Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Стохастикалық процестер бойынша есептеу
Calculus on stochastic processes
Стохастикалық есептеу – стохастикалық процестермен жұмыс істейтін математика саласы. Ол стохастикалық процестерге қатысты стохастикалық процестердің интегралдары үшін интеграцияның тұрақты теориясын анықтауға мүмкіндік береді. Бұл саланы жапон математигі Киоси Ито Екінші дүниежүзілік соғыс кезінде құрып, дамытты. Стохастикалық есептеу қолданылатын ең белгілі стохастикалық процесс – Вьенер процесі (Норберт Вьенердің құрметіне аталған), ол Луи Башельердің 1900 жылы және Альберт Эйнштейннің 1905 жылы сипаттаған Браун қозғалысын модельдеу үшін, сондай-ақ бөлшектерге кездейсоқ күштер әсер ететін кеңістіктегі басқа да физикалық диффузия процестерін модельдеу үшін қолданылады. 1970 жылдан бері Вьенер процесі қаржы математикасы және экономикада акция бағаларының және облигациялардың пайыздық ставкаларының уақыт бойынша өзгеруін модельдеу үшін кеңінен қолданылып келеді. Стохастикалық есептеудің негізгі түрлері – Ито есептеуі және оның вариациялық туысы – Мальявин есептеуі. Техникалық себептерге байланысты Ито интегралы процестердің жалпы кластары үшін тиімдірек, бірақ Стратонович интегралы мәселелерді формулирлеуде (әсіресе инженерлік салаларда) жиі қолданылады. Стратонович интегралын Ито интегралы арқылы және керісінше өрнектеуге болады. Стратонович интегралының басты артықшылығы – ол әдеттегі тізбектік ережеге бағынады, сондықтан Ито леммасын қажет етпейді. Бұл мәселелерді координаттық жүйеге тәуелді емес түрде қоюға мүмкіндік береді, бұл Rn-нен басқа көпқырлы беттерде стохастикалық есептеуді дамыту кезінде өте құнды. Үстемдік жинақталу теоремасы Стратонович интегралы үшін жарамсыз; сондықтан интегралдарды Ито түріне қайта өрнектемей нәтижелерді дәлелдеу өте қиын.
Stochastic calculus is a branch of mathematics that operates on stochastic processes. It allows a consistent theory of integration to be defined for integrals of stochastic processes with respect to stochastic processes. This field was created and started by the Japanese mathematician Kiyosi Itô during World War II. The best known stochastic process to which stochastic calculus is applied is the Wiener process (named in honor of Norbert Wiener), which is used for modeling Brownian motion as described by Louis Bachelier in 1900 and by Albert Einstein in 1905 and other physical diffusion processes in space of particles subject to random forces. Since the 1970s, the Wiener process has been widely applied in financial mathematics and economics to model the evolution in time of stock prices and bond interest rates. The main flavours of stochastic calculus are the Itô calculus and its variational relative the Malliavin calculus. For technical reasons the Itô integral is the most useful for general classes of processes, but the related Stratonovich integral is frequently useful in problem formulation (particularly in engineering disciplines). The Stratonovich integral can readily be expressed in terms of the Itô integral, and vice versa. The main benefit of the Stratonovich integral is that it obeys the usual chain rule and therefore does not require Itô's lemma. This enables problems to be expressed in a coordinate system invariant form, which is invaluable when developing stochastic calculus on manifolds other than Rn. The dominated convergence theorem does not hold for the Stratonovich integral; consequently it is very difficult to prove results without re expressing the integrals in Itô form.
Толық емес
Ито интегралы стохастикалық есептеуді зерттеуде орталық роль атқарады. Бұл интеграл жартылай мартингал X және жергілікті шектелген болжамды процесс H үшін анықталады.
The Itô integral is central to the study of stochastic calculus. The integral is defined for a semimartingale X and locally bounded predictable process H.
Қолданбалар
Стохастикалық есептеудің маңызды қолданылысы математикалық қаржы саласында, онда активтер бағалары жиі стохастикалық дифференциалдық теңдеулерге бағынады деп есептеледі. Мысалы, Блэк-Шоулз моделі опцияларды геометриялық Браун қозғалысын ұстанатын болса бағалайды, бұл стохастикалық есептеуді қолданудың мүмкіндіктерін және тәуекелдерін көрсетеді.
An important application of stochastic calculus is in mathematical finance, in which asset prices are often assumed to follow stochastic differential equations. For example, the Black–Scholes model prices options as if they follow a geometric Brownian motion, illustrating the opportunities and risks from applying stochastic calculus.
Стохастикалық интегралдар
Классикалық Ито және Фиск-Стратонович интегралдарынан өзге, Хицуда-Скороход интегралы, Маркус интегралы, Огава интегралы сияқты көптеген стохастикалық интегралдардың әртүрлі анықтамалары бар.
Besides the classical Itô and Fisk–Stratonovich integrals, many different notion of stochastic integrals exist such as the Hitsuda–Skorokhod integral, the Marcus integral, the Ogawa integral and more.