Кіріспе
Математика мен физикадағы операция – тензорлық өрістердің модульдік теориялық құрылысы және олардың жиырылуы. Көптүзекті алгебрада тензорлық жиырылу – векторлық кеңістік пен оның қосарлы кеңістігінің каноникалық жұптасуынан туындайтын тензордағы операция. Компоненттер бойынша, бұл тензордың скалярлық компоненттерінің көбейтінділерінің қосындысы түрінде көрінеді, бұл өрнекте бір-біріне байланысқан екі номиналды индекске қосындылау конвенциясын қолдану нәтижесінде пайда болады. Бір аралас тензордың жиырылуы, егер тензордың екі әріптік индексі (біреуі төменгі индекс, екіншісі үстіңгі индекс) бір-біріне тең қойылып, олар бойынша қосынды алынса, жүзеге асады. Эйнштейн нотациясында бұл қосынды нотацияның өзіне енгізілген. Нәтижесінде реті 2-ге төмендеген басқа тензор пайда болады. Тензорлық жиырылуды іздің (trace) жалпылауы ретінде қарастыруға болады.
the module theoretic construction of tensor fields and their contractions
In multilinear algebra, a tensor contraction is an operation on a tensor that arises from the canonical pairing of a vector space and its dual. In components, it is expressed as a sum of products of scalar components of the tensor(s) caused by applying the summation convention to a pair of dummy indices that are bound to each other in an expression. The contraction of a single mixed tensor occurs when a pair of literal indices (one a subscript, the other a superscript) of the tensor are set equal to each other and summed over. In Einstein notation this summation is built into the notation. The result is another tensor with order reduced by 2. Tensor contraction can be seen as a generalization of the trace.
Метрлік жиырылу
Алдыңғы мысалдағыдай, егер екі индекстің де контравариант немесе екі индекстің де ковариант болуы, онда олардың жұбын қысқарту әдетте мүмкін емес. Дегенмен, ішкі көбейтінді (немесе метрика) g болған жағдайда мұндай қысқартулар орындалуы мүмкін. Метриканы қажет болған жағдайда бір индексті жоғарылату немесе төмендету үшін қолданып, содан кейін әдеттегі қысқарту амалын жасайды. Осы біріктірілген амал метрикалық қысқарту деп аталады.
Тензорлық өрістерге қолдану
Қысылу жиі кеңістіктердегі тензорлық өрістерге қолданылады (мысалы, Евклид кеңістігі, көптеулер немесе схемалар). Қысылу – таза алгебралық операция болғандықтан, оны тензорлық өріске нүктелік түрде қолдануға болады. Мысалы, егер T – (1,1) тензорлық өріс болса, онда кез келген координаттар жүйесінде оның қысылуы (скалярлық өріс) U, x нүктесінде былай беріледі:
Бұл жерде x-тің рөлі күрделі болмағандықтан, оны көбінесе жасырады, және тензорлық өрістерді белгілеу таза алгебралық тензорларды белгілеумен бірдей болады. Римандық көптеуде метрика (ішкі көбейтулер өрісі) қолжетімді, сондай-ақ метрикалық және метрикалық емес қысылулар теория үшін маңызды. Мысалы, Риччи тензоры – Риман қисықтық тензорының метрикалық емес қысылуы, ал скалярлық қисықтық – Риччи тензорының бірегей метрикалық қысылуы. Тензорлық өрістің қысылуын көптеудегі функциялардың тиісті сақинасы бойынша модульдер контекстінде де қарастыруға болады, осы мақаланың соңындағы талқылауды қараңыз.
Тензорлар жұбының жиырылуы
Негізгі жиырылу операциясын (векторды дуалдық вектормен) Т және U тензорларының жұбын қарастыру арқылы сәл өзгеше түрінде жалпылауға болады. Тензор көбейтіндісі – жаңа тензор, егер оның кемінде бір ковариантты және бір контравариантты индексі болса, оны жиыруға болады. Т вектор болса және U – дуалдық вектор болса, онда бұл мақалада алғаш рет енгізілген негізгі операция болып табылады. Тензорлық индекстер нотациясында екі тензорды бір-бірімен жиыру үшін оларды бір өрнектің көбейткіштері ретінде жанында (қосып) орналастырады. Бұл тензор көбейтіндісін іске асырып, біріктірілген тензорды тудырады. Осы біріктірілген тензордағы екі индексті жиыру екі тензордың қажетті жиырылуын жүзеге асырады. Мысалы, матрицаларды (1,1) типіндегі тензорлар ретінде бейнелеуге болады, мұнда бірінші индекс контравариантты, ал екінші индекс ковариантты болады. Бір матрицаның компоненттері болсын, ал екінші матрицаның компоненттері болсын. Онда олардың көбейтілуі келесі жиыру арқылы беріледі, бұл тензорлар жұбының жиырылуының мысалы: Сонымен қатар, вектордың дифференциалдық формамен ішкі көбейтіндісі – екі тензордың бір-бірімен жиырылуының ерекше жағдайы болып табылады.
Also, the interior product of a vector with a differential form is a special case of the contraction of two tensors with each other.
Алгебралық жалпы мағыналар
R коммутативті сақина болсын және M R-дің шекті еркін модулі болсын. Содан кейін жиырылу M-нің толық (аралас) тензорлық алгебрасында векторлық кеңістіктер жағдайындағыдай дәл сол қағидамен әрекет етеді. (Негізгі факт – бұл жағдайда да каноникалық жұптастыру толықтай кемелді.) Көбірек жалпылап айтқанда, OX – топологиялық X кеңістігіндегі коммутативті сақиналардың шоғы болсын, мысалы, OX күрделі көптүрлілік, аналитикалық кеңістік немесе схеманың құрылымдық шоғы болуы мүмкін. M – OX арқылы модульдердің шекті дәрежелі жергілікті бос шоғы болсын. М-нің қосарлысы әлі де жақсы анықталған және осы контексте жиырылу операциялары мағыналы.