Введение
Структура, определяющая расстояние на многообразии
метрические структуры на многообразиях
metric structures on manifolds
In the mathematical field of differential geometry, a metric tensor (or simply metric) is an additional structure on a manifold M (such as a surface) that allows defining distances and angles, just as the inner product on a Euclidean space allows defining distances and angles there. More precisely, a metric tensor at a point p of M is a bilinear form defined on the tangent space at p (that is, a bilinear function that maps pairs of tangent vectors to real numbers), and a metric field on M consists of a metric tensor at each point p of M that varies smoothly with p.
A metric tensor g is positive definite if g(v, v) > 0 for every nonzero vector v. A manifold equipped with a positive definite metric tensor is known as a Riemannian manifold. Such a metric tensor can be thought of as specifying infinitesimal distance on the manifold. On a Riemannian manifold M, the length of a smooth curve between two points p and q can be defined by integration, and the distance between p and q can be defined as the infimum of the lengths of all such curves; this makes M a metric space. Conversely, the metric tensor itself is the derivative of the distance function (taken in a suitable manner). While the notion of a metric tensor was known in some sense to mathematicians such as Gauss from the early 19th century, it was not until the early 20th century that its properties as a tensor were understood by, in particular, Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita, who first codified the notion of a tensor. The metric tensor is an example of a tensor field. The components of a metric tensor in a coordinate basis take on the form of a symmetric matrix whose entries transform covariantly under changes to the coordinate system. Thus a metric tensor is a covariant symmetric tensor. From the coordinate independent point of view, a metric tensor field is defined to be a nondegenerate symmetric bilinear form on each tangent space that varies smoothly from point to point.
В математической области дифференциальной геометрии метрический тензор (или просто метрика) — это дополнительная структура на многообразии M (например, поверхности), которая позволяет определять расстояния и углы, так же как внутреннее произведение на евклидовом пространстве позволяет определять расстояния и углы там. Более точно, метрический тензор в точке p многообразия M является билинейной формой, определенной на тангентном пространстве в p (то есть билинейной функцией, которая отображает пары тангентных векторов в вещественные числа), а метрическое поле на M состоит из метрического тензора в каждой точке p многообразия M, который плавно меняется с изменением p. Метрический тензор g называется положительно определенным, если g(v, v) > 0 для каждого ненулевого вектора v. Многообразие, оснащенное положительно определенным метрическим тензором, известно как риманово многообразие. Такой метрический тензор можно рассматривать как задающий бесконечно малую дистанцию на многообразии. На римановом многообразии M длина гладкой кривой между двумя точками p и q может быть определена с помощью интегрирования, а расстояние между p и q может быть определено как предел снизу длин всех таких кривых; это делает M метрическим пространством. Обратно, сам метрический тензор является производной функции расстояния (взятой в подходящем смысле). Хотя понятие метрического тензора было известно в некотором смысле математикам, таким как Гаусс, с начала XIX века, только в начале XX века его свойства как тензора были поняты, в частности, Грегорио Риччи Курбастро и Туллио Леви-Чивита, которые впервые систематизировали понятие тензора. Метрический тензор — пример тензорного поля. Компоненты метрического тензора в координатном базисе принимают вид симметричной матрицы, элементы которой ковариантно преобразуются при изменении системы координат. Таким образом, метрический тензор является ковариантным симметричным тензором. С точки зрения, независимой от координат, метрическое тензорное поле определяется как вырожденная симметричная билинейная форма на каждом касательном пространстве, которая плавно меняется от точки к точке.
metric structures on manifolds
In the mathematical field of differential geometry, a metric tensor (or simply metric) is an additional structure on a manifold M (such as a surface) that allows defining distances and angles, just as the inner product on a Euclidean space allows defining distances and angles there. More precisely, a metric tensor at a point p of M is a bilinear form defined on the tangent space at p (that is, a bilinear function that maps pairs of tangent vectors to real numbers), and a metric field on M consists of a metric tensor at each point p of M that varies smoothly with p.
A metric tensor g is positive definite if g(v, v) > 0 for every nonzero vector v. A manifold equipped with a positive definite metric tensor is known as a Riemannian manifold. Such a metric tensor can be thought of as specifying infinitesimal distance on the manifold. On a Riemannian manifold M, the length of a smooth curve between two points p and q can be defined by integration, and the distance between p and q can be defined as the infimum of the lengths of all such curves; this makes M a metric space. Conversely, the metric tensor itself is the derivative of the distance function (taken in a suitable manner). While the notion of a metric tensor was known in some sense to mathematicians such as Gauss from the early 19th century, it was not until the early 20th century that its properties as a tensor were understood by, in particular, Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita, who first codified the notion of a tensor. The metric tensor is an example of a tensor field. The components of a metric tensor in a coordinate basis take on the form of a symmetric matrix whose entries transform covariantly under changes to the coordinate system. Thus a metric tensor is a covariant symmetric tensor. From the coordinate independent point of view, a metric tensor field is defined to be a nondegenerate symmetric bilinear form on each tangent space that varies smoothly from point to point.
Введение
Карл Фридрих Гаус в своей работе 1827 года «Disquisitiones generales circa superficies curvas» (Общие исследования кривых поверхностей) рассматривал поверхность параметрически, где декартовы координаты x, y и z точек на поверхности зависят от двух вспомогательных переменных u и v. Таким образом, параметрическая поверхность (в современных терминах) представляет собой векторно-значную функцию, зависящую от упорядоченной пары вещественных переменных (u, v) и определенную в открытом множестве D на плоскости uv. Одной из главных целей исследований Гаусса было выявить те свойства поверхности, которые можно было бы описать функцией, остающейся неизменной при преобразованиях поверхности в пространстве (например, при изгибе без растяжения) или при изменении конкретного параметрического представления той же геометрической поверхности. Одной из таких естественных инвариантных величин является длина кривой, проложенной по поверхности. Другой – угол между парой кривых, проложенных по поверхности и пересекающихся в общей точке. Третьей такой величиной является площадь части поверхности. Изучение этих инвариантов поверхности привело Гаусса к введению предшественника современного понятия метрического тензора. Метрический тензор представлен ниже; E, F и G в матрице могут принимать любые значения, если матрица положительно определена.
depending on an ordered pair of real variables (u, v), and defined in an open set D in the uv plane. One of the chief aims of Gauss's investigations was to deduce those features of the surface which could be described by a function which would remain unchanged if the surface underwent a transformation in space (such as bending the surface without stretching it), or a change in the particular parametric form of the same geometrical surface. One natural such invariant quantity is the length of a curve drawn along the surface. Another is the angle between a pair of curves drawn along the surface and meeting at a common point. A third such quantity is the area of a piece of the surface. The study of these invariants of a surface led Gauss to introduce the predecessor of the modern notion of the metric tensor. The metric tensor is in the description below; E, F, and G in the matrix can contain any number as long as the matrix is positive definite.
Площадь
Площадь поверхности — это другая числовая величина, которая должна зависеть только от самой поверхности, а не от способа её параметризации. Если поверхность M параметризована функцией над областью D на плоскости uv, то площадь поверхности M задается интегралом
где × обозначает векторное произведение, а абсолютное значение — длину вектора в евклидовом пространстве. В силу тождества Лагранжа для векторного произведения, интеграл можно записать как
где det — определитель.
Определение
Пусть M – гладкое многообразие размерности n; например, поверхность (в случае n = 2) или гиперповерхность в картезианском пространстве. В каждой точке p ∈ M существует векторное пространство TpM, называемое тангенциальным пространством, состоящее из всех тангенциальных векторов к многообразию в точке p. Метрический тензор в точке p – это функция gp(Xp, Yp), которая принимает на вход пару тангенциальных векторов Xp и Yp в p и выдает в качестве результата вещественное число (скаляр), при этом выполняются следующие условия:
gp – билинейна. Функция двух векторных аргументов является билинейной, если она линейна по каждому аргументу в отдельности. Таким образом, если Up, Vp, Yp – три тангенциальных вектора в p, а a и b – вещественные числа, то
gp – симметрична. Функция двух векторных аргументов симметрична, если для всех векторов Xp и Yp
gp – невырождена. Билинейная функция невырождена, если для каждого ненулевого тангенциального вектора Xp ≠ 0 функция, полученная при фиксированном Xp и изменении Yp, не равна тождественно нулю. То есть, для каждого Xp ≠ 0 существует Yp, такой что gp(Xp, Yp) ≠ 0. Метрическое тензорное поле g на M сопоставляет каждой точке p ∈ M метрический тензор gp в тангенциальном пространстве в p таким образом, что он плавно меняется с p. Более точно, для любого открытого подмножества U многообразия M и любых (гладких) векторных полей X и Y на U, вещественная функция
является гладкой функцией от p.
gp is bilinear. A function of two vector arguments is bilinear if it is linear separately in each argument. Thus if Up, Vp, Yp are three tangent vectors at p and a and b are real numbers, then
gp is symmetric. A function of two vector arguments is symmetric provided that for all vectors Xp and Yp,
gp is nondegenerate. A bilinear function is nondegenerate provided that, for every tangent vector Xp ≠ 0, the function obtained by holding Xp constant and allowing Yp to vary is not identically zero. That is, for every Xp ≠ 0 there exists a Yp such that gp(Xp, Yp) ≠ 0. A metric tensor field g on M assigns to each point p of M a metric tensor gp in the tangent space at p in a way that varies smoothly with p. More precisely, given any open subset U of manifold M and any (smooth) vector fields X and Y on U, the real function
is a smooth function of p.
Каноническая мера и объемная форма
По аналогии со случаем поверхностей, метрический тензор на n-мерном паракомпактном многообразии M задает естественный способ измерения n-мерного объема подмножеств многообразия. Полученная естественная положительная мера Бореля позволяет разработать теорию интегрирования функций на многообразии посредством связанного интеграла Лебега. Мера может быть определена теоремой о представлении Рисса, заданием положительного линейного функционала Λ на пространстве C₀(M) компактно поддерживаемых непрерывных функций на M. Более точно, если M – это многообразие с (псевдо)римановым метрическим тензором g, то существует единственная положительная мера Бореля μg, такая что для любой координатной окрестности (U, φ),
для всех функций f, поддерживаемых в U. Здесь det g – это детерминант матрицы, образованной компонентами метрического тензора в координатной окрестности. То, что Λ корректно определена на функциях, поддерживаемых в координатных окрестностях, обосновывается преобразованием переменных с использованием якобиана. Она единственным образом расширяется до положительного линейного функционала на C₀(M) посредством разбиения единицы. Если M также ориентирована, то можно определить естественную форму объема из метрического тензора. В положительно ориентированной системе координат (x¹, …, xⁿ) форма объема представляется как
где dxⁱ – это координальные дифференциалы, а ∧ обозначает внешнее произведение в алгебре дифференциальных форм. Форма объема также предоставляет способ интегрирования функций на многообразии, и этот геометрический интеграл совпадает с интегралом, полученным с помощью канонической меры Бореля.