Релятив теориясында 4-векторлар: кеңістік-уақыт, импульс, электромагниттік потенциал сияқты физикалық шамаларды сипаттайды. Лоренц түрленулеріне сәйкес өзгереді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Салыстырмалылық теориясындағы 4 өлшемді вектор
4 dimensional vector in relativity
Арнайы салыстырмалылық теориясында төрт вектор (немесе 4 вектор, кейде Лоренц векторы) — Лоренц түрлендірулері кезінде белгілі бір тәртіппен өзгеретін төрт компоненті бар объект. Нақтырақ айтқанда, төрт вектор — Лоренц тобының стандартты өкілдігінің өкілдік кеңістігі ретінде қарастырылатын төрт өлшемді векторлық кеңістіктің бір елемі, яғни (,) өкілдігі. Ол Евклид векторынан шамасының анықталу жолымен ерекшеленеді. Осы шаманы сақтайтын түрлендірулер — Лоренц түрлендірулері, олар кеңістіктік айналымдар мен жылдамдатуды (басқа инерциялық санақ жүйесіне тұрақты жылдамдықпен өту) қамтиды. Төрт векторлар, мысалы, Минковский кеңістігінде модельделген кеңістіктегі координатаны, бөлшектің төрт импульсын, кеңістіктегі x нүктесіндегі электромагниттік төрт потенциалдың амплитудасын және Дирак алгебрасының ішіндегі гамма матрицаларымен шектелген подкеңістіктің элементтерін сипаттайды. Лоренц тобын 4×4 Λ матрицасымен бейнелеуге болады. Лоренц түрлендіруінің жалпы ковариантты төрт вектор X-ке (жоғарыдағы мысалдар сияқты) әсері, егер ол инерциялық санақ жүйесіндегі декарттық координаттары бар баған вектор ретінде қарастырылса, мына формуламен беріледі:
In special relativity, a four vector (or 4 vector, sometimes Lorentz vector) is an object with four components, which transform in a specific way under Lorentz transformations. Specifically, a four vector is an element of a four dimensional vector space considered as a representation space of the standard representation of the Lorentz group, the (,) representation. It differs from a Euclidean vector in how its magnitude is determined. The transformations that preserve this magnitude are the Lorentz transformations, which include spatial rotations and boosts (a change by a constant velocity to another inertial reference frame). Four vectors describe, for instance, position in spacetime modeled as Minkowski space, a particle's four momentum , the amplitude of the electromagnetic four potential at a point x in spacetime, and the elements of the subspace spanned by the gamma matrices inside the Dirac algebra. The Lorentz group may be represented by 4×4 matrices Λ. The action of a Lorentz transformation on a general contravariant four vector X (like the examples above), regarded as a column vector with Cartesian coordinates with respect to an inertial frame in the entries, is given by
(матрицалық көбейту), мұнда штрихталған объектінің компоненттері жаңа санақ жүйесіне сәйкес келеді. Жоғарыда келтірілген ковариантты векторлар ретінде берілген мысалдарға байланысты, сәйкес ковариантты векторлар xμ, pμ және Aμ(x) де бар. Олар мына ереже бойынша түрленеді:
(matrix multiplication) where the components of the primed object refer to the new frame. Related to the examples above that are given as contravariant vectors, there are also the corresponding covariant vectors xμ, pμ and Aμ(x). These transform according to the rule
мұнда ^(T) матрицаның транспозициясын білдіреді. Бұл ереже жоғарыдағы ереженің өзгеше. Ол стандартты өкілдіктің дуалдық өкілдігіне сәйкес келеді. Алайда Лоренц тобы үшін кез келген өкілдіктің дуалы бастапқы өкілдікке тең. Сондықтан ковариантты индекстері бар объектілер де төрт вектор болып табылады. Арнайы салыстырмалылық теориясында төрт вектор емес, жақсы қасиеттері бар төрт компонентті объектінің мысалы ретінде биспинорды қарастыруға болады. Ол ұқсас түрде анықталады, бірақ Лоренц түрлендірулері бойынша түрлендіру ережесі стандартты өкілдіктен өзгеше өкілдікпен беріледі. Бұл жағдайда ереже мынадай болады: , мұнда Π(Λ) — Λ-дан өзгеше 4×4 матрица. Лоренц түрлендірулеріне қатысты жақсы қасиеттері бар компоненттері аз немесе көп объектілерге де ұқсас ескертулер қолданылады. Оларға скалярлар, спинорлар, тензорлар және спинор тензорлары жатады. Бұл мақалада төрт векторлар арнайы салыстырмалылық теориясы аясында қарастырылады. Төрт векторлардың түсінігі жалпы салыстырмалылыққа да қатысты болғанымен, осы мақалада айтылған кейбір нәтижелер жалпы салыстырмалылық теориясында түзетуді қажет етеді.
where ^(T) denotes the matrix transpose. This rule is different from the above rule. It corresponds to the dual representation of the standard representation. However, for the Lorentz group the dual of any representation is equivalent to the original representation. Thus the objects with covariant indices are four vectors as well. For an example of a well behaved four component object in special relativity that is not a four vector, see bispinor. It is similarly defined, the difference being that the transformation rule under Lorentz transformations is given by a representation other than the standard representation. In this case, the rule reads , where Π(Λ) is a 4×4 matrix other than Λ. Similar remarks apply to objects with fewer or more components that are well behaved under Lorentz transformations. These include scalars, spinors, tensors and spinor tensors. The article considers four vectors in the context of special relativity. Although the concept of four vectors also extends to general relativity, some of the results stated in this article require modification in general relativity.
Нөмірлік
Бұл мақаладағы белгілер: үш өлшемді векторлар үшін кішкентай қалың әріптер, үш өлшемді бірлік векторлар үшін сызықшалар, төрт өлшемді векторлар үшін үлкен қалың әріптер (төрт градиенттен басқа) және тензорлық индекс жазу тәсілі қолданылады.
The notations in this article are: lowercase bold for three dimensional vectors, hats for three dimensional unit vectors, capital bold for four dimensional vectors (except for the four gradient), and tensor index notation.
Электромагнетизм
Электромагнетизмдегі төрт вектордың мысалдары төменде келтірілген.
Examples of four vectors in electromagnetism include the following.