Введение

Кольцо, построенное из других колец (математика)

В математике произведение колец или прямое произведение колец — это кольцо, которое образуется декартовым произведением базовых множеств нескольких колец (возможно, бесконечного числа), снабжённых поточечными операциями. Оно является прямым произведением в категории колец. Поскольку прямые произведения определяются с точностью до изоморфизма, неформально говорят, что кольцо является произведением некоторых колец, если оно изоморфно их прямому произведению. Например, китайская теорема об остатках может быть сформулирована следующим образом: если m и n — взаимно простые целые числа, то факторкольцо является произведением и .

Свойства

Если 1=R = Πi∈I Ri является произведением колец, то для каждого i из I существует сюръективный гомоморфизм колец pi : R → Ri, проецирующий произведение на i-ю координату. Произведение R вместе с проекциями pi обладает следующим универсальным свойством: если S – любое кольцо и fi : S → Ri – гомоморфизм колец для каждого i из I, то существует единственный гомоморфизм колец f : S → R, такой что pi ∘ f = fi для каждого i из I. Это показывает, что произведение колец является примером произведений в смысле теории категорий. Когда I конечно, основная аддитивная группа Πi∈I Ri совпадает с прямой суммой аддитивных групп Ri. В этом случае некоторые авторы называют R «прямой суммой колец Ri» и пишут ⊕i∈I Ri, но это неверно с точки зрения теории категорий, поскольку обычно это не является копроизведением в категории колец (с единицей): например, когда два или более Ri нетривиальны, отображение включения Ri → R не переводит 1 в 1 и, следовательно, не является гомоморфизмом колец. (Конечное копроизведение в категории коммутативных алгебр над коммутативным кольцом является тензорным произведением алгебр. Копроизведение в категории алгебр является свободным произведением алгебр.) Прямые произведения коммутативны и ассоциативны с точностью до естественного изоморфизма, то есть порядок, в котором формируется прямое произведение, не имеет значения. Если Ai является идеалом Ri для каждого i из I, то 1=A = Πi∈I Ai является идеалом R. Если I конечно, то обратное также верно, то есть каждый идеал R имеет такой вид. Однако, если I бесконечно, а кольца Ri нетривиальны, то обратное неверно: множество элементов, у которых все координаты равны нулю, кроме конечного числа, образует идеал, который не является прямым произведением идеалов Ri. Идеал A является простым идеалом в R, если все Ai, кроме одного, равны Ri, а оставшийся Ai является простым идеалом в Ri. Однако обратное неверно, когда I бесконечно. Например, прямая сумма Ri образует идеал, не содержащийся ни в каком таком A, но аксиома выбора гарантирует, что он содержится в некотором максимальном идеале, который, следовательно, является простым. Элемент x в R является обратимым, если и только если все его компоненты обратимы, то есть если и только если pi(x) является обратимым в Ri для каждого i из I. Группа обратимых элементов R является произведением групп обратимых элементов Ri. Произведение двух или более нетривиальных колец всегда содержит ненулевые делители нуля: если x – элемент произведения, у которого все координаты равны нулю, кроме pi(x), а y – элемент произведения, у которого все координаты равны нулю, кроме pj(y), где i ≠ j, то xy = 0 в кольце произведения.