Полярные координаты: история и применение

Введение

Координаты, включающие расстояние и угол.

В математике полярная система координат — это двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется расстоянием от заданной точки и углом относительно заданного направления. Заданная точка (аналогичная началу координат в декартовой системе координат) называется полюсом, а луч, исходящий из полюса в заданном направлении, — полярной осью. Расстояние от полюса называется радиальной координатой, радиальным расстоянием или просто радиусом, а угол — угловой координатой, полярным углом или азимутом. Углы в полярной системе координат обычно выражаются в градусах или радианах (2π радиан равны 360°). Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо ввели эти понятия в середине XVII века, хотя сам термин «полярные координаты» приписывается Грегорио Фонтане в XVIII веке. Первоначальным стимулом для введения полярной системы было изучение кругового и орбитального движения. Полярные координаты наиболее подходят для описания явлений, которые по своей природе связаны с направлением и расстоянием от центральной точки на плоскости, например, спиралей. Плоские физические системы с телами, движущимися вокруг центральной точки, или явления, исходящие из центральной точки, часто проще и интуитивно понятнее моделировать с использованием полярных координат. Полярная система координат расширяется до трех измерений двумя способами: цилиндрической и сферической системами координат.

История

Понятия угла и радиуса уже использовались древними народами первого тысячелетия до нашей эры. Греческий астроном и астролог Гиппарх (190–120 до н.э.) создал таблицу функций хорд, приводя длину хорды для каждого угла, и есть упоминания о его использовании полярных координат при определении положения звёзд. В трактате «О спиралях» Архимед описывает архимедову спираль – функцию, радиус которой зависит от угла. Однако работы греков не привели к созданию полноценной системы координат. Начиная с VIII века нашей эры, астрономы разрабатывали методы для приближённого вычисления направления на Мекку (киблы) и расстояния до неё из любой точки Земли. С IX века они использовали сферическую тригонометрию и методы картографической проекции для точного определения этих величин. По сути, вычисление представляет собой преобразование экваториальных полярных координат Мекки (то есть её долготы и широты) в полярные координаты (то есть киблы и расстояния) относительно системы, референсным меридианом которой является большой круг, проходящий через заданное местоположение и полюса Земли, а полярной осью – линия, проходящая через это местоположение и его антиподальную точку. Существуют различные сведения о введении полярных координат как части формальной системы координат. Полная история вопроса изложена в книге профессора Гарвардского университета Джулиана Лоуэлла Кулиджа «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга предложили эти концепции в середине XVII века. Сен-Венсан писал о них в частном порядке в 1625 году и опубликовал свою работу в 1647 году, а Кавальери опубликовал свою в 1635 году, с исправленным изданием в 1653 году. Кавальери впервые использовал полярные координаты для решения задачи, связанной с площадью внутри архимедовой спирали. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длины параболических дуг. В «Методе флюксий» (написанном в 1671 году, опубликованном в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразования между полярными координатами, которые он называл «Седьмым способом; для спиралей», и девятью другими системами координат. В журнале Acta Eruditorum (1691) Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, называемой соответственно полюсом и полярной осью. Координаты задавались расстоянием от полюса и углом от полярной оси. Работа Бернулли была расширена до нахождения радиуса кривизны кривых, заданных в этих координатах. Термин «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтане, и он использовался итальянскими авторами XVIII века. Этот термин появился в английском языке в переводе Джорджа Пикока в 1816 году «Дифференциального и интегрального исчисления» Лакроа. Алексис Клер первым задумался о полярных координатах в трёх измерениях, а Леонард Эйлер первым их разработал. Угол φ определяется как начинающийся с 0° от направления отсчёта и увеличивающийся при вращениях либо по часовой стрелке (cw), либо против часовой стрелки (ccw). Например, в математике направление отсчёта обычно изображается в виде луча, исходящего из полюса горизонтально вправо, и полярный угол увеличивается до положительных значений при вращениях против часовой стрелки, в то время как в навигации (пеленг, курс) направление 0° изображается вертикально вверх, и угол увеличивается при вращениях по часовой стрелке. Полярные углы уменьшаются до отрицательных значений при вращениях в противоположных направлениях.

The concepts of angle and radius were already used by ancient peoples of the first millennium BC. The Greek astronomer and astrologer Hipparchus (190–120 BC) created a table of chord functions giving the length of the chord for each angle, and there are references to his using polar coordinates in establishing stellar positions. In On Spirals, Archimedes describes the Archimedean spiral, a function whose radius depends on the angle. The Greek work, however, did not extend to a full coordinate system. From the 8th century AD onward, astronomers developed methods for approximating and calculating the direction to Mecca (qibla)—and its distance—from any location on the Earth. From the 9th century onward they were using spherical trigonometry and map projection methods to determine these quantities accurately. The calculation is essentially the conversion of the equatorial polar coordinates of Mecca (i. e. its longitude and latitude) to its polar coordinates (i. e. its qibla and distance) relative to a system whose reference meridian is the great circle through the given location and the Earth's poles and whose polar axis is the line through the location and its antipodal point. There are various accounts of the introduction of polar coordinates as part of a formal coordinate system. The full history of the subject is described in Harvard professor Julian Lowell Coolidge's Origin of Polar Coordinates. Grégoire de Saint Vincent and Bonaventura Cavalieri independently introduced the concepts in the mid seventeenth century. Saint Vincent wrote about them privately in 1625 and published his work in 1647, while Cavalieri published his in 1635 with a corrected version appearing in 1653. Cavalieri first used polar coordinates to solve a problem relating to the area within an Archimedean spiral. Blaise Pascal subsequently used polar coordinates to calculate the length of parabolic arcs. In Method of Fluxions (written 1671, published 1736), Sir Isaac Newton examined the transformations between polar coordinates, which he referred to as the "Seventh Manner; For Spirals", and nine other coordinate systems. In the journal Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli used a system with a point on a line, called the pole and polar axis respectively. Coordinates were specified by the distance from the pole and the angle from the polar axis. Bernoulli's work extended to finding the radius of curvature of curves expressed in these coordinates. The actual term polar coordinates has been attributed to Gregorio Fontana and was used by 18th century Italian writers. The term appeared in English in George Peacock's 1816 translation of Lacroix's Differential and Integral Calculus. Alexis Clairaut was the first to think of polar coordinates in three dimensions, and Leonhard Euler was the first to actually develop them. The angle φ is defined to start at 0° from a reference direction, and to increase for rotations in either clockwise (cw) or counterclockwise (ccw) orientation. For example, in mathematics, the reference direction is usually drawn as a ray from the pole horizontally to the right, and the polar angle increases to positive angles for ccw rotations, whereas in navigation (bearing, heading) the 0° heading is drawn vertically upwards and the angle increases for cw rotations. The polar angles decrease towards negative values for rotations in the respectively opposite orientations.

Уникальность полярных координат

Добавление любого числа полных оборотов (360°) к угловой координате не изменяет соответствующее направление. Аналогично, любая полярная координата идентична координате с отрицательной радиальной компонентой и противоположным направлением (добавление 180° к полярному углу). Следовательно, одна и та же точка (r, φ) может быть выражена бесконечным числом различных полярных координат (r, φ + n × 360°) и , где n – произвольное целое число. Более того, сам полюс может быть выражен как (0, φ) для любого угла φ. Если для любой точки, кроме полюса, требуется однозначное представление, обычно ограничивают r положительными числами (r > 0) и φ либо интервалом , либо интервалом , что в радианах соответствует или . Другая условность, связанная с обычным областью значений функции арктангенса, заключается в том, чтобы допускать произвольные ненулевые действительные значения радиальной компоненты и ограничивать полярный угол. Во всех случаях необходимо выбрать однозначный азимут для полюса (r = 0), например, φ = 0.

Архимедова спираль

Архимедова спираль — это спираль, открытая Архимедом, которую также можно представить в виде простого уравнения в полярных координатах. Она описывается уравнением

Изменение параметра *a* приводит к повороту спирали, а параметр *b* контролирует расстояние между витками, которое для заданной спирали остаётся постоянным. Архимедова спираль имеет две ветви, одна для φ > 0 и одна для φ < 0. Обе ветви плавно соединены в полюсе. Если *a* = 0, то отражение одной ветви относительно линии под углом 90°/270° даст другую ветвь. Эта кривая примечательна тем, что является одной из первых, после конических сечений, описанных в математическом трактате, и служит наглядным примером кривой, которую лучше всего определять с помощью уравнения в полярных координатах.

Калькуляция

Математический анализ применим к уравнениям, заданным в полярных координатах. Угловая координата φ во всем этом разделе выражается в радианах, что является стандартным выбором при проведении вычислений математического анализа.

Интегральный исчисление (длина дуги)

Длина дуги (длина линии) заданной полярной функцией вычисляется интегрированием по кривой r(φ). Пусть L обозначает длину этой кривой от точки A до точки B, соответствующей значениям φ = a и φ = b, при этом 0 < b − a < 2π. Длина L задается следующим интегралом.

Центробежные и Кориолисовые термины

Термин иногда называют центростремительным ускорением, а термин – ускорением Кориолиса. Например, см. Шанкар. Примечание: эти термины, возникающие при выражении ускорения в полярных координатах, являются математическим следствием дифференцирования и появляются всякий раз, когда используются полярные координаты. В планарной динамике частиц эти ускорения возникают при применении второго закона Ньютона во вращающейся системе отсчета. В этом случае эти дополнительные члены часто называют фиктивными силами; фиктивными, поскольку они являются лишь результатом смены системы координат. Это не означает, что они не существуют, а лишь то, что они существуют только во вращающейся системе отсчета.

Расширения в 3D

Полярная система координат расширяется на три измерения, образуя две различные системы координат: цилиндрическую и сферическую.

Приложения

Полярные координаты двумерны, и поэтому их можно использовать только для описания точек, лежащих на одной двумерной плоскости. Они наиболее подходят для ситуаций, где рассматриваемое явление по своей природе связано с направлением и расстоянием от центральной точки. Например, как показывают приведенные выше примеры, для описания кривых, таких как архимедова спираль, достаточно простых полярных уравнений, в то время как их уравнение в декартовой системе координат было бы значительно сложнее. Кроме того, многие физические системы – например, системы, описывающие движение тел вокруг центральной точки или явления, исходящие из центральной точки – проще и интуитивно понятнее моделировать с использованием полярных координат. Изначальной причиной разработки полярной системы координат было изучение кругового и орбитального движения.

Положение и навигация

Полярные координаты часто используются в навигации, так как пункт назначения или направление движения могут быть заданы углом и расстоянием от рассматриваемого объекта. Например, самолеты используют несколько модифицированную версию полярных координат для навигации. В этой системе, которая обычно применяется для любых навигационных задач, нулевой луч обычно называют курсом 360, а углы отсчитываются по часовой стрелке, а не против часовой стрелки, как в математической системе. Курс 360 соответствует магнитному северу, а курсы 90, 180 и 270 – магнитному востоку, югу и западу соответственно. Таким образом, самолет, летящий на 5 морских миль прямо на восток, будет двигаться 5 единиц по курсу 90 (произносится как "ноль девять ноль" диспетчером управления воздушным движением).

Моделирование

Системы, обладающие радиальной симметрией, естественно подходят для использования полярной системы координат, где центральная точка является полюсом. Наглядным примером является уравнение течения подземных вод применительно к радиально-симметричным скважинам. Системы с радиальной силой также хорошо подходят для использования полярной системы координат. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратных квадратов, а также системы с точечными источниками, например, радиоантенны. Радиально асимметричные системы также могут быть смоделированы с помощью полярных координат. Например, диаграмма направленности микрофона демонстрирует его пропорциональный отклик на звук, приходящий с определенного направления, и эти диаграммы могут быть представлены в виде полярных кривых. Кривая для стандартного кардиоидного микрофона, наиболее распространенного однонаправленного микрофона, может быть представлена как на его расчетной частоте. Диаграмма направленности смещается в сторону всенаправленности на более низких частотах.