Введение

Плоскостная кривая: коническое сечение

В математике парабола — это плоская кривая, обладающая зеркальной симметрией и имеющая приблизительно U-образную форму. Существует несколько различных, на первый взгляд, математических описаний, которые все доказываемо определяют одну и ту же кривую. Одно из описаний параболы включает в себя точку (фокус) и прямую (директрису). Фокус не лежит на директрисе. Парабола — это геометрическое место точек, равноудалённых от директрисы и фокуса. Другое описание параболы — как коническое сечение, образующееся при пересечении прямой круговой конической поверхности плоскостью, параллельной другой плоскости, касательной к конической поверхности. График квадратичной функции (при ) является параболой, ось которой параллельна оси y. И наоборот, любая такая парабола является графиком квадратичной функции. Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус (то есть прямая, делящая параболу пополам), называется "осью симметрии". Точка, в которой парабола пересекает свою ось симметрии, называется "вершиной" и является точкой наибольшего изгиба параболы. Расстояние между вершиной и фокусом, измеренное вдоль оси симметрии, называется "фокусным расстоянием". "Параметрическая хорда" (или "latus rectum") — это хорда параболы, параллельная директрисе и проходящая через фокус. Параболы могут быть открыты вверх, вниз, влево, вправо или в любом другом произвольном направлении. Любую параболу можно переместить и масштабировать так, чтобы она точно совпала с любой другой параболой — то есть все параболы геометрически подобны. Параболы обладают свойством, что если они изготовлены из материала, отражающего свет, то лучи света, параллельные оси симметрии параболы и падающие на её вогнутую сторону, отражаются в фокус, независимо от точки падения на параболе. И наоборот, свет, исходящий из точечного источника в фокусе, отражается в параллельный ("коллимированный") пучок, покидая параболу параллельно оси симметрии. Тот же эффект наблюдается со звуком и другими волнами. Это отражающее свойство лежит в основе многих практических применений парабол. Парабола имеет множество важных применений, от параболической антенны или параболического микрофона до отражателей автомобильных фар и конструкции баллистических ракет. Она часто используется в физике, инженерии и многих других областях.

История

Самая ранняя известная работа по коническим сечениям была выполнена Менахмом в IV веке до н.э. Он обнаружил способ решения задачи удвоения куба с использованием параболы. (Однако, это решение не соответствует требованиям построения только циркулем и линейкой.) Площадь, заключенная параболой и отрезком прямой, так называемый "параболический сегмент", была вычислена Архимедом методом исчерпывания в III веке до н.э. в его труде «Квадратура параболы». Название «парабола» происходит от Аполлония, который открыл множество свойств конических сечений. Оно означает «приложение», отсылая к концепции «приложения площадей», связанной с этой кривой, что было доказано Аполлонием. Свойство фокуса и директрисы параболы и других конических сечений установлено Паппом. Галилей показал, что траектория снаряда описывается параболой, что является следствием равномерного ускорения под действием силы тяжести. Идея о том, что параболический отражатель может формировать изображение, была хорошо известна еще до изобретения рефлекторного телескопа. В начале и середине XVII века многие математики, включая Рене Декарта, Марина Мерсенна и Джеймса Грегори, предлагали различные конструкции. Когда Исаак Ньютон построил первый рефлекторный телескоп в 1668 году, он отказался от использования параболического зеркала из-за сложности его изготовления, предпочтя сферическое зеркало. Параболические зеркала используются в большинстве современных рефлекторных телескопов, а также в спутниковых тарелках и радиолокационных приемниках.

Сходство с параболой единицы

Два объекта в евклидовой плоскости подобны, если один может быть преобразован в другой посредством подобия, то есть произвольной композиции движений (трансляций и вращений) и равномерных масштабирований. Парабола с вершиной может быть преобразована трансляцией в параболу с началом координат в качестве вершины. Подходящее вращение вокруг начала координат затем может преобразовать параболу в параболу, у которой ось y является осью симметрии. Следовательно, любая парабола может быть преобразована движением в параболу с уравнением. Такая парабола затем может быть преобразована равномерным масштабированием в единичную параболу с уравнением. Таким образом, любую параболу можно отобразить на единичную параболу посредством подобия. Синтетический подход, использующий подобные треугольники, также может быть использован для установления этого результата. Общий результат заключается в том, что два конических сечения (необходимо одного и того же типа) подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую эксцентриситет и педальную кривую.

Отражение света, поражающего выпуклую сторону

Если свет распространяется вдоль прямой , он движется параллельно оси симметрии и падает на выпуклую сторону параболы в точке E. Из приведенной выше схемы видно, что этот свет будет отражен прямо от фокуса, вдоль продолжения отрезка .

Альтернативные доказательства

Вышеприведенные доказательства свойств отражения и биссектрисы касательной используют методы математического анализа. Здесь представлено геометрическое доказательство. На этой диаграмме F – фокус параболы, а T и U лежат на её директрисе. P – произвольная точка на параболе, а отрезок перпендикулярен директрисе, при этом прямая является биссектрисой угла ∠FPT. Q – другая точка на параболе, с отрезком перпендикулярным директрисе. Мы знаем, что = и = . Очевидно, > , следовательно, > . Все точки на биссектрисе равноудалены от F и T, но Q ближе к F, чем к T. Это означает, что Q находится левее точки , то есть на той же стороне от неё, что и фокус. То же самое верно для любой другой точки Q на параболе (кроме точки P), поэтому вся парабола, за исключением точки P, лежит на стороне фокуса. Следовательно, является касательной к параболе в точке P. Поскольку она является биссектрисой угла ∠FPT, это доказывает свойство биссектрисы касательной. Логика последнего абзаца может быть применена для модификации вышеприведенного доказательства свойства отражения. Она эффективно доказывает, что прямая является касательной к параболе в точке E, если углы α равны. Свойство отражения следует из ранее показанного.

Свойства, связанные с теоремой Паскаля

Параболу можно рассматривать как аффинную часть невырожденной проективной коники с точкой на прямой бесконечности, являющейся касательной. 5, 4 и 3-точечные дегенерации теоремы Паскаля – это свойства коники, связанные как минимум с одной касательной. Если рассматривать эту касательную как прямую на бесконечности, а точку касания – как точку на бесконечности оси y, то получаются три утверждения для параболы. Следующие свойства параболы оперируют только понятиями "соединять", "пересекать", "параллельны", которые являются инвариантами подобия. Следовательно, достаточно доказать любое свойство для единичной параболы с уравнением .

Собственность 4 баллов

Любую параболу можно описать в подходящей системе координат уравнением em = 1.5. Пусть даны четыре точки параболы , и пусть – точка пересечения секущей прямой с прямой , а – точка пересечения секущей прямой с прямой (см. рисунок). Тогда секущая прямая параллельна прямой . (Прямые и параллельны оси параболы.) Доказательство: прямое вычисление для единичной параболы. Применение: свойство параболы в 4 точках можно использовать для построения точки , если даны и . Примечание: свойство параболы в 4 точках является аффинной версией 5-точечной вырожденной формы теоремы Паскаля.

3-точечная1-тангентная свойство

Пусть A, B и C – три точки параболы с уравнением y = x², а D – точка пересечения секущей AB с линией x = x_C и E – точка пересечения секущей BC с линией x = x_A (см. рисунок). Тогда касательная в точке A параллельна прямой DE. (Прямые x = x_A и x = x_C параллельны оси параболы.) Доказательство: может быть выполнено для единичной параболы. Небольшой расчет показывает: прямая DE имеет наклон (y_D - y_E) / (x_D - x_E), который равен наклону касательной в точке A. Применение: Свойство касательной к параболе по трем точкам можно использовать для построения касательной в точке A, если известны точки B и C. Примечание: Свойство касательной к параболе по трем точкам является аффинной версией четырехточечной дегенерации теоремы Паскаля.

Свойство 2-точек2-тангентов

Пусть – две точки параболы с уравнением , а – точка пересечения касательной в точке с прямой , а – точка пересечения касательной в точке с прямой (см. рисунок). Тогда секущая параллельна прямой (прямые и параллельны оси параболы). Доказательство: прямое вычисление для единичной параболы. Применение: свойство двух точек – двух касательных можно использовать для построения касательной к параболе в точке , если заданы касательная в точке и касательная в точке . Примечание 1: свойство двух точек – двух касательных параболы является аффинной версией трёхточечной вырожденной формы теоремы Паскаля. Примечание 2: свойство двух точек – двух касательных не следует путать с другим свойством параболы, которое также связано с двумя точками и двумя касательными, но не имеет отношения к теореме Паскаля.

Два касательных свойства, связанные с латус-ректумом

Пусть линия симметрии пересекает параболу в точке Q, и обозначим фокус как точку F, а расстояние от точки Q до фокуса – как f. Пусть перпендикуляр к линии симметрии, проходящий через фокус, пересекает параболу в точке T. Тогда (1) расстояние от F до T равно 2f, и (2) касательная к параболе в точке T пересекает линию симметрии под углом 45°.

Ортоптическое свойство

Если две касательные к параболе перпендикулярны друг другу, то они пересекаются на директрисе. И наоборот, две касательные, пересекающиеся на директрисе, перпендикулярны. Иными словами, из любой точки на директрисе парабола видна под прямым углом.

Теорема Ламберта

Пусть три касательные к параболе образуют треугольник. Тогда теорема Ламберта утверждает, что фокус параболы лежит на описанной окружности этого треугольника.

Фокусная длина, рассчитанная на основе параметров аккорда

Предположим, что хорда пересекает параболу перпендикулярно её оси симметрии. Пусть длина хорды между точками пересечения с параболой равна c, а расстояние от вершины параболы до хорды, измеренное вдоль оси симметрии, равно d. Фокусное расстояние f параболы определяется следующим образом:

Площадь, заключенная между параболой и аккорд

Площадь, заключенная между параболой и хордой (см. диаграмму), составляет две трети площади параллелограмма, который её ограничивает. Одна сторона параллелограмма – это хорда, а противоположная сторона – касательная к параболе. Наклон других параллельных сторон не влияет на площадь. Часто, как здесь, они изображены параллельно оси симметрии параболы, но это произвольно. Теорема, эквивалентная данной, но отличающаяся в деталях, была получена Архимедом в III веке до нашей эры. Он использовал площади треугольников, а не площади параллелограмма. См. «Квадратура параболы». Если хорда имеет длину b и перпендикулярна оси симметрии параболы, а перпендикулярное расстояние от вершины параболы до хорды равно h, то параллелограмм является прямоугольником со сторонами b и h. Следовательно, площадь A параболического сегмента, заключенного параболой и хордой, равна

Эту формулу можно сравнить с площадью треугольника:
В общем случае, заключенную площадь можно вычислить следующим образом. Сначала найдите точку на параболе, в которой её наклон равен наклону хорды. Это можно сделать с помощью дифференциального исчисления или с помощью прямой, параллельной оси симметрии параболы и проходящей через середину хорды. Требуемая точка – это точка пересечения этой прямой с параболой. Затем, используя формулу, приведенную в разделе «Расстояние от точки до прямой», вычислите перпендикулярное расстояние от этой точки до хорды. Умножьте это расстояние на длину хорды, чтобы получить площадь параллелограмма, а затем на 2/3, чтобы получить требуемую заключенную площадь.

Следующее положение касается средних и конечных точек аккордов

Одно из следствий вышесказанного заключается в том, что если парабола имеет несколько параллельных хорд, то середины всех этих хорд лежат на прямой, параллельной оси симметрии. Если к параболе проведены касательные через концы любой из этих хорд, то эти две касательные пересекаются на той же прямой, параллельной оси симметрии (см. направление оси параболы).

Длина дуги

Если точка X расположена на параболе с фокусным расстоянием f, и если p – перпендикулярное расстояние от X до оси симметрии параболы, то длины дуг параболы, заканчивающихся в точке X, можно вычислить по формулам, использующим f и p, при условии, что все величины выражены в одних и тех же единицах измерения. Эта величина s представляет собой длину дуги между точкой X и вершиной параболы. Длина дуги между точкой X и симметрично противоположной точкой на другой стороне параболы равна 2s. Перпендикулярному расстоянию p можно присвоить положительный или отрицательный знак, чтобы указать, по какую сторону от оси симметрии расположена точка X. Изменение знака p изменяет знаки h и s, не меняя их абсолютных значений. Если эти величины имеют знак, то длина дуги между любыми двумя точками на параболе всегда определяется разностью их значений s. Вычисления можно упростить, используя свойства логарифмов:

Это может быть полезно, например, при расчете количества материала, необходимого для изготовления параболического отражателя или параболического желоба. Данный расчет применим к параболе любой ориентации и не ограничивается случаем, когда ось симметрии параллельна оси y.

Парабола в космосе

Определение параболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной параболы, даже в пространстве, если позволить t быть векторами в пространстве.

Числовая интеграция

В одном из методов численного интегрирования график функции заменяется дугами парабол, и производится интегрирование этих дуг парабол. Парабола определяется тремя точками. Формула для одной дуги выглядит следующим образом:

Этот метод называется правилом Симпсона.

Как трисектрикс

Парабола может использоваться в качестве трисектрисы, то есть она позволяет точно разделить произвольный угол на три равные части с помощью линейки и циркуля. Это не противоречит доказанной невозможности трисекции угла только с помощью циркуля и линейки, поскольку использование параболы не допускается в классических правилах построения с циркулем и линейкой. Для трисекции угла поместите одну из его сторон на ось x так, чтобы вершина угла находилась в начале координат. Система координат также содержит параболу. Единичная окружность с радиусом 1, центр которой находится в начале координат, пересекает другую сторону угла, и из этой точки пересечения опустите перпендикуляр на ось y. Параллельная оси y, проходящая через середину этого перпендикуляра, и касательная к единичной окружности в точке пересечения, пересекаются в точке . Окружность с центром в точке и радиусом пересекает параболу в точке . Перпендикуляр из точки на ось x пересекает единичную окружность в точке , и угол, образованный стороной угла и отрезком , составляет ровно одну треть от исходного угла. Корректность этого построения можно доказать, показав, что x-координата точки является решением системы уравнений, заданной уравнением окружности и уравнением параболы, что приводит к кубическому уравнению. Затем формула тройного угла показывает, что эта x-координата действительно является решением этого кубического уравнения. Эта трисекция восходит к Рене Декарту, который описал её в своей книге «La Géométrie» (1637).

В физическом мире

В природе приближения парабол и параболоидов встречаются во многих различных ситуациях. Наиболее известным примером параболы в истории физики является траектория частицы или тела в движении под влиянием равномерного гравитационного поля без сопротивления воздуха (например, мяч, летящий по воздуху, при игнорировании трения воздуха). Параболическая траектория снарядов была обнаружена экспериментально в начале 17 века Галилеем, который проводил эксперименты с шарами, катящимися на наклонных плоскостях. Позже он также доказал это математически в своей книге «Диалог о двух новых науках». Для объектов, протяженных в пространстве, таких как дайвер, прыгающий с трамплина, сам объект следует сложному движению по мере вращения, но центр масс объекта тем не менее движется по параболе. Как и во всех случаях в физическом мире, траектория всегда является приближением параболы. Например, наличие сопротивления воздуха всегда искажает форму, хотя при низких скоростях форма является хорошим приближением параболы. При более высоких скоростях, например, в баллистике, форма сильно искажена и не напоминает параболу. Другая гипотетическая ситуация, в которой могут возникать параболы, согласно теориям физики, описанным в 17 и 18 веках сэром Исааком Ньютоном, заключается в двух тельных орбитах, например, пути небольшого планетоида или другого объекта под влиянием гравитации Солнца. Параболические орбиты не встречаются в природе; простые орбиты чаще всего напоминают гиперболы или эллипсы. Параболическая орбита является вырожденным промежуточным случаем между этими двумя типами идеальной орбиты. Объект, следующий по параболической орбите, будет двигаться с точной скоростью убегания от объекта, который он огибает; объекты на эллиптических или гиперболических орбитах движутся со скоростью меньше или больше, соответственно, чем скорость убегания. Кометы длительного периода движутся близко к скорости убегания Солнца, когда они движутся по внутренней части Солнечной системы, поэтому их пути почти параболические. Приближения параболы также встречаются в форме основных тросов на простом подвесном мосту. Кривая цепи подвесного моста всегда является промежуточной кривой между параболой и катенарией, но на практике кривая, как правило, ближе к параболе из-за веса груза (т.е. дороги), который намного больше, чем сами тросы, и в расчетах используется полиномиальная формула второй степени параболы. Под воздействием равномерной нагрузки (например, горизонтальной подвесной палубы) трос, в противном случае имеющий форму цепи, деформируется в сторону параболы (см.). В отличие от неэластичной цепи, свободно висящая пружина нулевой ненапряженной длины имеет форму параболы. Тросы подвесных мостов, в идеале, чисто натянуты, без необходимости нести другие силы, например, изгиб. Аналогично, структуры параболических арок являются чисто сжатыми. Параболоиды возникают в нескольких физических ситуациях. Наиболее известным примером является параболический рефлектор, который представляет собой зеркало или аналогичное отражающее устройство, которое концентрирует свет или другие формы электромагнитного излучения в общую фокусную точку, или наоборот, коллимирует свет из точечного источника в фокусе в параллельный луч. Принцип параболического рефлектора, возможно, был открыт в III веке до н.э. геометром Архимедом, который, согласно сомнительной легенде, построил параболические зеркала для защиты Сиракуз от римского флота, концентрируя солнечные лучи, чтобы поджечь палубы римских кораблей. Этот принцип был применен к телескопам в XVII веке. Сегодня параболоидные рефлекторы можно наблюдать по всему миру в микроволновых и спутниковых антеннах, принимающих и передающих сигналы. В параболических микрофонах параболический рефлектор используется для фокусировки звука на микрофон, обеспечивая высокую направленность. Параболоиды также наблюдаются на поверхности жидкости, ограниченной емкостью и вращающейся вокруг центральной оси. В этом случае центробежная сила заставляет жидкость подниматься по стенкам емкости, образуя параболическую поверхность. Это принцип, лежащий в основе жидкостного зеркального телескопа. Самолеты, используемые для создания невесомости в целях экспериментов, такие как «Комета-вымывка» НАСА, следуют вертикальной параболической траектории в течение коротких периодов времени, чтобы воспроизвести траекторию объекта в свободном падении, что производит тот же эффект, что и нулевая гравитация для большинства целей.