Кіріспе

Математикада топтың кіші жиынтықтарының көбейтіндісін табиғи түрде анықтауға болады. Егер S және T топ G-нің кіші жиынтықтары болса, онда олардың көбейтіндісі G-нің кіші жиынтығы болып, былай анықталады:

Бұл көбейтіндінің дұрыс анықталғандығы үшін S және T кіші топтар болуы міндетті емес. Осы көбейтіндінің ассоциативтілігі топтың көбейтіндісінен туындайды. Сондықтан топтың кіші жиынтықтарының көбейтіндісі G тобының қуат жиынтығында табиғи моноидтық құрылымды анықтайды.

S және T кіші топтар болған жағдайда одан да көп айтуға болады. G тобының екі кіші тобы S және T-ның көбейтіндісі, егер ST = TS болса және болмаса ғана, G тобының кіші тобы болып табылады.

Кіші топтардың жиынтығы

Егер S және T G-нің кіші топтары болса, олардың көбейтіндісі міндетті түрде кіші топ болуы керек емес (мысалы, 3 символдардағы симметриялық топтағы 2 реттік екі әртүрлі кіші топ). Бұл көбейтінді кейде Фробеньюс көбейтіндісі деп аталады. Жалпы жағдайда, екі кіші топтың S және T көбейтіндісі, егер ST = TS болса ғана кіші топ болады, және екі кіші топ өзара ауысады делінеді. (Вальтер Ледерманн бұл фактіні Көбейтінді теоремасы деп атады, бірақ бұл атау, "Фробеньюс көбейтіндісі" сияқты, ешқандай стандарт емес.) Бұл жағдайда ST – S және T кіші топтарымен туындаған топ; яғни ST = TS = ⟨S ∪ T⟩. Егер S немесе T нормал болса, онда ST = TS шарты орындалады және көбейтінді кіші топ болады. Егер S және T екеуі де нормал болса, онда көбейтінді де нормал болады. (дегенмен бұл соңғы терминнің басқа да мағыналары болуы мүмкін). Топтар үшін модульдік заңда (жоғарыда айтылғандай) Q кіші тобы S деген болжам өте маңызды. Егер Q кіші тобы S болмаса, онда S ∩ (QT) = (S ∩ Q)(S ∩ T) деп қарастыратын, көбірек таралу қасиетінің болжамы жалған болады.

Трифьан қиылысуы бар кіші топтардың көбейтіндісі

Атап айтқанда, егер S және T тек сәйкестік элементінде ғана қиылысса, онда ST-нің әрбір элементін s∈S және t∈T үшін st түрінде бірегей түрде жазуға болады. Егер S және T бір-бірімен коммутацияласа, онда ST топ болып табылады және ол Zappa–Szép көбейтіндісі деп аталады. Егер S немесе T, ST-де қалыпты кіші топ болса, онда ST, S және T-нің жартылай тура көбейтіндісімен сәйкес келеді. Егер S және T екеуі де ST-де қалыпты кіші топтар болса, онда ST, S және T-нің тікелей көбейтіндісімен сәйкес келеді. Егер S және T кіші топтарының қиылысы тек сәйкестік элементінен тұрса және ST = G болса, онда S, T-нің толықтырғышы деп аталады, және керісінше. Терминологияны шартты түрде қолдану арқылы, тек сәйкестік элементінде ғана қиылысатын екі кіші топ кейде бөлек деп аталады.

Трифьалды емес қиылысуы бар кіші топтардың көбейтіндісі

Нормальды N және K кіші топтарының тривиалды емес қиылысында туындайтын сұрақ – НК/N үлестігінің құрылымы қандай? Бір қарағанда N-ді "қысқартуға" және жауаптың K екенін айтуға ұмтылса да, бұл дұрыс емес, себебі N ядросы бар гомоморфизм K-нің N-де болатын барлық элементтерін де "құлатып" (1-ге бейнелейді). Осылайша, дұрыс жауап – NK/N, K/(N∩K) -ға изоморфты. Бұл факт кейде екінші изоморфизм теоремасы деп аталады (бірақ авторлар арасында теоремалардың нөмірленуі әртүрлі болуы мүмкін); сонымен қатар И. Мартин Исаакс оны кіші топтар торысының пішініне байланысты алмаз теоремасы деп атады, ал Пауль Мориц Кон оны параллелограмм ережесі деп атады, осылайша векторлар үшін параллелограмм ережесімен аналогияны көрсетті, өйткені нәтижедегі кіші топтар торысындағы екі жақ – (SN)/N және S/(S∩N) үлестік топтары изоморфизм мағынасында "тең" деп есептеледі. Фраттинидің аргументі қиылысы міндетті түрде тривиалды емес жағдайда (және осы себепті екі кіші топ толықтырылмаған) кіші топтардың көбейтіндісінің бар екенін кепілдейді (бұл көбейтінді бүкіл топты тудырады). Нақтырақ айтқанда, егер G – нормальды N кіші тобы бар шекті топ болса, ал P – N-нің Sylow p кіші тобы болса, онда G = NG(P)N, мұнда NG(P) – G-дегі P нормализаторын білдіреді. (P нормализаторы P-ні қамтиды, сондықтан N мен NG(P) арасындағы қиылысу кем дегенде P болады.)

Жартылай топтарға жалпылау

Жарты топ S-те екі кіші жиынның көбейтіндісі, S жарты тобының қуат жиыны P(S)-те жарты топ құрылымын анықтайды; сондай-ақ P(S) – кіші жиындардың бірігуі қосу ретінде және кіші жиындардың көбейтіндісі көбейту ретінде жарты сақина болып табылады.