Введение

Стохастический анализ на стохастических процессах

Стохастический анализ — это раздел математики, оперирующий стохастическими процессами. Он позволяет определить непротиворечивую теорию интегрирования для интегралов стохастических процессов по отношению к другим стохастическим процессам. Эта область была создана и развита японским математиком Киёси Ито во время Второй мировой войны. Наиболее известным стохастическим процессом, к которому применяется стохастический анализ, является процесс Винера (названный в честь Норберта Винера), который используется для моделирования броуновского движения, как это было описано Луи Башелье в 1900 году и Альбертом Эйнштейном в 1905 году, а также других физических процессов диффузии частиц в пространстве под воздействием случайных сил. С 1970-х годов процесс Винера широко применяется в финансовой математике и экономике для моделирования изменения во времени цен на акции и процентных ставок по облигациям. Основными направлениями стохастического анализа являются исчисление Ито и его вариационное обобщение — исчисление Мальявина. По техническим причинам интеграл Ито наиболее полезен для общих классов процессов, но связанный с ним интеграл Стратоновича часто оказывается полезным при формулировке задач (особенно в инженерных дисциплинах). Интеграл Стратоновича можно легко выразить через интеграл Ито и наоборот. Главное преимущество интеграла Стратоновича заключается в том, что он подчиняется обычному правилу дифференцирования (правилу цепи) и, следовательно, не требует использования леммы Ито. Это позволяет формулировать задачи в инвариантной относительно системы координат форме, что особенно ценно при разработке стохастического анализа на многообразиях, отличных от Rn. Теорема о мажорированной сходимости не применима к интегралу Стратоновича, поэтому доказать результаты без перевода интегралов в форму Ито очень сложно.

Интеграл Ито

Интеграл Ито играет центральную роль в изучении стохастического исчисления. Он определяется для полумартингала X и локально ограниченного предсказуемого процесса H.

Приложения

Важным применением стохастического исчисления является математические финансы, где цены активов часто моделируются с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Например, модель Блэка — Шоулза определяет цены опционов, исходя из предположения, что они подчиняются геометрическому броуновскому движению, демонстрируя возможности и риски, связанные с применением стохастического исчисления.

Стохастические интегралы

Помимо классических интегралов Ито и Фиска-Стратоновича, существует множество различных определений стохастических интегралов, таких как интеграл Хицуда-Скорохода, интеграл Маркуса, интеграл Огавы и другие.