Введение
Четыремерный вектор в теории относительности
In special relativity, a four vector (or 4 vector, sometimes Lorentz vector) is an object with four components, which transform in a specific way under Lorentz transformations. Specifically, a four vector is an element of a four dimensional vector space considered as a representation space of the standard representation of the Lorentz group, the (,) representation. It differs from a Euclidean vector in how its magnitude is determined. The transformations that preserve this magnitude are the Lorentz transformations, which include spatial rotations and boosts (a change by a constant velocity to another inertial reference frame). Four vectors describe, for instance, position in spacetime modeled as Minkowski space, a particle's four momentum , the amplitude of the electromagnetic four potential at a point x in spacetime, and the elements of the subspace spanned by the gamma matrices inside the Dirac algebra. The Lorentz group may be represented by 4×4 matrices Λ. The action of a Lorentz transformation on a general contravariant four vector X (like the examples above), regarded as a column vector with Cartesian coordinates with respect to an inertial frame in the entries, is given by
(matrix multiplication) where the components of the primed object refer to the new frame. Related to the examples above that are given as contravariant vectors, there are also the corresponding covariant vectors xμ, pμ and Aμ(x). These transform according to the rule
where ^(T) denotes the matrix transpose. This rule is different from the above rule. It corresponds to the dual representation of the standard representation. However, for the Lorentz group the dual of any representation is equivalent to the original representation. Thus the objects with covariant indices are four vectors as well. For an example of a well behaved four component object in special relativity that is not a four vector, see bispinor. It is similarly defined, the difference being that the transformation rule under Lorentz transformations is given by a representation other than the standard representation. In this case, the rule reads , where Π(Λ) is a 4×4 matrix other than Λ. Similar remarks apply to objects with fewer or more components that are well behaved under Lorentz transformations. These include scalars, spinors, tensors and spinor tensors. The article considers four vectors in the context of special relativity. Although the concept of four vectors also extends to general relativity, some of the results stated in this article require modification in general relativity.
В специальной теории относительности четырехмерный вектор (или 4-вектор, иногда вектор Лоренца) — это объект с четырьмя компонентами, которые преобразуются определенным образом при преобразованиях Лоренца. В частности, четырехвектор — это элемент четырехмерного векторного пространства, рассматриваемый как пространство представлений стандартного представления группы Лоренца, представления (,). Он отличается от евклидова вектора способом определения его модуля. Преобразования, сохраняющие этот модуль, являются преобразованиями Лоренца, которые включают в себя пространственные вращения и бусты (переход с постоянной скоростью в другую инерциальную систему отсчета). Четырехвекторы описывают, например, положение в пространстве-времени, моделируемом как пространство Минковского, четырехмерный импульс частицы, амплитуду электромагнитного четырехпотенциала в точке x в пространстве-времени и элементы подпространства, порожденного гамма-матрицами в алгебре Дирака. Группа Лоренца может быть представлена матрицами 4×4 Λ. Действие преобразования Лоренца на общем контравариантном четырехвекторе X (как в примерах выше), рассматриваемом как столбец с декартовыми координатами относительно инерциальной системы отсчета, задается выражением (умножение матриц), где компоненты штрихованного объекта относятся к новой системе отсчета. В связи с приведенными выше примерами, представленными в виде контравариантных векторов, существуют также соответствующие ковариантные векторы xμ, pμ и Aμ(x). Они преобразуются по правилу, где ^(T) обозначает транспонирование матрицы. Это правило отличается от предыдущего. Оно соответствует двойственному представлению стандартного представления. Однако для группы Лоренца двойственное к любому представлению представление эквивалентно исходному представлению. Таким образом, объекты с ковариантными индексами также являются четырехвекторами. В качестве примера хорошо определенного четырехкомпонентного объекта в специальной теории относительности, который не является четырехвектором, можно привести биспинор. Он определяется аналогично, но правило преобразования при преобразованиях Лоренца задается представлением, отличным от стандартного. В этом случае правило имеет вид , где Π(Λ) — матрица 4×4, отличная от Λ. Подобные замечания применимы к объектам с меньшим или большим количеством компонентов, которые хорошо ведут себя при преобразованиях Лоренца. К ним относятся скаляры, спиноры, тензоры и спинорные тензоры. В данной статье рассматриваются четырехвекторы в контексте специальной теории относительности. Хотя понятие четырехвекторов также распространяется на общую теорию относительности, некоторые из результатов, представленных в этой статье, требуют модификации в общей теории относительности.
In special relativity, a four vector (or 4 vector, sometimes Lorentz vector) is an object with four components, which transform in a specific way under Lorentz transformations. Specifically, a four vector is an element of a four dimensional vector space considered as a representation space of the standard representation of the Lorentz group, the (,) representation. It differs from a Euclidean vector in how its magnitude is determined. The transformations that preserve this magnitude are the Lorentz transformations, which include spatial rotations and boosts (a change by a constant velocity to another inertial reference frame). Four vectors describe, for instance, position in spacetime modeled as Minkowski space, a particle's four momentum , the amplitude of the electromagnetic four potential at a point x in spacetime, and the elements of the subspace spanned by the gamma matrices inside the Dirac algebra. The Lorentz group may be represented by 4×4 matrices Λ. The action of a Lorentz transformation on a general contravariant four vector X (like the examples above), regarded as a column vector with Cartesian coordinates with respect to an inertial frame in the entries, is given by
(matrix multiplication) where the components of the primed object refer to the new frame. Related to the examples above that are given as contravariant vectors, there are also the corresponding covariant vectors xμ, pμ and Aμ(x). These transform according to the rule
where ^(T) denotes the matrix transpose. This rule is different from the above rule. It corresponds to the dual representation of the standard representation. However, for the Lorentz group the dual of any representation is equivalent to the original representation. Thus the objects with covariant indices are four vectors as well. For an example of a well behaved four component object in special relativity that is not a four vector, see bispinor. It is similarly defined, the difference being that the transformation rule under Lorentz transformations is given by a representation other than the standard representation. In this case, the rule reads , where Π(Λ) is a 4×4 matrix other than Λ. Similar remarks apply to objects with fewer or more components that are well behaved under Lorentz transformations. These include scalars, spinors, tensors and spinor tensors. The article considers four vectors in the context of special relativity. Although the concept of four vectors also extends to general relativity, some of the results stated in this article require modification in general relativity.
Обозначение
В этой статье приняты следующие обозначения: строчные жирные буквы для трехмерных векторов, символы «крышка» для трехмерных единичных векторов, заглавные жирные буквы для четырехмерных векторов (за исключением градиента), а также тензорная индексная запись.
Электромагнетизм
Примеры четырех векторов в электромагнетизме включают следующее.