Введение
В математике, в частности в теории групп, индекс подгруппы H в группе G — это число левых классов смежности H в G, или, что эквивалентно, число правых классов смежности H в G. Индекс обозначается [G : H] или |G : H| или index(G, H). Поскольку G является непересекающимся объединением левых классов смежности и поскольку каждый левый класс смежности имеет тот же порядок, что и H, индекс связан с порядками двух групп формулой:
In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula
(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite). Thus the index measures the "relative sizes" of G and H.
For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.
When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange's theorem that divides
When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite. For example, , but is infinite. If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.
[G : H] = |G| / |H|
In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula
(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite). Thus the index measures the "relative sizes" of G and H.
For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.
When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange's theorem that divides
When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite. For example, , but is infinite. If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.
(интерпретируйте величины как кардинальные числа, если некоторые из них бесконечны). Таким образом, индекс [G : H] измеряет «относительные размеры» G и H.
In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula
(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite). Thus the index measures the "relative sizes" of G and H.
For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.
When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange's theorem that divides
When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite. For example, , but is infinite. If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.
Например, пусть ℤ будет группой целых чисел относительно сложения, и пусть 2ℤ будет подгруппой, состоящей из четных целых чисел. Тогда 2ℤ имеет два класса смежности в ℤ, а именно множество четных целых чисел и множество нечетных целых чисел, так что индекс [ℤ : 2ℤ] равен 2. В более общем случае, [ℤ : nℤ] = n для любого положительного целого числа n.
In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula
(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite). Thus the index measures the "relative sizes" of G and H.
For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.
When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange's theorem that divides
When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite. For example, , but is infinite. If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.
Когда G конечно, формула может быть записана как |G| = |H| [G : H], и она подразумевает теорему Лагранжа, которая утверждает, что |H| делит |G|. Когда G бесконечно, [G : H] — это ненулевое кардинальное число, которое может быть конечным или бесконечным. Например, [ℝ : ℚ] = ℵ₀, но [ℂ : ℝ] бесконечно. Если N — нормальная подгруппа G, то [G : N] равен порядку факторгруппы G/N, поскольку базовое множество G/N — это множество классов смежности N в G.
In mathematics, specifically group theory, the index of a subgroup H in a group G is the
number of left cosets of H in G, or equivalently, the number of right cosets of H in G.
The index is denoted or or Because G is the disjoint union of the left cosets and because each left coset has the same size as H, the index is related to the orders of the two groups by the formula
(interpret the quantities as cardinal numbers if some of them are infinite). Thus the index measures the "relative sizes" of G and H.
For example, let be the group of integers under addition, and let be the subgroup consisting of the even integers. Then has two cosets in , namely the set of even integers and the set of odd integers, so the index is 2. More generally, for any positive integer n.
When G is finite, the formula may be written as , and it implies
Lagrange's theorem that divides
When G is infinite, is a nonzero cardinal number that may be finite or infinite. For example, , but is infinite. If N is a normal subgroup of G, then is equal to the order of the quotient group , since the underlying set of is the set of cosets of N in G.
Бесконечный индекс
Если H имеет бесконечное число смежных классов в G, то индекс H в G называется бесконечным. В этом случае индекс фактически является кардинальным числом. Например, индекс H в G может быть счетным или несчетным, в зависимости от того, имеет ли H счетное число смежных классов в G. Следует отметить, что индекс H не превосходит порядка G, что достигается для тривиальной подгруппы или, фактически, любой подгруппы H бесконечной кардинальности, меньшей, чем у G.
Примеры
Группа O хиральной октаэдрической симметрии содержит 24 элемента. Она имеет двугранную подгруппу D4 (фактически, три такие) порядка 8, и, следовательно, индекс 3 в O, которую мы будем называть H. Эта двугранная группа имеет 4-членную подгруппу D2, которую мы можем назвать A. Умножение справа любого элемента правого смежного класса H на элемент из A дает элемент того же смежного класса H (Hca = Hc). A является нормальной в O. Существует шесть смежных классов A, соответствующих шести элементам симметрической группы S3. Все элементы из любого конкретного смежного класса A выполняют одну и ту же перестановку смежных классов H.
С другой стороны, группа Th пиритоэдрической симметрии также содержит 24 элемента и подгруппу индекса 3 (в данном случае это D2h призматическая группа симметрии, см. точечные группы в трех измерениях), но в этом случае вся подгруппа является нормальной подгруппой. Все элементы конкретного смежного класса выполняют одну и ту же перестановку этих смежных классов, но в этом случае они представляют только 3-элементную чередующуюся группу в 6-элементной симметрической группе S3.