Кіріспе
Кездейсоқ құбылысты білдіретін айнымалы. Кездейсоқ айнымалы (оны кездейсоқ шама, кездейсоқ айнымалы немесе стохастикалық айнымалы деп те атайды) – кездейсоқ оқиғаларға тәуелді шаманың немесе объектінің математикалық формализациясы. "Кездейсоқ айнымалы" термині математикалық анықтамасында кездейсоқтыққа немесе өзгергіштікке сілтемейді, оның орнына ол математикалық функция болып табылады, онда:
A random variable (also called random quantity, aleatory variable, or stochastic variable) is a mathematical formalization of a quantity or object which depends on random events. The term 'random variable' in its mathematical definition refers to neither randomness nor variability but instead is a mathematical function in which
the domain is the set of possible outcomes in a sample space (e. g. the set which are the possible upper sides of a flipped coin heads or tails as the result from tossing a coin); and
the range is a measurable space (e. g. corresponding to the domain above, the range might be the set if say heads mapped to 1 and mapped to 1). Typically, the range of a random variable is set of real numbers. Informally, randomness typically represents some fundamental element of chance, such as in the roll of a die; it may also represent uncertainty, such as measurement error.
домені – үлгі кеңістігіндегі мүмкін нәтижелер жиыны (мысалы, монетаны лақтырғандағы мүмкін жоғарғы жақтар жиыны – сырға немесе қақпаққа);
ауқымы – өлшенетін кеңістік (мысалы, жоғарыдағы доменге сәйкес, ауқымы басқа 1 және қақпаққа 1 сәйкес келуі мүмкін жиынтық). Әдетте, кездейсоқ айнымалының ауқымы нақты сандар жиыны болып табылады. Формальды емес тұрғыдан алғанда, кездейсоқтық көбінесе тағдырдың негізгі элементін білдіреді, мысалы, ойыншық текшедегідей; сондай-ақ ол белгісіздікті, мысалы, өлшеу қатесін де білдіруі мүмкін.
A random variable (also called random quantity, aleatory variable, or stochastic variable) is a mathematical formalization of a quantity or object which depends on random events. The term 'random variable' in its mathematical definition refers to neither randomness nor variability but instead is a mathematical function in which
the domain is the set of possible outcomes in a sample space (e. g. the set which are the possible upper sides of a flipped coin heads or tails as the result from tossing a coin); and
the range is a measurable space (e. g. corresponding to the domain above, the range might be the set if say heads mapped to 1 and mapped to 1). Typically, the range of a random variable is set of real numbers. Informally, randomness typically represents some fundamental element of chance, such as in the roll of a die; it may also represent uncertainty, such as measurement error.
Стандартты жағдай
Көп жағдайларда нақты мәнді болады, яғни кейбір контекстерде "кездейсоқ элемент" термині (қолданылу аясын қараңыз) осы формадағы кездейсоқ айнымалыны көрсету үшін қолданылады. Егер кескін (немесе мәндер жиыны) шекті немесе шексіз саналатын болса, онда кездейсоқ айнымалы дискретті кездейсоқ айнымалы деп аталады, ал оның үлестірілуі дискретті ықтималдық үлестірімі болып табылады, яғни оны кескіндегі әрбір мәнге ықтималдық тағайындайтын ықтималдық массалық функциясы арқылы сипаттауға болады. Егер кескін санаусыз шексіз болса (әдетте интервал), онда ол үздіксіз кездейсоқ айнымалы деп аталады. Егер ол толыққанды үздіксіз болса, оның үлестірілуін ықтималдық тығыздық функциясы арқылы сипаттауға болады, ол интервалдарға ықтималдықтарды тағайындайды; атап айтқанда, толыққанды үздіксіз кездейсоқ айнымалы үшін әрбір жеке нүктенің ықтималдығы міндетті түрде нөлге тең болуы керек. Барлық үздіксіз кездейсоқ айнымалылар толыққанды үздіксіз болмайды. Кез келген кездейсоқ айнымалыны оның жиынтық үлестіру функциясы арқылы сипаттауға болады, ол кездейсоқ айнымалының белгілі бір мәннен кем немесе оған тең болу ықтималдығын сипаттайды.
Ұзартулар
Статистикада "кейбірлік айнымалы" термині дәстүрлі түрде нақты мәнді жағдаймен шектеледі. Бұл жағдайда нақты сандардың құрылымы кейбірлік айнымалының күтілетін мәні мен дисперсиясы, оның жиынтық үлестірім функциясы және оның үлестірім моменттері сияқты шамаларды анықтауға мүмкіндік береді. Алайда, жоғарыдағы анықтама кез келген өлшенетін мәндер кеңістігі үшін жарамды. Осылайша, басқа жиындықтардың кейбірлік элементтерін, мысалы, кейбірлік бульдік мәндер, санаттық мәндер, кешенді сандар, векторлар, матрицалар, тізбектер, ағаштар, жиындықтар, пішіндер, манифольдтар және функциялар деп қарастыруға болады. Содан кейін нақты түрдегі немесе -мәнді кейбірлік айнымалыға нақты сілтеме жасауға болады. Кейбірлік элементтің бұл жалпы түсінігі графтар теориясы, машиналық оқыту, табиғи тілді өңдеу және дискретті математика мен компьютерлік ғылымның басқа салаларында ерекше пайдалы, онда сандық емес дерек құрылымдарының кейбірлік өзгеруін модельдеуге қызығушылық танытады. Кейбір жағдайларда, әр элементті көрсету үшін бір немесе бірнеше нақты сандарды пайдалану ыңғайлы. Бұл жағдайда кейбірлік элемент нақты мәнді кейбірлік айнымалылардың векторы ретінде ұсынылуы мүмкін (барлығы бірдей негізгі ықтималдық кеңістігінде анықталған, бұл әртүрлі кейбірлік айнымалылардың ковариациясына мүмкіндік береді). Мысалы: Кейбірлік сөз мүмкін сөздердің сөздігіне индекс ретінде қызмет ететін кейбірлік бүтін сан ретінде бейнеленуі мүмкін. Сонымен қатар, оны сөздіктің өлшеміне тең ұзындықтағы кейбірлік индикатор векторы ретінде көрсетуге болады, онда оң ықтималдықтың жалғыз мәндері 0, 1 және 1 позициясы сөзді көрсетеді. Белгілі бір ұзындықтағы кейбірлік сөйлем кейбірлік сөздердің векторы ретінде бейнеленуі мүмкін. Белгілі бір төбелері бар кейбірлік графты кейбірлік айнымалылардың матрицасы ретінде көрсетуге болады, олардың мәндері кейбірлік графтың жапсарлас матрицасын анықтайды. Кейбірлік функцияны функцияның доменіндегі әртүрлі нүктелердегі функцияның мәндерін беру арқылы кейбірлік айнымалылардың жиынтығы ретінде бейнелеуге болады. Егер функция нақты мәнді болса, онда олар қарапайым нақты мәнді кейбірлік айнымалылар болып табылады. Мысалы, стохастикалық процесс - уақыттың кейбірлік функциясы, кейбірлік вектор - белгілі бір индекс жиынының (мысалы, ℝⁿ) кейбірлік функциясы, ал кейбірлік өріс - кез келген жиынтықтағы (әдетте уақыт, кеңістік немесе дискретті жиынтық) кейбірлік функция.
A random word may be represented as a random integer that serves as an index into the vocabulary of possible words. Alternatively, it can be represented as a random indicator vector, whose length equals the size of the vocabulary, where the only values of positive probability are , , and the position of the 1 indicates the word. A random sentence of given length may be represented as a vector of random words. A random graph on given vertices may be represented as a matrix of random variables, whose values specify the adjacency matrix of the random graph. A random function may be represented as a collection of random variables , giving the function's values at the various points in the function's domain. The are ordinary real valued random variables provided that the function is real valued. For example, a stochastic process is a random function of time, a random vector is a random function of some index set such as , and random field is a random function on any set (typically time, space, or a discrete set).
Тарату функциялары
Егер ықтималдық кеңістігінде анықталған кездейсоқ айнымалы берілген болса, біз " -ның мәні 2-ге тең болу ықтималдығы қанша?" деген сұрақтар қоя аламыз. Бұл - оқиғаның ықтималдығымен бірдей, және ол көбінесе немесе деп жазылады. Кездейсоқ айнымалының барлық мүмкін мәндерінің ықтималдықтарын тіркеу нәтижесінде ықтималдық үлестірімі пайда болады. Ықтималдық үлестірімі -ті анықтау үшін қолданылған нақты ықтималдық кеңістігін "естен шығарады" және тек оның әртүрлі мәндерінің ықтималдықтарын ғана сақтайды. Егер - нақты мәнді болса, мұндай ықтималдық үлестірімін оның жиынтық үлестіру функциясы арқылы және кейде ықтималдық тығыздық функциясы арқылы толық сипаттауға болады. Өлшемдер теориясы тұрғысынан қарағанда, біз кездейсоқ айнымалыны қолданып, -тағы өлшемді -ке "ауыстырамыз", нәтижесінде -ке жаңа өлшем пайда болады. Бұл өлшем -тің "(ықтималдық) үлестірімі" немесе "-нің заңы" деп аталады. Тығыздық - бұл -ке қатысты белгілі бір эталондық өлшемге (көбінесе, үздіксіз кездейсоқ айнымалылар үшін Лебег өлшемі, ал дискретті кездейсоқ айнымалылар үшін санау өлшемі) Радон-Никодим туындысы болып табылады. Негізгі ықтималдық кеңістігі – кездейсоқ айнымалылардың болуын қамтамасыз ету, кейде оларды құру және бір ықтималдық кеңістігіндегі екі немесе одан көп кездейсоқ айнымалылардың бірлескен үлестіріміне негізделген корреляция, тәуелділік немесе тәуелсіздік сияқты ұғымдарды анықтау үшін қолданылатын техникалық құрал. Іс жүзінде, көбінесе кеңістіктің өзін алып тастап, тек 1-ге тең өлшемді бүкіл нақты сандар осына беретін өлшемді қолданады, яғни кездейсоқ айнымалылардың орнына ықтималдық үлестірімдерімен жұмыс жасайды. Толықрақ ақпарат алу үшін квантильдік функциялар туралы мақаланы қараңыз.
and sometimes also using a probability density function, In measure theoretic terms, we use the random variable to "push forward" the measure on to a measure on The measure is called the "(probability) distribution of " or the "law of ". The density , the Radon–Nikodym derivative of with respect to some reference measure on (often, this reference measure is the Lebesgue measure in the case of continuous random variables, or the counting measure in the case of discrete random variables). The underlying probability space is a technical device used to guarantee the existence of random variables, sometimes to construct them, and to define notions such as correlation and dependence or independence based on a joint distribution of two or more random variables on the same probability space. In practice, one often disposes of the space altogether and just puts a measure on that assigns measure 1 to the whole real line, i. e., one works with probability distributions instead of random variables. See the article on quantile functions for fuller development.
Дискреттік кездейсоқ айнымалы
Бір адамды кездейсоқ таңдап алған экспериментке назар аударайық. Кездейсоқ айнымалының мысалы – адамның бойы. Математикалық тұрғыдан алғанда, кездейсоқ айнымалы – адамды оның бойына сәйкестендіретін функция ретінде қарастырылады. Кездейсоқ айнымалымен байланысты ықтималдық үлестірімі бар, ол бойдың 180 мен 190 см аралығында болу ықтималдығын немесе бойдың 150 см-ден кем немесе 200 см-ден артық болу ықтималдығын сияқты, мүмкін мәндердің кез келген ішкі жиынында болу ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді. Тағы бір кездейсоқ айнымалы – адамның балаларының саны; бұл теріс емес бүтін сандар мәндерін қабылдайтын дискретті кездейсоқ айнымалы. Ол жекелеген бүтін сандар үшін ықтималдық массалық функция (PMF) немесе мәндер жиыны үшін, тіпті шексіз жиындар үшін де ықтималдықтарды есептеуге мүмкіндік береді. Мысалы, қызығушылық тудыратын оқиға – «балалардың жұп саны». Соңғы және шексіз оқиғалар жиындары үшін олардың ықтималдығы элементтердің PMF-ын қосу арқылы табылады; яғни, жұп санды балалардың ықтималдығы – шексіз қосынды. Мұндай мысалдарда, үлгі кеңістігі көбінесе басылады, себебі оны математикалық тұрғыдан сипаттау қиын, ал кездейсоқ айнымалылардың мүмкін мәндері үлгі кеңістігі ретінде қарастырылады. Бірақ егер екі кездейсоқ айнымалы нәтижелердің бірдей үлгі кеңістігінде өлшенгенде, мысалы, бірдей кездейсоқ адамдарда есептелетін бой мен балалар саны, олардың байланысын қадағалау оңайырақ болады, егер олардың екеуі де бірдей кездейсоқ адамнан алынғаны мойындалса. Бұл жағдайда, мұндай кездейсоқ айнымалылар корреляцияланған ба, жоқ па деген сұрақтар туындайды. Егер нақты сандардың санаулы жиыны болса, онда дискретті үлестіру функциясы болады. Мұнда , мысалы, барлық рационал сандарды санауды алсақ, міндетті түрде сатылы функция (бөлік бойынша тұрақты) емес, дискретті функция алынады.
In examples such as these, the sample space is often suppressed, since it is mathematically hard to describe, and the possible values of the random variables are then treated as a sample space. But when two random variables are measured on the same sample space of outcomes, such as the height and number of children being computed on the same random persons, it is easier to track their relationship if it is acknowledged that both height and number of children come from the same random person, for example so that questions of whether such random variables are correlated or not can be posed. If are countable sets of real numbers, and , then is a discrete distribution function. Here for , for Taking for instance an enumeration of all rational numbers as , one gets a discrete function that is not necessarily a step function (piecewise constant).
Үздіксіз кездейсоқ айнымалы
Формальды түрде, үздіксіз кездейсоқ айнымалы – оның жиынтық үлестіру функциясы барлық жерде үздіксіз болатын кездейсоқ айнымалы. “Жыртылулар” жоқ, олар пайда болу ықтималдығы шекті сандарға сәйкес келеді. Керісінше, үздіксіз кездейсоқ айнымалылар дерлік ешқашан нақты белгіленген *c* мәнін қабылдамайды (формальды түрде, ), бірақ оның мәні белгілі бір аралықтарда болуының оң ықтималдығы бар, бұл аралықтар кез келгендей шағын болуы мүмкін. Үздіксіз кездейсоқ айнымалылар әдетте ықтималдық тығыздық функцияларын (PDF) қабылдайды, олар олардың жиынтық үлестіру функциясын (CDF) және ықтималдық өлшемдерін сипаттайды; мұндай үлестірулер сондай-ақ толық үздіксіз деп аталады; бірақ кейбір үздіксіз үлестірулер жеке немесе толық үздіксіз бөлік пен жеке бөліктің қоспасы болып табылады.
Мысал ретінде, горизонтальды бағытты таңдай алатын айналмалы дискіні қарастырайық. Кездейсоқ айнымалының алған мәндері – бағыттар. Мысалы, Солтүстік, Батыс, Шығыс, Оңтүстік, Оңтүстік-Шығыс және т.б. біз бұл бағыттарды көрсетуіміз мүмкін. Дегенмен, көбінесе үлгі кеңістігін нақты сандар болып табылатын мәндерді қабылдайтын кездейсоқ айнымалыға сәйкестендіру ыңғайлырақ. Бұл, мысалы, бағытты Солтүстікке қарай сағат тілімен градустармен өлшенген бағыттауға сәйкестендіру арқылы жасалуы мүмкін. Кездейсоқ айнымалы [0, 360) аралығындағы нақты сандарды қабылдайды, ал диапазонның барлық бөліктері "бірдей ықтимал". Бұл жағдайда *X* = айналдырылған бұрыш. Кез келген нақты санның таңдалу ықтималдығы нөлге тең, бірақ кез келген мәндер диапазонына оң ықтималдық тағайындалуы мүмкін. Мысалы, [0, 180] диапазонындағы санды таңдау ықтималдығы 1/2-ге тең. Ықтималдық массасы функциясы туралы айтудың орнына, *X* ықтималдығының тығыздығы 1/360-қа тең дейміз. [0, 360) жиынының кез келген ішкі жиынының ықтималдығын жиынның өлшемін 1/360-қа көбейту арқылы есептеуге болады. Жалпы, берілген үздіксіз кездейсоқ айнымалы үшін жиынның ықтималдығын берілген жиын бойынша тығыздықты интегралдау арқылы есептеуге болады. Формальдырақ айтқанда, кез келген аралық үшін кездейсоқ айнымалы "толық біркелкі кездейсоқ айнымалы" (CURV) деп аталады, егер оның ішкі аралықта мән алу ықтималдығы тек ішкі аралықтың ұзындығына байланысты болса. Бұл кез келген ішкі аралықта түсу ықтималдығы ішкі аралықтың ұзындығына пропорционалды екенін білдіреді, яғни егер *a* ≤ *c* ≤ *d* ≤ *b* болса, онда:
such distributions are also called absolutely continuous; but some continuous distributions are singular, or mixes of an absolutely continuous part and a singular part. An example of a continuous random variable would be one based on a spinner that can choose a horizontal direction. Then the values taken by the random variable are directions. We could represent these directions by North, West, East, South, Southeast, etc. However, it is commonly more convenient to map the sample space to a random variable which takes values which are real numbers. This can be done, for example, by mapping a direction to a bearing in degrees clockwise from North. The random variable then takes values which are real numbers from the interval [0, 360), with all parts of the range being "equally likely". In this case, X = the angle spun. Any real number has probability zero of being selected, but a positive probability can be assigned to any range of values. For example, the probability of choosing a number in [0, 180] is 1/2. Instead of speaking of a probability mass function, we say that the probability density of X is 1/360. The probability of a subset of [0, 360) can be calculated by multiplying the measure of the set by 1/360. In general, the probability of a set for a given continuous random variable can be calculated by integrating the density over the given set. More formally, given any interval , a random variable is called a "continuous uniform random variable" (CURV) if the probability that it takes a value in a subinterval depends only on the length of the subinterval. This implies that the probability of falling in any subinterval is proportional to the length of the subinterval, that is, if a ≤ c ≤ d ≤ b, one has
соңғы теңдік ықтималдықтың бірлік аксиомасынан туындайды. CURV ықтималдық тығыздық функциясы оның қолдау аралығының индикаторлық функциясымен беріледі, ол аралықтың ұзындығымен нормаландырылады. Ерекше қызығушылық тудыратын бірлік аралығындағы біркелкі үлестірім. Кез келген ықтималдық үлестірімінің үлгілерін бірлік аралығында біркелкі таралған кездейсоқ құрылған санның квантиль функциясын есептеу арқылы жасауға болады. Бұл барлық кездейсоқ айнымалылар үшін біріктіретін негіз болып табылатын жиынтық үлестіру функцияларының қасиеттерін пайдаланады.
Аралас типті
Аралас кездейсоқ айнымалы – жиынтық үлестіру функциясы дискретті де, барлық жерде үздіксіз де емес кездейсоқ айнымалы. Өлшемдер теориясы бойынша анықтамасы төмендегідей: болсын ықтималдық кеңістік және – өлшенетін кеңістік. Онда -мәнді кездейсоқ айнымалы – өлшенетін функция, яғни кез келген кіші жиын үшін оның кері бейнесі өлшенетін болады; , мұндағы . Бұл анықтама мақсатты кеңістіктегі кез келген кіші жиынты өлшеуге мүмкіндік береді, оның кері бейнесіне қарап, ол өлшенетін болады деп есептелінеді. Интуитивті тұрғыдан алғанда, -нің әрбір мүшесі – мүмкін нәтиже, -нің әрбір мүшесі – мүмкін нәтижелердің өлшенетін кіші жиыны, функция – әрбір осындай өлшенетін кіші жиынның ықтималдығын береді, – кездейсоқ айнымалының ала алатын мәндер жиынтығын (мысалы, нақты сандар жиынтығын) білдіреді, ал -нің әрбір мүшесі – «жақсы қасиеттері бар» (өлшенетін) кіші жиын (оның ықтималдығын анықтауға болатын). Кездейсоқ айнымалы – кез келген нәтижеден шамаға дейінгі функция, сондықтан кездейсоқ айнымалы үшін кез келген пайдалы шамалар жиынына алып келетін нәтижелердің анықталған ықтималдығы болады. Егер – топологиялық кеңістік болса, онда σ-алгебрасы үшін ең көп қолданылатын таңдау – Борел σ-алгебрасы, ол – кеңістіктегі барлық ашық жиындардың жинағынан туындайды. Мұндай жағдайда -мәнді кездейсоқ айнымалы -мәнді кездейсоқ айнымалы деп аталады. Сонымен қатар, егер кеңістік нақты түзу болса, онда мұндай нақты мәнді кездейсоқ айнымалы жай ғана кездейсоқ айнымалы деп аталады.
Шын мәндегі кездейсоқ айнымалылар
Бұл жағдайда бақылау кеңістігі нақты сандар жиыны болып табылады. Есіңізде болсын, – ықтималдық кеңістік. Нақты бақылау кеңістігі үшін функция, егер болса, нақты мәнді кездейсоқ айнымалы болып табылады.
Бұл анықтама жоғарыда айтылғанның ерекше жағдайы, өйткені жиыны нақты сандар жиынтығындағы Борель σ-алгебрасын тудырады, сондықтан кез келген тудырушы жиынтықта өлшенуді тексеру жеткілікті. Осы генераторлық жиынтықта өлшенуді мына фактіні қолдану арқылы дәлелдеуге болады: .
Мүгедектер
Кездейсоқ айнымалының ықтималдық үлестірімі көбінесе аз сандағы параметрлермен сипатталады, олардың да практикалық мағынасы бар. Мысалы, оның "орташа мәнін" білу жеткілікті. Бұл математикалық тұрғыда кездейсоқ айнымалының күтілетін мәні деп аталады, ол арқылы белгіленеді және бірінші сәт деп те аталады. Жалпы алғанда, тең емес. "Орташа мән" белгілі болғаннан кейін, кездейсоқ айнымалының дисперсиясы мен стандартты ауытқуы арқылы оның мәні осы орташа мәннен қаншалықты алшақтықта екеніне жауап беріледі. Математикалық тұрғыдан бұл (жалпыланған) сәттер мәселесі деп аталады: кездейсоқ айнымалылардың берілген класы үшін функциялар жиынтығын табыңыз, сонда күтілетін мәндер кездейсоқ айнымалының үлестірімін толық сипаттайды. Сәттерді тек кездейсоқ айнымалылардың нақты мәнді функциялары үшін ғана анықтауға болады (немесе кешенді мәнді және т.б.). Егер кездейсоқ айнымалының өзі нақты мәнді болса, онда айнымалының сәттерін алуға болады, бұл айнымалының сәйкестік функциясының сәттеріне тең. Алайда, тіпті нақты емес мәнді кездейсоқ айнымалылар үшін де, осы айнымалылардың нақты мәнді функцияларының сәттерін алуға болады. Мысалы, "қызыл", "көк" немесе "жасыл" номиналды мәндерін қабылдай алатын X санатты кездейсоқ айнымалы үшін нақты мәнді функция құрастырылуы мүмкін; бұл Иверсон жақшасын қолданады және егер X "жасыл" мәнін алса, 1 мәнін, әйтпесе 0 мәнін береді. Содан кейін осы функцияның күтілетін мәнін және басқа сәттерін анықтауға болады.
Mathematically, this is known as the (generalised) problem of moments: for a given class of random variables , find a collection of functions such that the expectation values fully characterise the distribution of the random variable
Moments can only be defined for real valued functions of random variables (or complex valued, etc.). If the random variable is itself real valued, then moments of the variable itself can be taken, which are equivalent to moments of the identity function of the random variable. However, even for non real valued random variables, moments can be taken of real valued functions of those variables. For example, for a categorical random variable X that can take on the nominal values "red", "blue" or "green", the real valued function can be constructed; this uses the Iverson bracket, and has the value 1 if has the value "green", 0 otherwise. Then, the expected value and other moments of this function can be determined.
Кейбір қасиеттері
Екі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының ықтималдық үлестірімі, олардың әрқайсысының үлестірімдерінің конволюциясы болып табылады. Ықтималдық үлестірімдері векторлық кеңістік емес – олар сызықтық комбинациялар бойынша жабық емес, себебі олар терiс емес болуын немесе жалпы интегралдың 1-ге тең болуын сақтамайды, бірақ олар дөңес комбинациялар бойынша жабық, осылайша функциялар кеңістігінің (немесе шаралардың) дөңес ішкі жиынын құрайды.
Кездейсоқ айнымалылардың теңдестігі
Кездейсоқ шамалар эквивалентті саналатын бірнеше түрлі жағдай бар. Екі кездейсоқ шама тең болуы мүмкін, дерлік міндетті түрде тең болуы мүмкін немесе таралуы бойынша тең болуы мүмкін. Осы эквиваленттілік түсініктерінің нақты анықтамасы күшінің арту ретімен төменде келтірілген.
Ынтымақтастық
Математикалық статистиканың маңызды тақырыбы – белгілі бір кездейсоқ шамалар тізбегі үшін жуысу нәтижелерін алу болып табылады; мысалы, үлкен сандар заңы және орталық шек теоремасы. Кездейсоқ шамалар тізбегінің кездейсоқ шамаға қалай жуысатынының әр түрлі жағдайлары бар. Бұл жағдайлар кездейсоқ шамалардың жуысуы туралы мақалада сипатталған.