Геометрическое представление комплексных чисел

Введение

В математике комплексная плоскость – это плоскость, образованная комплексными числами, с декартовой системой координат, в которой горизонтальная ось x, называемая действительной осью, состоит из действительных чисел, а вертикальная ось y, называемая мнимой осью, состоит из мнимых чисел. Комплексная плоскость позволяет геометрически интерпретировать комплексные числа. При сложении они складываются как векторы. Умножение двух комплексных чисел проще выразить в полярных координатах: модуль произведения равен произведению двух абсолютных величин, или модулей, а аргумент произведения равен сумме двух аргументов. В частности, умножение на комплексное число с модулем 1 действует как поворот. Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана или плоскостью Гаусса.

Комплексная плоскость

Комплексная плоскость обозначается как .

Диаграмма Арганда

Диаграмма Арганда — это геометрическое представление комплексных чисел в виде точек z = x + iy, где горизонтальная ось x соответствует действительной оси, а вертикальная ось y — мнимой оси. Такие графики названы в честь Жана Роберта Аргана (1768–1822), хотя впервые они были описаны норвежско-датским землемером и математиком Каспаром Весселем (1745–1818). Диаграммы Арганда часто используются для отображения расположения нулей и полюсов функции на комплексной плоскости.

Стереографические проекции

Может быть полезно представлять себе комплексную плоскость так, будто она занимает поверхность сферы. Возьмем сферу с единичным радиусом и поместим её центр в начало координат комплексной плоскости, ориентировав её так, чтобы экватор на сфере совпадал с единичной окружностью в плоскости, а северный полюс находился "выше" плоскости. Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками на поверхности сферы, исключая северный полюс, и точками в комплексной плоскости следующим образом. Для заданной точки в плоскости проведите прямую линию, соединяющую её с северным полюсом на сфере. Эта линия пересечёт поверхность сферы ровно в одной другой точке. Точка z = 0 будет спроецирована на южный полюс сферы. Поскольку внутренность единичной окружности лежит внутри сферы, вся эта область будет отображена на южное полушарие. Сама единичная окружность будет отображена на экватор, а внешность единичной окружности – на северное полушарие, исключая северный полюс. Очевидно, что эта процедура обратима: для любой точки на поверхности сферы, отличной от северного полюса, можно провести прямую линию, соединяющую эту точку с северным полюсом и пересекающую плоскость ровно в одной точке. При этой стереографической проекции сам северный полюс не сопоставлен ни с одной точкой в комплексной плоскости. Мы дополняем взаимно однозначное соответствие, добавляя к комплексной плоскости ещё одну точку – так называемую точку на бесконечности – и отождествляя её с северным полюсом на сфере. Это топологическое пространство, комплексная плоскость плюс точка на бесконечности, известно как расширенная комплексная плоскость. При обсуждении комплексного анализа мы говорим об одной "точке на бесконечности". На действительной числовой прямой существуют две точки на бесконечности (положительная и отрицательная), но в расширенной комплексной плоскости есть только одна точка на бесконечности (северный полюс). Представьте на мгновение, что произойдёт с линиями широты и долготы при их проецировании со сферы на плоскость. Линии широты все параллельны экватору, поэтому они превратятся в идеальные окружности с центром в начале координат. А линии долготы превратятся в прямые линии, проходящие через начало координат (а также через "точку на бесконечности", поскольку они проходят через оба полюса на сфере). Это не единственная возможная, но правдоподобная стереографическая проекция сферы на плоскость. Например, северный полюс сферы можно поместить над началом координат в плоскости, касательной к окружности. Детали не имеют существенного значения. Любая стереографическая проекция сферы на плоскость создаст одну "точку на бесконечности" и отобразит линии широты и долготы на сфере в окружности и прямые линии соответственно в плоскости.

It can be useful to think of the complex plane as if it occupied the surface of a sphere. Given a sphere of unit radius, place its center at the origin of the complex plane, oriented so that the equator on the sphere coincides with the unit circle in the plane, and the north pole is "above" the plane. We can establish a one to one correspondence between the points on the surface of the sphere minus the north pole and the points in the complex plane as follows. Given a point in the plane, draw a straight line connecting it with the north pole on the sphere. That line will intersect the surface of the sphere in exactly one other point. The point 1=z = 0 will be projected onto the south pole of the sphere. Since the interior of the unit circle lies inside the sphere, that entire region will be mapped onto the southern hemisphere. The unit circle itself will be mapped onto the equator, and the exterior of the unit circle will be mapped onto the northern hemisphere, minus the north pole. Clearly this procedure is reversible – given any point on the surface of the sphere that is not the north pole, we can draw a straight line connecting that point to the north pole and intersecting the flat plane in exactly one point. Under this stereographic projection the north pole itself is not associated with any point in the complex plane. We perfect the one to one correspondence by adding one more point to the complex plane – the so called point at infinity – and identifying it with the north pole on the sphere. This topological space, the complex plane plus the point at infinity, is known as the extended complex plane. We speak of a single "point at infinity" when discussing complex analysis. There are two points at infinity (positive, and negative) on the real number line, but there is only one point at infinity (the north pole) in the extended complex plane. Imagine for a moment what will happen to the lines of latitude and longitude when they are projected from the sphere onto the flat plane. The lines of latitude are all parallel to the equator, so they will become perfect circles centered on the origin 1=z = 0. And the lines of longitude will become straight lines passing through the origin (and also through the "point at infinity", since they pass through both the north and south poles on the sphere). This is not the only possible yet plausible stereographic situation of the projection of a sphere onto a plane consisting of two or more values. For instance, the north pole of the sphere might be placed on top of the origin 1=z = −1 in a plane that is tangent to the circle. The details don't really matter. Any stereographic projection of a sphere onto a plane will produce one "point at infinity", and it will map the lines of latitude and longitude on the sphere into circles and straight lines, respectively, in the plane.

Отрезание самолета

При обсуждении функций комплексной переменной часто удобно представлять себе разрез на комплексной плоскости. Эта идея естественно возникает в различных контекстах.

Использование в теории управления

В теории управления одно из применений комплексной плоскости известно как s-плоскость. Она используется для графического представления корней уравнения, описывающего поведение системы (характеристического уравнения). Уравнение обычно представляется в виде полинома относительно параметра s преобразования Лапласа, отсюда и название s-плоскость. Точки на s-плоскости имеют вид s = σ + jω, где 'j' используется вместо общепринятого 'i' для обозначения мнимой части (переменная 'i' часто используется для обозначения электрического тока в инженерных задачах). Другое связанное применение комплексной плоскости – критерий устойчивости Найквиста. Это геометрический принцип, позволяющий определить устойчивость системы с обратной связью, анализируя диаграмму Найквиста, отображающую частотную характеристику (амплитудно-фазовую характеристику) разомкнутой системы в комплексной плоскости. z-плоскость является дискретной по времени аналогией s-плоскости, где вместо преобразования Лапласа используются z-преобразования.

Квадратные пространства

Комплексная плоскость связана с двумя различными квадратичными пространствами. Для точки z = x + iy в комплексной плоскости, функция возведения в квадрат и квадрат нормы являются обеими квадратичными формами. Первая часто игнорируется из-за использования второй при задании метрики на комплексной плоскости. Эти различные аспекты комплексной плоскости как квадратичного пространства возникают при построении алгебр над полем с использованием процесса Кейли-Диксона. Эта процедура может быть применена к любому полю, и для полей R и C получаются разные результаты: когда R является исходным полем, то C строится с квадратичной формой , но процесс также может начинаться с C и , и в этом случае генерируются алгебры, отличные от тех, которые получены из R. В любом случае, генерируемые алгебры являются композиционными алгебрами; в данном случае комплексная плоскость является множеством точек для двух различных композиционных алгебр.

Другие значения "сложной плоскости"

Предыдущие разделы этой статьи рассматривают комплексную плоскость с точки зрения геометрического представления комплексных чисел. Хотя это употребление термина "комплексная плоскость" имеет долгую и математически богатую историю, это далеко не единственная математическая концепция, которую можно охарактеризовать как "комплексную плоскость". Существует как минимум три дополнительных варианта. Двумерное комплексное векторное пространство, которое является "комплексной плоскостью" в том смысле, что это двумерное векторное пространство, координаты которого являются комплексными числами. См. также: (1 + 1)-мерное пространство Минковского, также известное как расщеплённая комплексная плоскость, является "комплексной плоскостью" в том смысле, что алгебраические расщеплённые комплексные числа можно разделить на два вещественных компонента, которые легко сопоставляются с точкой (x, y) в декартовой плоскости. Множество двойственных чисел над действительными числами также можно привести к взаимно однозначному соответствию с точками (x, y) декартовой плоскости, что представляет собой ещё один пример "комплексной плоскости".

Цитируемые работы

Переиздано в 1973 году издательством Chelsea Publishing Company.