Кіріспе
Дифференциалдық геометрияның математикалық саласында метрикалық тензор (немесе жай ғана метрика) – бұл M көптігінде (мысалы, бет) арақашықтықтар мен бұрыштарды анықтауға мүмкіндік беретін қосымша құрылым, дәл сияқты Евклид кеңістігіндегі ішкі көбейту сол жердегі арақашықтықтар мен бұрыштарды анықтауға мүмкіндік береді. Нақтырақ айтқанда, M-нің p нүктесіндегі метрикалық тензор – бұл p нүктесіндегі жанама кеңістікте анықталған билинейрлік форма (яғни жанама векторлар жұптарын нақты сандарға бейнелейтін билинейрлік функция), ал M-дегі метрикалық өріс – M-нің әрбір p нүктесіндегі метрикалық тензордан тұрады, ол p-ге қатысты тегіс түрде өзгереді. g(v, v) > 0 болатын әрбір нөлдік емес v векторы үшін метрикалық тензор g оң белгілі болады. Оң белгілі метрикалық тензормен жабдықталған көптік Риман көптігі деп аталады. Мұндай метрикалық тензорды көптіктегі инфинитезимальды арақашықтықты анықтайтын деп қарастыруға болады. Римандық M көптігінде екі нүкте p және q арасындағы тегіс қисықтың ұзындығы интегралдау арқылы анықталады, ал p және q арасындағы арақашықтық – мұндай барлық қисықтар ұзындықтарының инфимумы ретінде анықталады; бұл M-ді метрикалық кеңістікке айналдырады. Керісінше, метрикалық тензордың өзі қашықтық функциясының туындысы болып табылады (тиісті түрде ескерілгенде). Метрикалық тензор туралы түсінік белгілі бір мағынада Гаусс сияқты математиктерге 19 ғасырдың басында белгілі болған, бірақ оның тензор ретіндегі қасиеттері 20 ғасырдың басында ғана түсіндірілді, әсіресе Грегорио Риччи Курбастро мен Туллио Леви-Чивита, олар тензор ұғымын алғаш рет жүйеледі. Метрикалық тензор – тензорлық өріс мысалы. Координаталық базадағы метрикалық тензордың компоненттері симметриялық матрица түрінде болады, оның элементтері координаттық жүйедегі өзгерістер кезінде ковариантты түрде өзгереді. Сондықтан метрикалық тензор – ковариантты симметриялық тензор. Координаттарға тәуелсіз тұрғысынан алғанда, метрикалық тензор өрісі – әрбір жанама кеңістікте нүктеден нүктеге тегіс түрде өзгеретін, дегенерацияланбаған симметриялық билинейрлік форма ретінде анықталады.
metric structures on manifolds
In the mathematical field of differential geometry, a metric tensor (or simply metric) is an additional structure on a manifold M (such as a surface) that allows defining distances and angles, just as the inner product on a Euclidean space allows defining distances and angles there. More precisely, a metric tensor at a point p of M is a bilinear form defined on the tangent space at p (that is, a bilinear function that maps pairs of tangent vectors to real numbers), and a metric field on M consists of a metric tensor at each point p of M that varies smoothly with p.
A metric tensor g is positive definite if g(v, v) > 0 for every nonzero vector v. A manifold equipped with a positive definite metric tensor is known as a Riemannian manifold. Such a metric tensor can be thought of as specifying infinitesimal distance on the manifold. On a Riemannian manifold M, the length of a smooth curve between two points p and q can be defined by integration, and the distance between p and q can be defined as the infimum of the lengths of all such curves; this makes M a metric space. Conversely, the metric tensor itself is the derivative of the distance function (taken in a suitable manner). While the notion of a metric tensor was known in some sense to mathematicians such as Gauss from the early 19th century, it was not until the early 20th century that its properties as a tensor were understood by, in particular, Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita, who first codified the notion of a tensor. The metric tensor is an example of a tensor field. The components of a metric tensor in a coordinate basis take on the form of a symmetric matrix whose entries transform covariantly under changes to the coordinate system. Thus a metric tensor is a covariant symmetric tensor. From the coordinate independent point of view, a metric tensor field is defined to be a nondegenerate symmetric bilinear form on each tangent space that varies smoothly from point to point.
Кіріспе
Карл Фридрих Гаусс өзінің 1827 жылғы "Disquisitiones generales circa superficies curvas" (қисық беттердің жалпы зерттеулері) еңбегінде бетті параметрлік түрде қарастырды, онда беттегі нүктелердің декарттық координаттары x, y және z екі көмекші айнымалы u және v-ге тәуелді болды. Осылайша, параметрлік бет (қазіргі терминдермен) – нақты айнымалылардың реттелген жұбына (u, v) тәуелді векторлық функция, және ол uv жазықтықтағы ашық жиынтық D-де анықталған. Гаусс зерттеулерінің басты мақсаттарының бірі – кеңістіктегі түрлендіруге (мысалы, бетті созусыз иілу) немесе бірдей геометриялық беттің нақты параметрлік түрінің өзгеруіне ұшырағанда өзгермейтін функциямен сипатталатын беттің қасиеттерін анықтау болды. Мұндай табиғи инвариантты шамалардың бірі – бет бойымен салынған қисықтың ұзындығы. Тағы бірі – бет бойымен салынған және ортақ нүктеде қиылысатын екі қисық арасындағы бұрыш. Үшінші шама – беттің бір бөлігінің ауданы. Беттің осы инварианттарын зерттеу Гаусты қазіргі заманғы метрикалық тензор ұғымының алғыкүшіне енгізді. Метрикалық тензор төменде сипатталған; E, F және G матрицасындағы кез келген санды қамтуы мүмкін, егер матрица оң анықталған болса.
depending on an ordered pair of real variables (u, v), and defined in an open set D in the uv plane. One of the chief aims of Gauss's investigations was to deduce those features of the surface which could be described by a function which would remain unchanged if the surface underwent a transformation in space (such as bending the surface without stretching it), or a change in the particular parametric form of the same geometrical surface. One natural such invariant quantity is the length of a curve drawn along the surface. Another is the angle between a pair of curves drawn along the surface and meeting at a common point. A third such quantity is the area of a piece of the surface. The study of these invariants of a surface led Gauss to introduce the predecessor of the modern notion of the metric tensor. The metric tensor is in the description below; E, F, and G in the matrix can contain any number as long as the matrix is positive definite.
Аумағы
Беттің ауданы – беттің өзіне ғана тәуелді болатын тағы бір сандық шама, және оның қалай параметрленгеніне тәуелді емес. Егер M беті uv жазықтығындағы D доменіндегі функция арқылы параметрленген болса, онда M бетінің ауданы интеграл арқылы беріледі:
мұнда × көбейтіндіні білдіреді, ал абсолюттік мән Евклид кеңістігіндегі вектордың ұзындығын көрсетеді. Лагранж жекелігі бойынша көбейтінді үшін интегралды былай жазуға болады:
мұнда det – детерминант.
Анықтама
M – n өлшемді тегіс көптік болсын; мысалы, Картезиялық кеңістіктегі бет (егер n=2 болса) немесе гипербет. Көптіктің кез келген p ∈ M нүктесінде, сол нүктедегі барлық тангенттік векторлардан тұратын TpM тангенттік кеңістігі бар. p нүктесіндегі метрикалық тензор – gp(Xp, Yp) функциясы, ол p нүктесіндегі Xp және Yp тангенттік векторларын кіріс ретінде қабылдап, шығыс ретінде нақты санды (скалярды) береді, және келесі шарттар орындалады: gp – билинейрлі. Екі векторлық аргументі бар функция, егер ол әр аргумент бойынша жеке-жеке сызықтық болса, билинейрлі болып саналады. Егер Up, Vp, Yp – p нүктесіндегі үш тангенттік вектор болса және a, b – нақты сандар болса, онда gp симметриялық. Екі векторлық аргументі бар функция симметриялық болып саналады, егер барлық Xp және Yp векторлары үшін gp(Xp, Yp) = gp(Yp, Xp) болса. gp дегенерат емес. Билинейрлі функция дегенерат емес, егер әрбір Xp ≠ 0 тангенттік векторы үшін, Xp тұрақты және Yp өзгеретін жағдайда алынатын функция толығымен нөлге тең болмаса. Яғни, әрбір Xp ≠ 0 үшін gp(Xp, Yp) ≠ 0 болатын Yp векторы бар. M-дегі g метрикалық тензорлық өрісі, M-нің әрбір p нүктесіне p нүктесіндегі тангенттік кеңістіктегі gp метрикалық тензорын p-ге қатысты тегіс түрде өзгеріп отырып сәйкестендіреді. Нақтырақ айтқанда, M көптүлігінің кез келген ашық U ішкі жиыны және U-дегі кез келген (тегіс) векторлық өрістер X және Y берілген болса, нақты функция p-нің тегіс функциясы болып табылады.
gp is bilinear. A function of two vector arguments is bilinear if it is linear separately in each argument. Thus if Up, Vp, Yp are three tangent vectors at p and a and b are real numbers, then
gp is symmetric. A function of two vector arguments is symmetric provided that for all vectors Xp and Yp,
gp is nondegenerate. A bilinear function is nondegenerate provided that, for every tangent vector Xp ≠ 0, the function obtained by holding Xp constant and allowing Yp to vary is not identically zero. That is, for every Xp ≠ 0 there exists a Yp such that gp(Xp, Yp) ≠ 0. A metric tensor field g on M assigns to each point p of M a metric tensor gp in the tangent space at p in a way that varies smoothly with p. More precisely, given any open subset U of manifold M and any (smooth) vector fields X and Y on U, the real function
is a smooth function of p.
Қасиетті өлшемі мен көлем нысаны
Беттерге ұқсас, n өлшемді паракомпактты көптік M-дегі метрикалық тензор, көптіктің n өлшемді кіші жиынтықтарының көлемін өлшеудің табиғи жолын ұсынады. Нәтижесінде пайда болған табиғи оң Борель өлшемі, көптіктердегі функцияларды осыған байланысты Лебег интегралы арқылы интегралдау теориясын дамытуға мүмкіндік береді. Риестің өкілдік теоремасы бойынша, өлшемді M-дегі тығыз қолдауға ие үздіксіз функциялардың C0(M) кеңістігіндегі Λ оң сызықтық функционалын беру арқылы анықтауға болады. Нақтырақ айтқанда, егер M (псевдо) Риманн метрикалық тензоры g бар көптік болса, онда кез келген координаттық кесте (U, φ) үшін, U-де қолдауға ие барлық f үшін, μg бірегей оң Борель өлшемі бар. Мұнда det g – координаттық кестеде метрикалық тензордың компоненттерінен құрылған матрицаның детерминанты. Λ функцияларының координаттық аймақтарда дұрыс анықталғаны, Якобтың айнымалыларды өзгерту арқылы негізделген. Ол бірлік бөлінісі арқылы C0(M) бойынша бірегей оң сызықтық функционалға дейін кеңейтіледі. Егер M бағдарланған болса, онда метрикалық тензордан табиғи көлем формасын анықтау мүмкін. Оң бағытталған координаттық жүйеде (x^(1), ..., x^(n)) көлем формасы былай көрсетіледі:
for all f supported in U. Here det g is the determinant of the matrix formed by the components of the metric tensor in the coordinate chart. That Λ is well defined on functions supported in coordinate neighborhoods is justified by Jacobian change of variables. It extends to a unique positive linear functional on C0(M) by means of a partition of unity. If M is also oriented, then it is possible to define a natural volume form from the metric tensor. In a positively oriented coordinate system (x^(1), , x^(n)) the volume form is represented as
where the dx^(i) are the coordinate differentials and ∧ denotes the exterior product in the algebra of differential forms. The volume form also gives a way to integrate functions on the manifold, and this geometric integral agrees with the integral obtained by the canonical Borel measure.
мұнда dx^(i) – координаттық дифференциалдар, ал ∧ – дифференциалдық формалар алгебрасындағы сыртқы көбейтуді білдіреді. Көлем формасы функцияларды көптік бойынша интегралдаудың да жолын ұсынады, және бұл геометриялық интеграл канондық Борель өлшемімен алынған интегралмен сәйкес келеді.
for all f supported in U. Here det g is the determinant of the matrix formed by the components of the metric tensor in the coordinate chart. That Λ is well defined on functions supported in coordinate neighborhoods is justified by Jacobian change of variables. It extends to a unique positive linear functional on C0(M) by means of a partition of unity. If M is also oriented, then it is possible to define a natural volume form from the metric tensor. In a positively oriented coordinate system (x^(1), , x^(n)) the volume form is represented as
where the dx^(i) are the coordinate differentials and ∧ denotes the exterior product in the algebra of differential forms. The volume form also gives a way to integrate functions on the manifold, and this geometric integral agrees with the integral obtained by the canonical Borel measure.