Кіріспе
Сызықтық оператордың математикалық функциясы. Математикада, белгілі бір функция кеңістігінде анықталған D сызықтық операторының өзіндік функциясы – сол кеңістіктегі нөлдік емес функция, ол D операторының әсерінен тек өзіндік мән деп аталатын масштабтау коэффициентіне көбейтіледі. Бұл шартты теңдеу түрінде былай жазуға болады:
,
мұндағы – скалярлық өзіндік мән. Бұл теңдеудің шешімдері рұқсат етілген өзіндік мәндер мен өзіндік функцияларды шектейтін шекаралық шарттарға да бағынады. Өзіндік функция – эгенвектордың бір түрі.
Өз функциялары
Жалпы, D векторлық кеңістігінде анықталған D сызықтық оператордың өзіндік векторы – D доменіндегі нөлдік емес вектор болып табылады, ол D оған әсер еткенде, өзіндік мән деп аталатын скалярлық шамамен ғана масштабталады. Егер D функциялық кеңістікте анықталған болса, онда өзіндік векторлар өзіндік функциялар деп аталады. Яғни, егер f функциясы λ скалярлық теңдеуді қанағаттандырса, ол D-нің өзіндік функциясы болып табылады. Теңдеудің шешімдері шекаралық шарттарға да бағынуы мүмкін. Шекаралық шарттардың салдарынан λ-ның мүмкін мәндері көбінесе шектеулі болады, мысалы, дискретті λ1, λ2 жиынтығына немесе белгілі бір аралықтағы үздіксіз жиынтыққа. D-нің барлық мүмкін өзіндік мәндерінің жиынтығы кейде оның спектрі деп аталады, ол дискретті, үздіксіз немесе олардың комбинациясы болуы мүмкін. λ-ның әрбір мәніне бір немесе бірнеше өзіндік функциялар сәйкес келеді. Егер бірнеше сызықтық тәуелсіз өзіндік функциялардың өзіндік мәні бірдей болса, онда бұл өзіндік мән дегенгеретті деп айтылады, ал бірдей өзіндік мәнмен байланысты сызықтық тәуелсіз өзіндік функциялардың максималды саны – өзіндік мәннің дегенгереттілік дәрежесі немесе геометриялық көптігі болып табылады.
where λ is a scalar. The solutions to Equation may also be subject to boundary conditions. Because of the boundary conditions, the possible values of λ are generally limited, for example to a discrete set λ1, λ2, or to a continuous set over some range. The set of all possible eigenvalues of D is sometimes called its spectrum, which may be discrete, continuous, or a combination of both. Each value of λ corresponds to one or more eigenfunctions. If multiple linearly independent eigenfunctions have the same eigenvalue, the eigenvalue is said to be degenerate and the maximum number of linearly independent eigenfunctions associated with the same eigenvalue is the eigenvalue's degree of degeneracy or geometric multiplicity.
Туынды үлгісі
Шексіз өлшемді кеңістіктерде әрекет ететін сызықтық операторлардың кеңінен қолданылатын класы – нақты немесе күрделі аргументі t болатын, шексіз дифференциалданатын нақты немесе күрделі функциялардың C∞ кеңістігіндегі дифференциалдық операторлар. Мысалы, өзіндік мән теңдеуі бар туынды операторды қарастырайық. Бұл дифференциалдық теңдеу екі жағын да көбейту және интегралдау арқылы шешіледі. Оның шешімі, экспоненциалдық функция – туынды оператордың өзіндік функциясы, мұнда f0 – шекаралық шарттарға байланысты параметр. Бұл жағдайда өзіндік функция өзімен байланысты λ өзіндік мәнінің функциясы екенін ескеріңіз, ол кез келген нақты немесе күрделі мәнді қабылдай алады. Атап айтқанда, λ = 0 болғанда f(t) өзіндік функциясы тұрақты шама болады. Егер мысалда f(t) функциясы f(0) = 1 және басқа шекаралық шарттарға бағынышты болса, онда λ = 2 дифференциалдық теңдеудің жалғыз өзіндік мәні екенін және ол шекаралық шартты да қанағаттандыратынын анықтаймыз.
This differential equation can be solved by multiplying both sides by and integrating. Its solution, the exponential function
is the eigenfunction of the derivative operator, where f0 is a parameter that depends on the boundary conditions. Note that in this case the eigenfunction is itself a function of its associated eigenvalue λ, which can take any real or complex value. In particular, note that for λ = 0 the eigenfunction f(t) is a constant. Suppose in the example that f(t) is subject to the boundary conditions f(0) = 1 and We then find that
where λ = 2 is the only eigenvalue of the differential equation that also satisfies the boundary condition.
Дилді зымырандар
h(x, t) - бұл кернеулі серпінелі хордтың көлденең ығысуын, мысалы, саптық аспаптың дірілдейтін сымдарын, x-тің сап бойымен орналасуының және t-нің уақытының функциясы ретінде белгілейік. Механика заңдарын саптың шексіз кішкентай бөліктеріне қолдану арқылы h функциясы (бір өлшемді) толқын теңдеуі деп аталатын дербес дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады. Мұнда c - бұл константа жылдамдық, ол жіптің кернеуі мен массасына байланысты. Бұл мәселе айнымалыларды бөлу әдісіне ыңғайлы. Егер h(x, t) -ді X(x)T(t) түріндегі көбейтінді ретінде жазуға болады деп есептесек, онда біз екі қарапайым дифференциалдық теңдеу құрай аламыз: олардың әрқайсысы өзіндік мәндер теңдеуі болып табылады, сәйкесінше λ және -ω^(2) өзіндік мәндерімен. Кез келген ω және c мәндері үшін теңдеулерді φ және ψ фазалық бұрыштары кездейсоқ нақты тұрақтылар болып табылатын функциялар қанағаттандырады. Егер біз шекаралық шарттарды қойсақ, мысалы, жіптің ұштары x = 0 және x = L нүктелерінде бекітілген, яғни X(0) = X(L) = 0, және T(0) = 0, онда біз өзіндік мәндерді шектейміз. Бұл шекаралық шарттар үшін sin(φ) = 0 және sin(ψ) = 0, сондықтан фазалық бұрыштар φ = ψ = 0, және бұл соңғы шекаралық шарт ω-ны n кез келген бүтін сан болғандағы мәнді қабылдауға мәжбүрлейді. Осылайша, бекітілген жіп тұрақ толқындар отбасын қолдайды. Саптық аспап мысалында ωn жиілігі n-ші гармонияның жиілігі болып табылады, ол (n - 1)-ші өлең деп аталады.
which is called the (one dimensional) wave equation. Here c is a constant speed that depends on the tension and mass of the string. This problem is amenable to the method of separation of variables. If we assume that h(x, t) can be written as the product of the form X(x)T(t), we can form a pair of ordinary differential equations:
Each of these is an eigenvalue equation with eigenvalues and −ω^(2), respectively. For any values of ω and c, the equations are satisfied by the functions
where the phase angles φ and ψ are arbitrary real constants. If we impose boundary conditions, for example that the ends of the string are fixed at 1=x = 0 and 1=x = L, namely 1=X(0) = X(L) = 0, and that 1=T(0) = 0, we constrain the eigenvalues. For these boundary conditions, 1=sin(φ) = 0 and 1=sin(ψ) = 0, so the phase angles 1=φ = ψ = 0, and
This last boundary condition constrains ω to take a value , where n is any integer. Thus, the clamped string supports a family of standing waves of the form
In the example of a string instrument, the frequency ωn is the frequency of the n th harmonic, which is called the (n − 1) th overtone.
Сигналдар мен жүйелер
Сигналдар мен жүйелерді зерттеуде жүйенің өзіндік функциясы – жүйеге берілгенде y(t) = λf(t) жауабын тудыратын f(t) сигналы, мұнда λ – кешенді скалярлық өзіндік мән.