Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Күрделі сандардың геометриялық бейнеленуі
Geometric representation of the complex numbers
the geometric representation of complex numbers
Математикада күрделі жазықтық – күрделі сандар құрайтын жазықтық, онда Картезиандық координаттар жүйесі қолданылады. Көлденең x осі, нақты ось деп аталады, ол нақты сандардан тұрады, ал тік y осі, ойқы ось деп аталады, ол жорамал сандардан тұрады. Күрделі жазықтық күрделі сандарды геометриялық тұрғыдан түсіндіруге мүмкіндік береді. Қосу амалы бойынша, олар векторлар сияқты қосылады. Екі күрделі санның көбейтіндісін полярлық координаттар арқылы оңай жазылуы мүмкін: көбейтіндінің модулі екі санның абсолюттік мәнінің көбейтіндісіне тең, ал көбейтіндінің аргументі екі аргументтің қосындысына тең. Атап айтқанда, модулі 1-ге тең күрделі санға көбейту айналу әрекеті болып табылады. Күрделі жазықтық кейде Арган жазықтығы немесе Гаусс жазықтығы деп те аталады.
In mathematics, the complex plane is the plane formed by the complex numbers, with a Cartesian coordinate system such that the horizontal x axis, called the real axis, is formed by the real numbers, and the vertical y axis, called the imaginary axis, is formed by the imaginary numbers. The complex plane allows for a geometric interpretation of complex numbers. Under addition, they add like vectors. The multiplication of two complex numbers can be expressed more easily in polar coordinates—the magnitude or of the product is the product of the two absolute values, or moduli, and the angle or of the product is the sum of the two angles, or arguments. In particular, multiplication by a complex number of modulus 1 acts as a rotation. The complex plane is sometimes called the Argand plane or Gauss plane.
Күрделі жазықтық жазуы
Комплекстік жазықтық деп белгіленеді.
The complex plane is denoted as .
Арганд диаграммасы
Арган диаграммасы – күрделі сандарды нүктелер ретінде, 1=z = x + iy түрінде бейнелейтін геометриялық сызба. Онда көлденең x осьі нақты ось, ал тік y осьі жолғары ось ретінде қолданылады. Мұндай сызбалар Жан Роберт Арганның (1768–1822) есімімен аталады, бірақ оларды алғаш рет норвегиялық-даниялық жерөлшеуші және математик Каспар Вессель (1745–1818) сипаттаған. Арган диаграммалары функцияның нөлдері мен полюстерін күрделі жазықтықта белгілеу үшін жиі қолданылады.
Argand diagram refers to a geometric plot of complex numbers as points 1=z = x + iy using the horizontal x axis as the real axis and the vertical y axis as the imaginary axis. Such plots are named after Jean Robert Argand (1768–1822), although they were first described by Norwegian–Danish land surveyor and mathematician Caspar Wessel (1745–1818). Argand diagrams are frequently used to plot the positions of the zeros and poles of a function in the complex plane.
Стереографиялық проекциялар
Бұл күрделі жазықтықты шардың бетін алып жатқандай ойлау пайдалы болуы мүмкін. Бірлік радиусы бар сфераны қарастыра отырып, оның орталығын күрделі жазықтықтың басында орналастырыңыз, сонда сферадағы экватор жазықтықтағы бірлік шеңбермен сәйкес келеді, ал солтүстік полюс жазықтықтың "жоғарысында" болады. Біз шардың бетіндегі нүктелер мен солтүстік полюсті алып тастау және күрделі жазықтықтағы нүктелер арасындағы бір-бір сәйкестікті келесідей орната аламыз. Жазықтықтағы нүктеге қарай, оны шардағы солтүстік полюспен байланыстыратын түзу сызық сызыңыз. Бұл сызық сфераның бетін дәл бір нүктемен қиып өтеді. 1=z=0 нүктесі шардың оңтүстік полюсіне проекцияланады. Бірлік шеңбердің ішкі бөлігі сфераның ішінде жатқандықтан, бүкіл аймақ оңтүстік жарты шарға бейнеленеді. Бірлік шеңбердің өзі экваторға, ал бірлік шеңбердің сыртқы бөлігі солтүстік жарты шарға, солтүстік полюсті алып тастағаннан кейін бейнеленеді. Бұл процедураның кері болатындығы анық. Шардың бетіндегі солтүстік полюс емес кез келген нүктеге сәйкес сол нүкте мен солтүстік полюсті жалғастыратын және жазықтықты дәл бір нүктемен қиысатын түзу сызық сызуға болады. Бұл стереографиялық проекция бойынша солтүстік полюс күрделі жазықтықтағы кез келген нүктемен байланысты емес. Біз бір-бір сәйкестікті күрделі жазықтыққа тағы бір нүкте қосу арқылы толықтырамыз – шексіздіктегі нүкте деп аталады және оны сферадағы солтүстік полюспен сәйкестендіреміз. Бұл топологиялық кеңістік, күрделі жазықтық пен шексіздіктегі нүкте, кеңейтілген күрделі жазықтық деп аталады. Біз күрделі талдауды талқылау кезінде "шексіздіктегі" бір нүкте туралы айтамыз. Нақты сандар сызығында шексіздікте екі нүкте бар (оң және теріс), бірақ кеңейтілген күрделі жазықтықта шексіздікте бір нүкте (солтүстік полюс) бар. Енді ойшалап көріңіз, бұл сызықтар шардан жазық жазықтыққа проекцияланғанда, ендік және бойлық сызықтарының не болатынын. Ендік сызықтары экваторға параллель, сондықтан олар 1=z=0 нүктесінде орталастырылған толық шеңберлерге айналады. Ал бойлық сызықтары түзу сызықтар болып, бастапқы нүкте арқылы өтеді (сонымен қатар, "шексіздіктегі нүкте" арқылы өтеді, өйткені олар сфераның солтүстік және оңтүстік полюстері арқылы өтеді). Бұл екі немесе одан да көп мәндерден тұратын жазықтықта сфераның проекциясының жалғыз мүмкін, бірақ ықтимал стереографиялық жағдайы емес. Мысалы, шардың солтүстік полюсі шеңберге жанасатын жазықтықта 1=z = −1 бастапқы нүктесінің үстіне орналастырылуы мүмкін. Бұл егжей-тегжейлердің маңызы жоқ. Сфераның жазықтықтағы кез келген стереографиялық проекциясы бір "шексіздіктегі нүкте" шығарады және ол сферадағы ендік пен бойлық сызықтарын жазықтықтағы шеңберлер мен түзу сызықтарға сәйкес бейнелейді.
It can be useful to think of the complex plane as if it occupied the surface of a sphere. Given a sphere of unit radius, place its center at the origin of the complex plane, oriented so that the equator on the sphere coincides with the unit circle in the plane, and the north pole is "above" the plane. We can establish a one to one correspondence between the points on the surface of the sphere minus the north pole and the points in the complex plane as follows. Given a point in the plane, draw a straight line connecting it with the north pole on the sphere. That line will intersect the surface of the sphere in exactly one other point. The point 1=z = 0 will be projected onto the south pole of the sphere. Since the interior of the unit circle lies inside the sphere, that entire region will be mapped onto the southern hemisphere. The unit circle itself will be mapped onto the equator, and the exterior of the unit circle will be mapped onto the northern hemisphere, minus the north pole. Clearly this procedure is reversible – given any point on the surface of the sphere that is not the north pole, we can draw a straight line connecting that point to the north pole and intersecting the flat plane in exactly one point. Under this stereographic projection the north pole itself is not associated with any point in the complex plane. We perfect the one to one correspondence by adding one more point to the complex plane – the so called point at infinity – and identifying it with the north pole on the sphere. This topological space, the complex plane plus the point at infinity, is known as the extended complex plane. We speak of a single "point at infinity" when discussing complex analysis. There are two points at infinity (positive, and negative) on the real number line, but there is only one point at infinity (the north pole) in the extended complex plane. Imagine for a moment what will happen to the lines of latitude and longitude when they are projected from the sphere onto the flat plane. The lines of latitude are all parallel to the equator, so they will become perfect circles centered on the origin 1=z = 0. And the lines of longitude will become straight lines passing through the origin (and also through the "point at infinity", since they pass through both the north and south poles on the sphere). This is not the only possible yet plausible stereographic situation of the projection of a sphere onto a plane consisting of two or more values. For instance, the north pole of the sphere might be placed on top of the origin 1=z = −1 in a plane that is tangent to the circle. The details don't really matter. Any stereographic projection of a sphere onto a plane will produce one "point at infinity", and it will map the lines of latitude and longitude on the sphere into circles and straight lines, respectively, in the plane.
Ұшақты кесу
Күрделі айнымалының функцияларын талқылағанда, күрделі жазықтықтағы кесінді туралы ойлау көбінесе ыңғайлы болады. Бұл идея бірнеше әртүрлі контекстте туындайды.
When discussing functions of a complex variable it is often convenient to think of a cut in the complex plane. This idea arises naturally in several different contexts.
Басқару теориясында қолдану
Басқару теориясында күрделі жазықтықтың бір қолданылуы s жазықтығы деп аталады. Ол жүйенің мінез-құлқын сипаттаған теңдеудің түбірлерін (сипаттамалық теңдеу) графикалық түрде көрсету үшін қолданылады. Теңдеу әдетте Лаплас түрлендіруінің s параметріне қатысты полином түрінде жазылады, сондықтан бұл жазық s жазықтығы деп аталады. S жазықтықтағы нүктелер 1/s = σ + jω түрінде болады, мұнда нақты бөліктің орнына "i" әрпінің орнына "j" әрпі қолданылады ( "i" айнымалысы инженерлік саласында көбінесе электр тогын белгілеу үшін пайдаланылады). Комплексті жазықтықтың тағы бір маңызды қолданылуы – Найквист тұрақтылық критерийі. Бұл геометриялық принцип, жабық контурлы кері байланыс жүйесінің тұрақтылығын оның ашық контурлы амплитудасы мен фазалық сипаттамасының жиіліктен (немесе контурлық трансферт функциясынан) тәуелді күрделі жазықтықтағы Найквист графигін қарастыру арқылы анықтауға мүмкіндік береді. z жазықтығы – s жазықтығының дискреттік уақытқа арналған нұсқасы, онда Лаплас түрлендіруінің орнына z түрлендірулері қолданылады.
In control theory, one use of the complex plane is known as the s plane. It is used to visualise the roots of the equation describing a system's behaviour (the characteristic equation) graphically. The equation is normally expressed as a polynomial in the parameter s of the Laplace transform, hence the name s plane. Points in the s plane take the form 1=s = σ + jω, where 'j' is used instead of the usual 'i' to represent the imaginary component (the variable 'i' is often used to denote electrical current in engineering contexts). Another related use of the complex plane is with the Nyquist stability criterion. This is a geometric principle which allows the stability of a closed loop feedback system to be determined by inspecting a Nyquist plot of its open loop magnitude and phase response as a function of frequency (or loop transfer function) in the complex plane. The z plane is a discrete time version of the s plane, where z transforms are used instead of the Laplace transformation.
Квадраттық кеңістіктер
Комплекстік жазықтық екі ерекше квадраттық кеңістікпен байланысты. Комплекстік жазықтағы 1=z = x + iy нүктесі үшін функцияның квадраты және норманың квадраты екеуі де квадраттық формалар болып табылады. Соңғысы күрделі жазықтықта метриканы белгілеу үшін қолданылғандықтан, біріншісі көбінесе назардан тыс қалады. Бұл күрделі жазықтықтың квадраттық кеңістік ретіндегі ерекше жақтары Кейли-Диксон процесі арқылы өрісте алгебра құру кезінде пайда болады. Бұл процедура кез келген өріске қолданылуы мүмкін, ал R және C өрістері үшін әртүрлі нәтижелер алынады: R бастапқы өріс болғанда, C квадраттық формамен құрылады, бірақ процесс C және , бастапқы өрістерінен де басталуы мүмкін, және бұл жағдайда R-ден туындағандардан өзгеше алгебралар пайда болады. Қай жағдайда болса да, құрылған алгебралар композициялық алгебралар болып табылады; осы жағдайда күрделі жазықтық екі ерекше композициялық алгебраның нүктелік жиыны болып табылады.
The complex plane is associated with two distinct quadratic spaces. For a point 1=z = x + iy in the complex plane, the squaring function and the norm squared are both quadratic forms. The former is frequently neglected in the wake of the latter's use in setting a metric on the complex plane. These distinct faces of the complex plane as a quadratic space arise in the construction of algebras over a field with the Cayley–Dickson process. That procedure can be applied to any field, and different results occur for the fields R and C: when R is the take off field, then C is constructed with the quadratic form , but the process can also begin with C and , and that case generates algebras that differ from those derived from R. In any case, the algebras generated are composition algebras; in this case the complex plane is the point set for two distinct composition algebras.
"Комплексті жазықтық" сөзінің басқа мағыналары
Осы мақаланың алдыңғы бөлімдері күрделі сандарды геометриялық түрде бейнелеу арқылы күрделі жазықтықты қарастырады. "Күрделі жазықтық" терминінің қолданылуы ұзақ және математикалық тұрғыдан бай тарихқа ие болғанымен, бұл "күрделі жазықтық" деп сипатталатын жалғыз математикалық ұғым емес. Кемінде үш қосымша мүмкіндік бар. Екі өлшемді күрделі векторлық кеңістік, яғни координаттары күрделі сандардан тұратын екі өлшемді векторлық кеңістік, "күрделі жазықтық" болып табылады. Сондай-ақ қараңыз: (1 + 1) өлшемді Минковский кеңістігі, сонымен қатар бөлінген күрделі жазықтық деп те аталады, алгебралық бөлінген күрделі сандарды Картезиан жазықтығындағы (x, y) нүктесімен байланыстыруға оңай болатын екі нақты компонентке бөлуге болады, бұл да "күрделі жазықтық" болып саналады. Нақты сандардағы қос сандар жиынын да Картезиан жазықтығының (x, y) нүктелерімен сәйкестіруге болады, бұл "күрделі жазықтық"тың тағы бір мысалы.
The preceding sections of this article deal with the complex plane in terms of a geometric representation of the complex numbers. Although this usage of the term "complex plane" has a long and mathematically rich history, it is by no means the only mathematical concept that can be characterized as "the complex plane". There are at least three additional possibilities. Two dimensional complex vector space, a "complex plane" in the sense that it is a two dimensional vector space whose coordinates are complex numbers. See also: (1 + 1) dimensional Minkowski space, also known as the split complex plane, is a "complex plane" in the sense that the algebraic split complex numbers can be separated into two real components that are easily associated with the point (x, y) in the Cartesian plane. The set of dual numbers over the reals can also be placed into one to one correspondence with the points (x, y) of the Cartesian plane, and represent another example of a "complex plane".