Введение

Линейный оператор, равный своему собственному сопряжённому оператору.
В математике, самосопряжённый оператор на бесконечномерном комплексном векторном пространстве V с внутренним произведением — это линейное отображение A (из V в себя), которое совпадает со своим сопряжённым оператором. Если V конечномерно и имеет заданный ортонормальный базис, это эквивалентно условию, что матрица A является эрмитовой матрицей, то есть равна своей сопряжённой транспонированной матрице A*. Согласно конечномерной спектральной теореме, в V существует ортонормальный базис, относительно которого матрица A является диагональной матрицей с действительными элементами. В данной статье рассматривается применение обобщений этой концепции к операторам на гильбертовых пространствах произвольной размерности. Самосопряжённые операторы используются в функциональном анализе и квантовой механике. В квантовой механике их важность обусловлена формулировкой Дирака — фон Неймана квантовой механики, в которой физические наблюдаемые, такие как положение, импульс, угловой момент и спин, представляются самосопряжёнными операторами в гильбертовом пространстве. Особое значение имеет гамильтониан, определяемый как наблюдаемая, соответствующая полной энергии частицы массы m в реальном потенциальном поле V. Дифференциальные операторы представляют собой важный класс неограниченных операторов. Структура самосопряжённых операторов на бесконечномерных гильбертовых пространствах по существу аналогична конечномерному случаю. То есть оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда он унитарно эквивалентен оператору умножения на действительную функцию. При соответствующих модификациях этот результат можно распространить на возможно неограниченные операторы в бесконечномерных пространствах. Поскольку повсюду определённый самосопряжённый оператор обязательно ограничен, необходимо уделять больше внимания вопросу области определения в неограниченном случае. Это объясняется более подробно ниже.

Спектральная теорема

В физической литературе спектральная теорема часто формулируется как утверждение о том, что самосопряжённый оператор имеет ортонормированный базис собственных векторов. Однако физики хорошо осведомлены о феномене "непрерывного спектра"; поэтому, когда они говорят об "ортонормированном базисе", они подразумевают либо ортонормированный базис в классическом смысле, либо его непрерывный аналог. Например, в случае оператора импульса физики скажут, что собственные векторы – это функции, которые явно не принадлежат пространству Гильберта (физики скажут, что собственные векторы "не нормализуемы"). Затем физики утверждают, что эти "обобщённые собственные векторы" образуют "ортонормированный базис в непрерывном смысле" для , после замены обычной дельта-функции Кронекера на дельта-функцию Дирака.

Хотя эти утверждения могут показаться обескураживающими для математиков, их можно сделать строгими, используя преобразование Фурье, которое позволяет представить общую функцию как "суперпозицию" (то есть интеграл) функций , даже если эти функции не находятся в . Преобразование Фурье "диагонализует" оператор импульса, то есть преобразует его в оператор умножения на , где – переменная преобразования Фурье. В общем виде спектральную теорему можно выразить аналогично как возможность "диагонализации" оператора, показывая, что он унитарно эквивалентен оператору умножения. Другие формулировки спектральной теоремы также направлены на то, чтобы отразить идею о том, что самосопряжённый оператор может иметь "собственные векторы", которые фактически не принадлежат рассматриваемому пространству Гильберта.

Чистый точечный спектр

Самосопряжённый оператор A на H имеет чистый точечный спектр тогда и только тогда, когда H имеет ортонормированный базис {ei}i ∈ I, состоящий из собственных векторов для A. Пример. Гамильтониан для гармонического осциллятора имеет квадратичный потенциал V, то есть

Этот гамильтониан имеет чистый точечный спектр; это типично для гамильтонианов, описывающих связанные состояния в квантовой механике. Как было отмечено в предыдущем примере, достаточное условие для того, чтобы неограниченный симметричный оператор имел собственные векторы, образующие базис гильбертова пространства, заключается в том, что он имеет компактный обратный оператор.

Симметричные и самосоединяющиеся операторы

Хотя различие между симметричным оператором и (по существу) самосопряжённым оператором тонкое, оно важно, поскольку самосопряжённость является предпосылкой спектральной теоремы. Здесь мы обсудим некоторые конкретные примеры этого различия.

Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами

Более тонкий пример различия между симметричными и (по сути) самосопряжёнными операторами можно найти в операторах Шрёдингера в квантовой механике. Если потенциальная энергия сингулярна — особенно если потенциал неограничен снизу — соответствующий оператор Шрёдингера может не быть по существу самосопряжённым. В одном измерении, например, оператор

не является по существу самосопряжённым в пространстве гладких, быстро убывающих функций. В этом случае, отсутствие существенной самосопряжённости отражает патологию в лежащей в основе классической системе: классическая частица с данным потенциалом уходит в бесконечность за конечное время. Этот оператор не имеет единственного самосопряжённого расширения, но допускает самосопряжённые расширения, получаемые путём задания "граничных условий на бесконечности". (Поскольку оператор является вещественным, он коммутирует с комплексным сопряжением. Таким образом, дефектные индексы автоматически равны, что является условием существования самосопряжённого расширения.) В этом случае, если мы изначально определим оператор на пространстве гладких, быстро убывающих функций, сопряжённый оператор будет "тем же самым" оператором (т.е. заданным той же формулой), но на максимально возможной области определения, а именно

Затем можно показать, что оператор не является симметричным, что, безусловно, подразумевает, что он не является по существу самосопряжённым. Действительно, у него есть собственные векторы с чисто мнимыми собственными значениями, что невозможно для симметричного оператора. Это странное явление возможно из-за взаимного уничтожения двух членов в операторе: существуют функции в области определения оператора, для которых ни отдельно, ни отдельно не принадлежат , но их комбинация, входящая в , принадлежит . Это позволяет оператору быть несимметричным, хотя оба оператора и являются симметричными. Такое взаимное уничтожение не происходит, если мы заменим отталкивающий потенциал на ограничивающий потенциал .

Несамодополняющие операторы в квантовой механике

В квантовой механике наблюдаемым соответствуют самосопряжённые операторы. Согласно теореме Стоуна об однопараметрических унитарных группах, самосопряжённые операторы являются как раз бесконечно малыми генераторами унитарных групп операторов временной эволюции. Однако многие физические задачи формулируются как уравнение временной эволюции, включающее дифференциальные операторы, для которых гамильтониан является лишь симметричным. В таких случаях либо гамильтониан по существу самосопряжён, и тогда физическая задача имеет единственное решение, либо предпринимается попытка найти самосопряжённые расширения гамильтониана, соответствующие различным типам граничных условий или условий на бесконечности. Пример. Одномерный оператор Шрёдингера с потенциалом, изначально определённый на гладких функциях с компактным носителем, по существу самосопряжён при 0 < α ≤ 2, но не при α > 2. Отсутствие существенной самосопряжённости для имеет аналогию в классической динамике частицы с потенциалом : классическая частица уходит в бесконечность за конечное время. Пример. Не существует самосопряжённого оператора импульса для частицы, движущейся на полупрямой. Тем не менее, гамильтониан "свободной" частицы на полупрямой имеет несколько самосопряжённых расширений, соответствующих различным типам граничных условий. Физически эти граничные условия связаны с отражением частицы в начале координат.

Теория спектральной множественности

Представление умножения самосопряжённого оператора, хотя и чрезвычайно полезное, не является каноническим. Это указывает на то, что из этого представления нелегко получить критерий для определения, когда самосопряжённые операторы A и B унитарно эквивалентны. Более детальное представление, которое мы сейчас обсудим, связано со спектральной кратностью. Этот комплекс результатов называется теорией спектральной кратности Хана — Хеллингера.