Введение

Результат умножения ни одного множителя — это непустое произведение, равное нулю. В математике, пустое произведение, или нульарное произведение, или вакуумное произведение, — это результат умножения ни одного множителя. По соглашению оно равно мультипликативной единице (при условии, что для рассматриваемой операции умножения существует единица), подобно тому, как пустая сумма — результат сложения ни одного числа — по соглашению равна нулю, или аддитивной единице. Если подразумеваются числа, пустое произведение равно единице. Термин «пустое произведение» чаще всего используется в указанном смысле при обсуждении арифметических операций. Однако этот термин иногда применяется при обсуждении пересечений множеств, категорных произведений и произведений в программировании.

Определение

Пусть a1, a2, a3, … — последовательность чисел, и пусть

будет произведением первых m элементов последовательности. Тогда

для всех m = 1, 2, …, при условии, что мы используем соглашение о том, что пустое произведение равно 1. Иными словами, "произведение" без каких-либо множителей равно 1. Допущение "произведения" с нулевым числом множителей уменьшает количество случаев, которые необходимо рассматривать во многих математических формулах. Такое "произведение" является естественной отправной точкой в доказательствах по индукции, а также в алгоритмах. По этим причинам, соглашение о том, что "пустое произведение равно единице", является обычной практикой в математике и программировании.

Соответствие определения пустых продуктов

Понятие пустого произведения полезно по той же причине, что и число ноль и пустое множество: хотя они кажутся довольно неинтересными понятиями, их существование позволяет значительно сократить математическую запись многих тем. Например, пустые произведения 0! = 1 (факториал нуля) и x⁰ = 1 упрощают обозначения ряда Тейлора (см. «Ноль в степени нуля» для обсуждения случая, когда x = 0). Аналогично, если M — матрица n × n, то M⁰ — это n × n единичная матрица, что отражает тот факт, что применение линейного преобразования ноль раз имеет тот же эффект, что и применение тождественного преобразования. В качестве другого примера, основная теорема арифметики утверждает, что любое положительное целое число, большее 1, может быть единственным образом представлено в виде произведения простых чисел. Однако, если мы не допускаем произведений, содержащих только 0 или 1 множитель, то теорема (и её доказательство) становятся более длинными. Дополнительные примеры использования пустого произведения в математике можно найти в биномиальной теореме (которая предполагает и подразумевает, что x⁰ = 1 для всех x), числах Стирлинга, теореме Кёнига, биномиальном типе, биномиальном ряде, операторе дифференцирования и символе Похгаммера.

Ничтожный категорический продукт

В любой категории произведение пустого семейства является терминальным объектом этой категории. Это можно показать, используя предельное определение произведения. n-кратное категориальное произведение можно определить как предел по диаграмме, заданной дискретной категорией с n объектами. Пустое произведение, следовательно, задается пределом по пустой категории, которая и является терминальным объектом категории, если он существует. Это определение обобщается и дает указанные выше результаты. Например, в категории множеств категориальное произведение является обычным декартовым произведением, а терминальный объект – одноэлементное множество. В категории групп категориальное произведение является декартовым произведением групп, а терминальный объект – тривиальная группа с одним элементом. Чтобы получить обычное арифметическое определение пустого произведения, необходимо выполнить декатегоризацию пустого произведения в категории конечных множеств. Двойственно, сопроизведение пустого семейства является начальным объектом. Нульарные категориальные произведения или сопроизведения могут не существовать в данной категории; например, в категории полей ни то, ни другое не существует.

В логике

Классическая логика определяет операцию конъюнкции, которая обобщается до универсальной квантификации в исчислении предикатов, и широко известна как логическое умножение, поскольку мы интуитивно отождествляем истину с 1, а ложь с 0, и наша конъюнкция ведет себя как обычный множитель. Множители могут иметь произвольное число входов. В случае отсутствия входов мы имеем пустую конъюнкцию, которая тождественно равна истине. Это связано с другой концепцией в логике – вакуумной истиной, которая утверждает, что пустое множество объектов может обладать любым свойством. Это можно объяснить тем, что конъюнкция (как часть логики в целом) оперирует значениями, не превышающими 1. Это означает, что чем длиннее конъюнкция, тем выше вероятность получить 0. Конъюнкция лишь проверяет высказывания и возвращает 0 (или ложь), как только одно из высказываний оценивается как ложное. Уменьшение числа соединенных высказываний повышает вероятность успешного прохождения проверки и сохранения значения 1. В частности, если нет ни одного теста или элемента для проверки, ни один из них не может провалиться, поэтому по умолчанию мы всегда должны получать успех, независимо от того, какие высказывания или свойства элементов предполагалось проверить.