Кіріспе
Ешбір көбейткішті көбейту нәтижесінде алынған, бос емес көбейтінді математикада бос көбейтінді, немесе нөлдік көбейтінді, немесе вакуумдық көбейтінді деп аталады. Бұл – ешбір көбейткішті көбейтудің нәтижесі. Конвенция бойынша, ол көбейтуге қатысты бейтарап элементке тең (егер сұрақталған көбейту операциясы үшін бейтарап элемент болса), дәл сол сияқты, ешбір санды қосу нәтижесінде алынған бос қосынды – конвенция бойынша нөлге, яғни қосуға қатысты бейтарап элементке тең. Егер сандар туралы айтылса, бос көбейтінді бірге тең болады. "Бос көбейтінді" термині көбінесе арифметикалық амалдарды талқылағанда жоғарыда аталған мағынада қолданылады. Дегенмен, бұл термин кейде жиындық теориялық қиылыстарды, категориялық көбейтінділерді және компьютерлік бағдарламалаудағы көбейтінділерді талқылау кезінде де қолданылады.
the non empty product that equals to zero
In mathematics, an empty product, or nullary product or vacuous product, is the result of multiplying no factors. It is by convention equal to the multiplicative identity (assuming there is an identity for the multiplication operation in question), just as the empty sum—the result of adding no numbers—is by convention zero, or the additive identity. When numbers are implied, the empty product becomes one. The term empty product is most often used in the above sense when discussing arithmetic operations. However, the term is sometimes employed when discussing set theoretic intersections, categorical products, and products in computer programming.
Анықтама
a1, a2, a3 сандар тізбегі болсын, және ол тізбектің алғашқы m элементтерінің көбейтіндісі болсын. Содан кейін,
be the product of the first m elements of the sequence. Then
for all m = 1, 2, provided that we use the convention In other words, a "product" with no factors at all evaluates to 1. Allowing a "product" with zero factors reduces the number of cases to be considered in many mathematical formulas. Such a "product" is a natural starting point in induction proofs, as well as in algorithms. For these reasons, the "empty product is one" convention is common practice in mathematics and computer programming.
барлық m = 1, 2 үшін орындалады, егер біз конвенцияны қолдансақ. Басқаша айтқанда, ешқандай көбейткіші жоқ "көбейтінді" 1-ге тең. Көбейткіштері жоқ "көбейтіндіге" рұқсат ету көптеген математикалық формулаларда қарастырылатын жағдайлар санын азайтады. Мұндай "көбейтінді" индукциялық дәлелдемелерде де, алгоритмдерде де табиғи бастапқы нүкте болып табылады. Осы себептерге байланысты "бос көбейтінді бірге тең" конвенциясы математика мен компьютерлік бағдарламалауда жиі қолданылады.
be the product of the first m elements of the sequence. Then
for all m = 1, 2, provided that we use the convention In other words, a "product" with no factors at all evaluates to 1. Allowing a "product" with zero factors reduces the number of cases to be considered in many mathematical formulas. Such a "product" is a natural starting point in induction proofs, as well as in algorithms. For these reasons, the "empty product is one" convention is common practice in mathematics and computer programming.
Бос өнімдерді анықтаудың маңыздылығы
Бос көбейтінді туралы түсінік, нөл саны мен бос жиынның пайдалы болу себебімен бірдей: олар өте қызығушылық тудырмайтын ұғымдар сияқты көрінсе де, олардың болуы көптеген тақырыптарды математикалық тұрғыда қысқаша баяндауға мүмкіндік береді. Мысалы, бос көбейтінді 0! = 1 (нөлдің факториалы) және x⁰ = 1 Тейлор қатарының жазылуын қысқартады (x = 0 жағдайындағы талқылау үшін нөлдің нөлге дәрежесіне қараңыз). Сол сияқты, егер M – n × n матрица болса, онда M⁰ – n × n бірлік матрицасы, яғни сызықтық түрлендіруді нөл рет қолдану, бірлік түрлендіруді қолданумен бірдей нәтиже береді. Тағы бір мысал ретінде, арифметиканың негізгі теоремасы 1-ден үлкен кез келген оң бүтін санды жай сандардың көбейтіндісі түрінде бірегей түрде жазуға болады дейді. Дегенмен, егер біз тек 0 немесе 1 көбейткіштен тұратын көбейтінділерге рұқсат етпесек, теорема (және оның дәлелі) ұзарады. Математикада бос көбейтіндіні қолданудың тағы да мысалдарын биномдық теоремадан (ол x⁰ = 1 барлық x үшін деп есептейді және білдіреді), Стирлинг сандарынан, Кениг теоремасынан, биномдық типтен, биномдық қатардан, айырма операторынан және Похгаммер символынан табуға болады.
Нөлдік санатты өнім
Кез келген санатта бос жиынның көбейтіндісі сол санаттың соңғы объектісі болып табылады. Бұл көбейтіндінің шек анықтамасын қолдану арқылы көрсетілуі мүмкін. n-еселенген категориялық көбейтінді, n объектісі бар дискретті санатпен берілген диаграммаға қатысты шек ретінде анықталады. Бос көбейтінді, бос санатқа қатысты шек ретінде беріледі, және егер ол санатта болса, соңғы объекті болып табылады. Бұл анықтама жоғарыда айтылғандай нәтижелерді алу үшін арнайыландырылған. Мысалы, жиынтар санатында категориялық көбейтінді – әдеттегі Картезиан көбейтіндісі, ал соңғы объекті – бір элементті жиын. Топтар санатында категориялық көбейтінді – топтардың Картезиан көбейтіндісі, ал соңғы объекті – бір элементі бар тривиалды топ. Бос көбейтіндінің стандартты арифметикалық анықтамасын алу үшін, біз бос көбейтіндіні шекті жиынтар санатына дейін декатегоризациялауымыз керек. Сол сияқты, бос жиынның коөнімi бастапқы объекті болып табылады. Берілген санатта нөлдік категориялық көбейтінділер немесе коөнімдер болмауы мүмкін; мысалы, өрістер санатында, екеуі де жоқ.
Логикалық тұрғыдан
Классикалық логика конъюнкцияның әрекетін анықтайды, ол предикаттар есебінде (predicate calculus) жалпыға бірдей сандық анықтамаға (quantification) көшіріледі және логикалық көбейту ретінде кеңінен танымал, себебі біз шындықты 1-мен, ал жалғанды 0-мен интуитивті түрде байланыстырамыз және біздің конъюнкциямыз қарапайым көбейтуші сияқты жұмыс істейді. Көбейтушілердің саны шексіз болуы мүмкін. Егер 0 кіріс болса, бос конъюнкция пайда болады, ол әрқашан шындыққа тең. Бұл логикадағы тағы бір ұғыммен байланысты – бос шындық (vacuous truth), ол бізге бос объектілер жиыны кез келген қасиетке ие болуы мүмкін екенін көрсетеді. Бұл конъюнкцияның (жалпы логиканың бір бөлігі ретінде) 1-ге тең немесе одан кіші мәндермен жұмыс істеуін түсіндіруге болады. Яғни, конъюнкция неғұрлым ұзақ болса, 0 нәтижесіне жету ықтималдығы соғұрлым артады. Конъюнкция тек ұсыныстарды тексереді және ұсыныстардың бірі жалған деп бағаланса, 0 (немесе жалған) қайтарады. Біріктірілген ұсыныстардың санын азайту тексеруден өту және 1-ге қол жеткізу мүмкіндігін арттырады. Атап айтқанда, егер тексеруге 0 тест немесе элемент болса, ешқайсысы сәтсіздікке ұшырамайды, сондықтан қандай ұсыныстар немесе элемент қасиеттері тексерілсе де, біз әрқашан сәтті аяқтауымыз керек.