Кіріспе

Ито калькусындағы тізбек ережесіне ұқсас сәйкестік, стохастикалық есептеудегі нәтиже. Математикада Ито леммасы немесе Ито формуласы (әсіресе француз әдебиетінде Ито-Доблин формуласы деп те аталады) – Ито калькусында стохастикалық процестің уақытқа тәуелді функциясының дифференциалын табуға қолданылатын сәйкестік. Ол тізбек ережесінің стохастикалық есептеудегі баламасы болып табылады. Функцияның екінші туындыларына дейінгі Тейлор қатарын жазып, уақыт өзгеруінің бірінші және Винер процесінің екінші дәрежесіне дейінгі мүшелерін сақтап, шамамен алуға болады. Лемма математикалық қаржыда кеңінен қолданылады, ең белгілі қолданылуы – опциялардың құнын есептеу үшін Блэк-Шоулс теңдеуін шығару. Киёси Ито 1951 жылы осы формуланың дәлелін жариялады.

Геометриялық интуиция

Егер біз екі бірлесіп Гаусс таралымды кездейсоқ айнымалы бар екенін білсек, және функциясы сызықтық емес, бірақ үздіксіз екінші туындысы бар болса, онда жалпы жағдайда, олардың екеуі де Гаусс емес, сондай-ақ олардың бірлескен таралымы да Гаусс емес. Дегенмен, егер функциясы Гаусс болса, онда функциясы да Гаусс болуы мүмкін. Бұл шекті мәні болғанда дұрыс емес, бірақ шексіз кішкентай мәнге жақындағанда дұрыс болады. Басты идея – функцияның детерминистік және шулы бөліктері бар екендігінде. Функциясы сызықтық емес болғанда, шулы бөлік детерминистік үлес қосады. Егер функциясы дөңес болса, онда детерминистік үлесі оң болады (Дженсен теңсіздігіне сәйкес). Бұл үлес қаншалықты үлкен екенін анықтау үшін, функцияны , мұнда – стандартты Гаусс таралымы, түрінде жазып, Тейлор қатарына жіктейміз. Осылайша, оны екі бөлікке бөлдік: детерминистік бөлік және орташа мәні нөлге тең кездейсоқ бөлік. Кездейсоқ бөлік Гаусс емес, бірақ Гаусс емес бөліктері Гаусс бөлігіне қарағанда жылдамырақ азаяды, және шексізке жақындағанда тек Гаусс бөлігі ғана қалады. Детерминистік бөлігі күтілетін мәніне ие, сонымен қатар дөңестікке байланысты үлесі де бар:

Дөңестікке байланысты үлес болуының себебін түсіну үшін, акция нарығының ең қарапайым жағдайы – геометриялық Браун қозғалысын қарастырайық: Яғни, , онда , және – Браун қозғалысы. Алайда, күтілетін мәні тұрақты болса да, күтілетін мәні артады. Бұл интуитивті түрде төмен қарай шектеу нөлге дейін, ал жоғары қарай шектеу шексіздікке дейін дейін созылуымен түсіндіріледі. Яғни, функциясы қалыпты таралымға ие болса, функциясы логарифмдік таралымға ие болады.

Ито леммасының математикалық тұжырымдамасы

Келесі тармақшаларда әртүрлі типтегі стохастикалық процестер үшін Ито леммасының нұсқаларын қарастырамыз.

Жалғаспайтын жартылай мартингальдар

Ито леммасын жалпы d өлшемді жартылай мартингальдарға да қолдануға болады, олар үздіксіз болуы міндетті емес. Жалпы, жартылай мартингаль – кадлаг процесі болып табылады, және процестің секірулері Ито леммасымен дұрыс ескерілуін қамтамасыз ету үшін формулаға қосымша мүше қосу қажет. Кез келген Yt кадлаг процесі үшін t мезгіліндегі сол жақ лимиті Yt− деп белгіленеді, бұл сол жақтан үздіксіз процесс. Секундық өзгерулер былай жазылады: Содан кейін Ито леммасы былай тұжырымдайды: егер X d өлшемді жартылай мартингаль болса және f – R^(d)-де екі рет үздіксіз дифференциалданатын нақты мәнді функция болса, онда f(X) жартылай мартингаль болады, және

Бұл формула үздіксіз жартылай мартингальдер үшін қолданылатын формуладан X-тің секірулерінің қосындысын қамтитын қосымша мүшемен ерекшеленеді, бұл оң жақ бөлігінің t мезгіліндегі секіруі Δf(Xt) екенін қамтамасыз етеді.

Блэк-Шоулс формуласы

Ито леммасын опция үшін Блэк-Шоулс теңдеуін шығаруға болады. Егер акция бағасы геометриялық Браун қозғалысын ұстанса, яғни, t уақытында опцияның құны f(t, St) болса, Ито леммасы былай беріледі:

мұндағы шарттама акцияның белгілі бір мөлшерін ұстаудан тұратын сауда стратегиясының dt уақытындағы құн өзгеруін көрсетеді. Егер осы сауда стратегиясы орындалса және қолдағы ақша тәуекелсіз пайыздық ставка r бойынша өссе, онда осы портфельдің жалпы құны V келесі СДТ-ны қанағаттандырады:

Бұл стратегия егер V = f(t, S) болса, опцияны дубликаттайды. Бұл теңдеулерді біріктірсек, белгілі Блэк-Шоулс теңдеуіне жетеміз:

Итоның шекті квадраттық вариациялы функциялар формуласы

Ханс Фёлльмердің идеясы Ито формуласын шекті квадраттық өзгерісі бар функцияларға кеңейту болды. - нақты мәнді функция және шекті квадраттық ауытқуы бар RCLL функциясы болсын. Онда

Шексіз өлшемді формулалар

Шексіз өлшемді кеңістіктерге бірнеше кеңейтулер бар (мысалы, Парду, Гёнги-Крылов, Бжезняк ван Нервен, Вераар, Вайс).