Введение

Идентичность в исчислении Ито, аналогичная правилу цепочки, является результатом в стохастическом исчислении. В математике лемма Ито или формула Ито (также называемая формулой Ито — Доблина, особенно во французской литературе) — это тождество, используемое в исчислении Ито для нахождения дифференциала функции, зависящей от времени, стохастического процесса. Она служит стохастическим аналогом правила цепочки. Эвристически ее можно вывести, разложив функцию в ряд Тейлора до производных второго порядка и сохранив члены до первого порядка по временному приращению и до второго порядка по приращению процесса Винера. Лемма широко применяется в математических финансах, и наиболее известным ее применением является вывод уравнения Блэка — Скоулса для оценки опционов. Киёси Ито опубликовал доказательство этой формулы в 1951 году.

Геометрическая интуиция

Предположим, что мы знаем, что и – две совместно гауссовски распределенные случайные переменные, а нелинейна, но имеет непрерывную вторую производную. Тогда, как правило, ни , ни не являются гауссовскими, и их совместное распределение также не является гауссовским. Однако, поскольку гауссовская, мы все еще можем обнаружить, что является гауссовской. Это неверно, когда конечна, но становится верным, когда стремится к бесконечно малой величине. Ключевая идея заключается в том, что имеет детерминированную и случайную составляющие. Когда нелинейна, случайная составляющая имеет детерминированный вклад. Если выпукла, то этот детерминированный вклад положителен (согласно неравенству Йенсена). Чтобы оценить величину этого вклада, запишем , где – стандартная гауссовская случайная величина, а затем выполним разложение в ряд Тейлора. Мы разделили выражение на две части: детерминированную и случайную с нулевым средним. Случайная часть не является гауссовской, но негауссовские компоненты убывают быстрее, чем гауссовские, и в пределе остается только гауссовская часть. Детерминированная часть имеет ожидаемое значение , но также включает вклад, обусловленный выпуклостью:

Чтобы понять, почему должен существовать вклад, связанный с выпуклостью, рассмотрим простейший случай геометрического броуновского движения (на фондовом рынке): иными словами, пусть , тогда , а представляет собой броуновское движение. Однако, хотя математическое ожидание остается постоянным, математическое ожидание возрастает. Интуитивно это объясняется тем, что убытки ограничены нулем, а прибыль не ограничена. То есть, в то время как имеет нормальное распределение, имеет логнормальное распределение.

Математическая формулировка леммы Ито

В следующих подразделах мы обсудим варианты леммы Ито для различных типов стохастических процессов.

Непоследовательные полумартингалы

Лемма Ито может также применяться к общему d-мерному полумартингалу, который не обязательно должен быть непрерывным. В общем случае, полумартингал – это процесс càdlàg, и в формулу необходимо добавить дополнительный член, чтобы обеспечить корректный учет скачков процесса в лемме Ито. Для любого процесса càdlàg Yt, его левый предел в точке t обозначается как Yt−, который является левонепрерывным процессом. Скачки записываются как ΔYt. Тогда лемма Ито утверждает, что если X – d-мерный полумартингал, а f – дважды непрерывно дифференцируемая функция вещественного значения на R^(d), то f(X) является полумартингалом, и

Это отличается от формулы для непрерывных полумартингалов дополнительным членом, суммирующим скачки X, что гарантирует, что скачок правой части в момент времени t равен Δf(Xt).

Формула Блэка и Школьса

Лемма Ито может быть использована для вывода уравнения Блэка — Скоулса для опциона. Предположим, что цена акции следует геометрическому броуновскому движению, заданному стохастическим дифференциальным уравнением. Тогда, если стоимость опциона в момент времени t равна f(t, St), лемма Ито дает

Член представляет собой изменение стоимости за время dt торговой стратегии, состоящей из владения количеством акций . Если следовать этой торговой стратегии и предположить, что любые имеющиеся денежные средства растут по безрисковой ставке r, то общая стоимость V этого портфеля удовлетворяет СДУ

Эта стратегия воспроизводит опцион, если V = f(t, S). Объединение этих уравнений дает знаменитое уравнение Блэка — Скоулса.

Формула Ито для функций с конечным квадратным изменением

Идея Ганса Фёльмера заключалась в расширении формулы Ито на функции с конечной квадратичной вариацией. Пусть – функция, принимающая вещественные значения, а – RCLL-функция с конечной квадратичной вариацией. Тогда

Формулы бесконечного измерения

Существует несколько расширений бесконечномерных пространств (например, Pardoux, Gyöngy-Крылов, Brzeźniak-van Neerven-Veraar-Weis).