Введение

Сокращённая запись для тензорных операций

В математике, особенно при использовании линейной алгебры в математической физике и дифференциальной геометрии, обозначение Эйнштейна (также известное как соглашение о суммировании Эйнштейна или обозначение суммирования Эйнштейна) — это нотационное соглашение, подразумевающее суммирование по набору индексированных слагаемых в формуле, что позволяет добиться краткости. В рамках математики это нотационное подмножество исчисления Риччи; однако оно часто используется в физических приложениях, не различающих касательное и кокасательное пространства. Введено в физику Альбертом Эйнштейном в 1916 году.

Применение

Нотация Эйнштейна может применяться несколько по-разному. Обычно каждый индекс встречается один раз в верхнем (верхнем индексе) и один раз в нижнем (нижнем индексе) положении в слагаемом, однако эта конвенция может быть применена в более общем виде к любым повторяющимся индексам внутри слагаемого. При работе с ковариантными и контравариантными векторами, где положение индекса также указывает тип вектора, как правило, применяется первый случай: ковариантный вектор может быть сжат только с контравариантным вектором, что соответствует суммированию произведений коэффициентов. С другой стороны, если задана фиксированная координатная база (или если координатные векторы не рассматриваются), можно использовать только нижние индексы; см. ниже.

Резюме

Преимущество обозначений Эйнштейна заключается в том, что они позволяют представлять инвариантные величины с помощью простой записи. В физике скаляр инвариантен относительно преобразований базиса. В частности, скаляр Лоренца инвариантен относительно преобразования Лоренца. Отдельные члены в сумме – нет. При изменении базиса компоненты вектора преобразуются линейно, согласно матрице. Это побудило Эйнштейна предложить соглашение, согласно которому повторяющиеся индексы подразумевают суммирование по ним. Что касается ковекторов, они преобразуются с помощью обратной матрицы. Это сделано для того, чтобы гарантировать, что линейная функция, связанная с ковектором, то есть указанная выше сумма, оставалась неизменной независимо от выбора базиса. Ценность соглашения Эйнштейна состоит в том, что оно применимо к другим векторным пространствам, построенным из V с использованием тензорного произведения и двойственности. Например, V ⊗ V, тензорное произведение V с самим собой, имеет базис, состоящий из тензоров вида 1 = eᵢⱼ = eᵢ ⊗ eⱼ. Любой тензор T в V ⊗ V можно записать как: V*, двойственное пространство к V, имеет базис e¹ , e² , ..., eⁿ, который удовлетворяет соотношению, где δ – дельта Кронекера. Поскольку координаты строк/столбцов матрицы соответствуют верхним/нижним индексам тензорного произведения.

Общие операции в этой обозначении

В обозначении Эйнштейна обычная ссылка на элемент в i-й строке и j-м столбце матрицы становится Aᵢⱼ. Далее мы можем записать следующие операции в обозначении Эйнштейна следующим образом.

Следы

Для квадратной матрицы A^(i)j, трасса — это сумма диагональных элементов, то есть сумма по повторяющемуся индексу A^(i)i.