Введение

В математике можно естественным образом определить произведение подмножеств группы. Если S и T – подмножества группы G, то их произведение – это подмножество G, определяемое как множество всех произведений элементов из S и T. Подмножества S и T не обязаны быть подгруппами для того, чтобы это произведение было определено. Ассоциативность этого произведения следует из ассоциативности группового произведения. Таким образом, произведение подмножеств группы определяет естественную моноидную структуру на множестве всех подмножеств G.

Гораздо больше можно сказать в случае, когда S и T являются подгруппами. Произведение двух подгрупп S и T группы G является подгруппой G тогда и только тогда, когда ST = TS.

Продукт подгрупп

Если S и T – подгруппы G, то их произведение не обязательно является подгруппой (например, две различные подгруппы порядка 2 в симметрической группе на 3 символах). Это произведение иногда называют произведением Фробениуса. В общем случае, произведение двух подгрупп S и T является подгруппой тогда и только тогда, когда ST = TS, и говорят, что эти две подгруппы коммутируют. (Вальтер Ледерман назвал этот факт теоремой о произведении, но это название, как и "произведение Фробениуса", ни в коем случае не является общепринятым.) В этом случае ST – это группа, порожденная S и T, то есть ST = TS = ⟨S ∪ T⟩. Если хотя бы одна из подгрупп S или T нормальна, то условие ST = TS выполняется, и произведение является подгруппой. Если обе подгруппы S и T нормальны, то произведение также является нормальной подгруппой (хотя этот последний термин может иметь и другие значения). Предположение в модульном законе для групп (как сформулировано выше) о том, что Q является подгруппой S, является существенным. Если Q не является подгруппой S, то предполагаемое, более общее дистрибутивное свойство S ∩ (QT) = (S ∩ Q)(S ∩ T) неверно.

Произведение подгрупп с тривиальным пересечением

В частности, если S и T пересекаются только в тождественном элементе, то каждый элемент произведения ST имеет единственное представление в виде произведения st, где s принадлежит S, а t принадлежит T. Если S и T также коммутируют, то ST является группой и называется произведением Заппы–Сепа. Более того, если S или T нормальны в ST, то ST совпадает с полупрямым произведением S и T. Наконец, если S и T оба нормальны в ST, то ST совпадает с прямым произведением S и T.

Если S и T – подгруппы, пересечение которых является тривиальной подгруппой (то есть состоит только из тождественного элемента) и при этом ST = G, то S называется дополнительной к T, и наоборот. В силу (локально однозначного) злоупотребления терминологией, две подгруппы, пересекающиеся только по (иначе обязательной) идентичности, иногда называют непересекающимися.

Произведение подгрупп с нетривиальным пересечением

Вопрос, который возникает в случае нетривиального пересечения нормальной подгруппы N и подгруппы K, заключается в том, какова структура факторгруппы NK/N. Хотя может возникнуть соблазн просто "сократить" N и сказать, что ответ – K, это неверно, поскольку гомоморфизм с ядром N также "схлопнет" (отобразит в единичный элемент) все элементы K, которые случайно принадлежат N. Таким образом, правильный ответ заключается в том, что NK/N изоморфна K/(N∩K). Этот факт иногда называют второй теоремой об изоморфизмах (хотя нумерация этих теорем варьируется у разных авторов); И. Мартин Исаакс также назвал ее "алмазной теоремой" из-за формы соответствующей решетки подгрупп, а Пол Мориц Кон назвал ее "правилом параллелограмма", подчеркивая аналогию с правилом параллелограмма для векторов, поскольку в полученной решетке подгрупп две стороны, представляющие факторгруппы (SN)/N и S/(S∩N), "эквивалентны" в смысле изоморфизма. Аргумент Фраттини гарантирует существование произведения подгрупп (порождающего всю группу) в случае, когда пересечение не обязательно тривиально (и по этой последней причине две подгруппы не являются дополняющими). В частности, если G – конечная группа с нормальной подгруппой N, и P – силовская p-подгруппа N, то G = NG(P)N, где NG(P) обозначает нормализатор P в G. (Обратите внимание, что нормализатор P включает P, поэтому пересечение N и NG(P) содержит как минимум P.)

Обобщение на полугруппы

В полугруппе S произведение двух подмножеств определяет структуру полугруппы на P(S), множестве всех подмножеств полугруппы S; более того, P(S) является полукольцом, где сложением служит объединение подмножеств, а умножением – произведение подмножеств.