Введение
Математическая функция линейного оператора
В математике, собственная функция линейного оператора D, определенного на некотором функциональном пространстве, — это любая ненулевая функция в этом пространстве, которая при применении к ней оператора D умножается только на некоторый масштабный коэффициент, называемый собственным значением. Это условие можно записать в виде уравнения:
для некоторого скалярного собственного значения. Решения этого уравнения также могут подчиняться граничным условиям, которые ограничивают допустимые собственные значения и собственные функции. Собственная функция является разновидностью собственного вектора.
Функции собственные
В общем, собственный вектор линейного оператора D, определенного на некотором векторном пространстве, — это ненулевой вектор из области определения D, который при действии на него оператора D масштабируется на некоторое скалярное значение, называемое собственным значением. В частном случае, когда D определен на функциональном пространстве, собственные векторы называют собственными функциями. То есть, функция f является собственной функцией D, если она удовлетворяет уравнению
где λ — скаляр. Решения этого уравнения могут также подчиняться граничным условиям. Из-за этих граничных условий возможные значения λ обычно ограничены, например, дискретным множеством λ1, λ2, … или непрерывным множеством на некотором интервале. Множество всех возможных собственных значений D иногда называют его спектром, который может быть дискретным, непрерывным или представлять собой комбинацию обоих. Каждому значению λ соответствует одна или несколько собственных функций. Если несколько линейно независимых собственных функций соответствуют одному и тому же собственному значению, то собственное значение называется вырожденным, а максимальное число линейно независимых собственных функций, соответствующих одному и тому же собственному значению, является степенью вырождения этого собственного значения или его геометрической кратностью.
Пример производных
Широко используемый класс линейных операторов, действующих на бесконечномерных пространствах, – это дифференциальные операторы на пространстве C∞ бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций вещественной или комплексной переменной t. Например, рассмотрим оператор производной с уравнением на собственные значения:
Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе стороны на dt и проинтегрировав. Его решение, экспоненциальная функция
является собственной функцией оператора производной, где f₀ – параметр, зависящий от граничных условий. Обратите внимание, что в этом случае собственная функция сама является функцией, связанной с собственным значением λ, которое может принимать любое вещественное или комплексное значение. В частности, отметим, что при λ = 0 собственная функция f(t) является константой. Предположим, что в примере функция f(t) подчиняется граничным условиям f(0) = 1 и. Тогда мы находим, что
где λ = 2 является единственным собственным значением дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничному условию.
Вибрирующие струны
Пусть h(x, t) обозначает поперечное смещение напряженной эластичной струны, например, вибрирующих струн струнного инструмента, как функцию положения x вдоль струны и времени t. Применяя законы механики к бесконечно малым участкам струны, функция h удовлетворяет частному дифференциальному уравнению, которое называется (одномерным) волновым уравнением. Здесь c – постоянная скорость, зависящая от натяжения и массы струны. Эта задача поддается методу разделения переменных. Если предположить, что h(x, t) можно представить в виде произведения X(x)T(t), то можно получить пару обыкновенных дифференциальных уравнений:
which is called the (one dimensional) wave equation. Here c is a constant speed that depends on the tension and mass of the string. This problem is amenable to the method of separation of variables. If we assume that h(x, t) can be written as the product of the form X(x)T(t), we can form a pair of ordinary differential equations:
Each of these is an eigenvalue equation with eigenvalues and −ω^(2), respectively. For any values of ω and c, the equations are satisfied by the functions
where the phase angles φ and ψ are arbitrary real constants. If we impose boundary conditions, for example that the ends of the string are fixed at 1=x = 0 and 1=x = L, namely 1=X(0) = X(L) = 0, and that 1=T(0) = 0, we constrain the eigenvalues. For these boundary conditions, 1=sin(φ) = 0 and 1=sin(ψ) = 0, so the phase angles 1=φ = ψ = 0, and
This last boundary condition constrains ω to take a value , where n is any integer. Thus, the clamped string supports a family of standing waves of the form
In the example of a string instrument, the frequency ωn is the frequency of the n th harmonic, which is called the (n − 1) th overtone.
Каждое из них является уравнением на собственные значения с собственными значениями λ и −ω^(2) соответственно. При любых значениях ω и c уравнения удовлетворяются функциями
which is called the (one dimensional) wave equation. Here c is a constant speed that depends on the tension and mass of the string. This problem is amenable to the method of separation of variables. If we assume that h(x, t) can be written as the product of the form X(x)T(t), we can form a pair of ordinary differential equations:
Each of these is an eigenvalue equation with eigenvalues and −ω^(2), respectively. For any values of ω and c, the equations are satisfied by the functions
where the phase angles φ and ψ are arbitrary real constants. If we impose boundary conditions, for example that the ends of the string are fixed at 1=x = 0 and 1=x = L, namely 1=X(0) = X(L) = 0, and that 1=T(0) = 0, we constrain the eigenvalues. For these boundary conditions, 1=sin(φ) = 0 and 1=sin(ψ) = 0, so the phase angles 1=φ = ψ = 0, and
This last boundary condition constrains ω to take a value , where n is any integer. Thus, the clamped string supports a family of standing waves of the form
In the example of a string instrument, the frequency ωn is the frequency of the n th harmonic, which is called the (n − 1) th overtone.
где фазовые углы φ и ψ – произвольные действительные константы. Если наложить граничные условия, например, что концы струны закреплены при x = 0 и x = L, то есть X(0) = X(L) = 0, и что T(0) = 0, мы ограничим собственные значения. Для этих граничных условий sin(φ) = 0 и sin(ψ) = 0, следовательно, фазовые углы φ = ψ = 0, и
which is called the (one dimensional) wave equation. Here c is a constant speed that depends on the tension and mass of the string. This problem is amenable to the method of separation of variables. If we assume that h(x, t) can be written as the product of the form X(x)T(t), we can form a pair of ordinary differential equations:
Each of these is an eigenvalue equation with eigenvalues and −ω^(2), respectively. For any values of ω and c, the equations are satisfied by the functions
where the phase angles φ and ψ are arbitrary real constants. If we impose boundary conditions, for example that the ends of the string are fixed at 1=x = 0 and 1=x = L, namely 1=X(0) = X(L) = 0, and that 1=T(0) = 0, we constrain the eigenvalues. For these boundary conditions, 1=sin(φ) = 0 and 1=sin(ψ) = 0, so the phase angles 1=φ = ψ = 0, and
This last boundary condition constrains ω to take a value , where n is any integer. Thus, the clamped string supports a family of standing waves of the form
In the example of a string instrument, the frequency ωn is the frequency of the n th harmonic, which is called the (n − 1) th overtone.
Это последнее граничное условие ограничивает ω, заставляя его принимать значение , где n – любое целое число. Таким образом, закрепленная струна поддерживает семейство стоячих волн вида
which is called the (one dimensional) wave equation. Here c is a constant speed that depends on the tension and mass of the string. This problem is amenable to the method of separation of variables. If we assume that h(x, t) can be written as the product of the form X(x)T(t), we can form a pair of ordinary differential equations:
Each of these is an eigenvalue equation with eigenvalues and −ω^(2), respectively. For any values of ω and c, the equations are satisfied by the functions
where the phase angles φ and ψ are arbitrary real constants. If we impose boundary conditions, for example that the ends of the string are fixed at 1=x = 0 and 1=x = L, namely 1=X(0) = X(L) = 0, and that 1=T(0) = 0, we constrain the eigenvalues. For these boundary conditions, 1=sin(φ) = 0 and 1=sin(ψ) = 0, so the phase angles 1=φ = ψ = 0, and
This last boundary condition constrains ω to take a value , where n is any integer. Thus, the clamped string supports a family of standing waves of the form
In the example of a string instrument, the frequency ωn is the frequency of the n th harmonic, which is called the (n − 1) th overtone.
В примере струнного инструмента частота ωn является частотой n-й гармоники, которая называется (n − 1)-й обертоном.
which is called the (one dimensional) wave equation. Here c is a constant speed that depends on the tension and mass of the string. This problem is amenable to the method of separation of variables. If we assume that h(x, t) can be written as the product of the form X(x)T(t), we can form a pair of ordinary differential equations:
Each of these is an eigenvalue equation with eigenvalues and −ω^(2), respectively. For any values of ω and c, the equations are satisfied by the functions
where the phase angles φ and ψ are arbitrary real constants. If we impose boundary conditions, for example that the ends of the string are fixed at 1=x = 0 and 1=x = L, namely 1=X(0) = X(L) = 0, and that 1=T(0) = 0, we constrain the eigenvalues. For these boundary conditions, 1=sin(φ) = 0 and 1=sin(ψ) = 0, so the phase angles 1=φ = ψ = 0, and
This last boundary condition constrains ω to take a value , where n is any integer. Thus, the clamped string supports a family of standing waves of the form
In the example of a string instrument, the frequency ωn is the frequency of the n th harmonic, which is called the (n − 1) th overtone.
Сигналы и системы
В изучении сигналов и систем, собственная функция системы — это сигнал f(t), который при подаче на вход системы вызывает отклик y(t) = λf(t), где λ — комплексное скалярное собственное значение.