Введение

Операция в математике и физике – модульно-теоретическое построение тензорных полей и их свёртки.

В многолинейной алгебре свёртка тензора – это операция над тензором, возникающая из канонического спаривания векторного пространства и его дуального пространства. В координатной форме она выражается как сумма произведений скалярных компонент тензора(ов), возникающая при применении соглашения о суммировании к паре фиктивных индексов, связанных друг с другом в выражении. Свёртка одного смешанного тензора происходит, когда пара ковариантных и контравариантных индексов (один нижний, другой верхний) тензора приравниваются друг к другу и суммируются. В нотации Эйнштейна это суммирование подразумевается. Результатом является другой тензор с рангом, уменьшенным на 2. Свёртка тензора можно рассматривать как обобщение следа.

Метрическое сокращение

Как и в предыдущем примере, сокращение по паре индексов, оба из которых являются контравариантными или оба ковариантными, в общем случае невозможно. Однако, при наличии внутреннего произведения (также известного как метрики) g, такие сокращения становятся возможными. Метрика используется для изменения валентности одного из индексов, если это необходимо, после чего применяется обычная операция сокращения. Комбинированная операция называется метрическим сокращением.

Применение к тензорным полям

Сжатие часто применяется к тензорным полям на пространствах (например, к евклидову пространству, многообразиям или схемам). Поскольку сжатие является чисто алгебраической операцией, его можно применять точечно к тензорному полю. Например, если T — (1,1)-тензорное поле на евклидовом пространстве, то в любой системе координат его сжатие (скалярное поле) U в точке x определяется как . Поскольку роль координаты x здесь не существенна, её часто опускают, и обозначения для тензорных полей становятся такими же, как для чисто алгебраических тензоров. Над римановым многообразием доступна метрика (поле внутренних произведений), и как метрические, так и неметрические сжатия играют важную роль в теории. Например, тензор Риччи является неметрическим сжатием тензора кривизны Римана, а скалярная кривизна — единственным метрическим сжатием тензора Риччи. Сжатие тензорного поля можно также рассматривать в контексте модулей над соответствующим кольцом функций на многообразии, см. обсуждение в конце этой статьи.

Сжатие пары тензоров

Можно обобщить основную операцию свёртки (вектор с дуальным вектором) несколько иным способом, рассмотрев пару тензоров T и U. Тензорное произведение является новым тензором, который, если он имеет хотя бы один ковариантный и один контравариантный индекс, может быть свёртнут. Случай, когда T — вектор, а U — дуальный вектор, является как раз той основной операцией, которая впервые была представлена в этой статье. В тензорной индексной нотации, чтобы свернуть два тензора друг с другом, их помещают рядом (приставляют) в качестве множителей одного и того же члена. Это реализует тензорное произведение, в результате чего получается составной тензор. Свёртка двух индексов в этом составном тензоре реализует желаемую свёртку двух тензоров. Например, матрицы можно представить как тензоры типа (1,1), где первый индекс контравариантен, а второй — ковариантен. Пусть — компоненты одной матрицы, а — компоненты второй матрицы. Тогда их произведение задаётся следующей свёрткой, являющейся примером свёртки пары тензоров:

Также внутреннее произведение вектора с дифференциальной формой является частным случаем свёртки двух тензоров.

Более общие алгебраические контексты

Пусть R — коммутативное кольцо, а M — конечно порожденный свободный модуль над R. Тогда операция стягивания действует на полную (смешанную) тензорную алгебру M точно так же, как и в случае векторных пространств над полем. (Ключевым фактом является то, что каноническое спаривание в этом случае по-прежнему совершенно.) В более общем случае, пусть OX — пучок коммутативных колец над топологическим пространством X, например, OX может быть структурой сложного многообразия, аналитического пространства или схемы. Пусть M — локально свободный пучок модулей над OX конечного ранга. Тогда двойственный к M пучок хорошо определен, и операции стягивания имеют смысл в этом контексте.