Кіріспе
Математика тобы теориясының тұжырымдамасы
Математикада, әсіресе топ теориясында, G тобындағы H кіші тобының индексі – G тобындағы H-ның сол жақ косеттерінің саны, немесе эквивалентті түрде, G тобындағы H-ның оң жақ косеттерінің саны. Индекс [G:H] немесе (G:H) немесе |G:H| деп белгіленеді. G сол жақ косеттердің ажыратылған одағы болғандықтан және әрбір сол жақ косеттің мөлшері H-мен бірдей болғандықтан, индекс екі топтың ретімен мына формула арқылы байланысты:
In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula
(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite). Thus the index measures the "relative sizes" of G and H.
For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.
When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange's theorem that divides
When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite. For example, , but is infinite. If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.
[G:H] = |G| / |H|
In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula
(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite). Thus the index measures the "relative sizes" of G and H.
For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.
When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange's theorem that divides
When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite. For example, , but is infinite. If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.
(егер олардың кейбіреулері шексіз болса, шамаларды кардиналдық сандар ретінде қарастырыңыз). Осылайша индекс [G:H] G және H топтарының "салыстырмалы өлшемдерін" көрсетеді.
In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula
(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite). Thus the index measures the "relative sizes" of G and H.
For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.
When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange's theorem that divides
When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite. For example, , but is infinite. If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.
Мысалы, қосылу бойынша бүтін сандар тобы Z болсын, ал 2e бүтін сандардан тұратын H кіші тобы болсын. Онда H-ның Z-де екі косеті бар, атап айтқанда жұп сандар жиыны және тақ сандар жиыны, сондықтан индекс [Z:2Z] = 2. Жалпы алғанда, кез келген оң бүтін сан n үшін [Z:nZ] = n.
In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula
(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite). Thus the index measures the "relative sizes" of G and H.
For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.
When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange's theorem that divides
When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite. For example, , but is infinite. If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.
G шекті болғанда, формула |G| = |H| * [G:H] түрінде жазылуы мүмкін, және ол Лагранж теоремасын білдіреді, яғни |H| саны |G| санын бөледі. G шексіз болғанда, [G:H] нөлдік емес кардиналдық сан болып табылады, ол шекті немесе шексіз болуы мүмкін. Мысалы, [Z:2Z] = 2, бірақ [R:Q] шексіз. Егер N тобы G тобының қалыпты кіші тобы болса, онда [G:N] саны G/N үлестік тобының ретіне тең, өйткені G/N тобының негізгі жиыны G тобындағы N косеттерінің жиыны болып табылады.
In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula
(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite). Thus the index measures the "relative sizes" of G and H.
For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.
When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange's theorem that divides
When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite. For example, , but is infinite. If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.
шексіз индексі
Егер H-ның G-де шексіз көп косеттері болса, онда G-дегі H-ның индексі шексіз деп айтылады. Бұл жағдайда индекс, іс жүзінде, кардинал сан болып табылады. Мысалы, G-де H-ның косеттері саналатын болса, H-ның G-дегі индексі саналатын, ал саналмайтын болса, саналмайтын болады. H-ның индексі G-нің ретінен жоғары болмайды, бұл тривиальды кіші топ үшін немесе G-ден кіші кардиналдығы бар кез келген H кіші тобы үшін орындалады.
Мысалдар
Хиральдық октаэдрлік симметрияның O тобы 24 элементтен тұрады. Онда 8-ретті диэдрлік D4 кіші тобы бар (іс жүзінде оның үш түрі бар), ол O-да 3-індекске ие, оны H деп атаймыз. Бұл диэдрлік топта 4 мүшелі D2 кіші тобы бар, оны A деп атай аламыз. H-ның оң жақтан алынған кез келген коссетінің элементін A-ның элементімен оңнан көбейту H (Hca = Hc) сол коссетінің мүшесін береді. A тобы O-да нормальды. A-ның алты коссеті бар, олар S3 симметриялық тобының алты элементіне сәйкес келеді. A-ның кез келген коссетінің барлық элементтері H коссеттерінің бірдей орналасуын жасайды. Екінші жағынан, пиритоэдрлік симметрияның Th тобы да 24 мүшеден тұрады және 3-індекске ие кіші топ (бұл жолы ол D2h призмалық симметрия тобы, үш өлшемдегі нүктелік топтарға қараңыз), бірақ бұл жағдайда кіші топтың өзі нормальды кіші топ болып табылады. Белгілі бір коссеттің барлық мүшелері осы коссеттердің бірдей орналасуын жүзеге асырады, бірақ бұл жағдайда олар 6 мүшелі S3 симметриялық тобындағы 3 элементті алмастыратын топты ғана көрсетеді.
On the other hand, the group Th of pyritohedral symmetry also has 24 members and a subgroup of index 3 (this time it is a D2h prismatic symmetry group, see point groups in three dimensions), but in this case the whole subgroup is a normal subgroup. All members of a particular coset carry out the same permutation of these cosets, but in this case they represent only the 3 element alternating group in the 6 member S3 symmetric group.