметрией называются цилиндрическими гармониками.