Введение
Функция, сохраняющая структуру между двумя кольцами
In mathematics, a ring homomorphism is a structure preserving function between two rings. More explicitly, if R and S are rings, then a ring homomorphism is a function that preserves addition, multiplication and multiplicative identity; that is,
for all in
These conditions imply that additive inverses and the additive identity are preserved too. If in addition is a bijection, then its inverse −1 is also a ring homomorphism. In this case, is called a ring isomorphism, and the rings R and S are called isomorphic. From the standpoint of ring theory, isomorphic rings have exactly the same properties. If R and S are rngs, then the corresponding notion is that of a rng homomorphism, defined as above except without the third condition f(1R) = 1S. A rng homomorphism between (unital) rings need not be a ring homomorphism. The composition of two ring homomorphisms is a ring homomorphism. It follows that the rings forms a category with ring homomorphisms as morphisms (see Category of rings). In particular, one obtains the notions of ring endomorphism, ring isomorphism, and ring automorphism.
В математике, гомоморфизм колец — это функция, сохраняющая структуру между двумя кольцами. Более точно, если R и S — кольца, то гомоморфизм колец — это функция, сохраняющая сложение, умножение и единичный элемент; то есть, для всех в
In mathematics, a ring homomorphism is a structure preserving function between two rings. More explicitly, if R and S are rings, then a ring homomorphism is a function that preserves addition, multiplication and multiplicative identity; that is,
for all in
These conditions imply that additive inverses and the additive identity are preserved too. If in addition is a bijection, then its inverse −1 is also a ring homomorphism. In this case, is called a ring isomorphism, and the rings R and S are called isomorphic. From the standpoint of ring theory, isomorphic rings have exactly the same properties. If R and S are rngs, then the corresponding notion is that of a rng homomorphism, defined as above except without the third condition f(1R) = 1S. A rng homomorphism between (unital) rings need not be a ring homomorphism. The composition of two ring homomorphisms is a ring homomorphism. It follows that the rings forms a category with ring homomorphisms as morphisms (see Category of rings). In particular, one obtains the notions of ring endomorphism, ring isomorphism, and ring automorphism.
Эти условия подразумевают, что аддитивные обратные элементы и аддитивный нейтральный элемент также сохраняются. Если является биекцией, то её обратная функция −1 также является гомоморфизмом колец. В этом случае называется изоморфизмом колец, а кольца R и S называются изоморфными. С точки зрения теории колец, изоморфные кольца обладают точно такими же свойствами. Если R и S — rng, то соответствующим понятием является гомоморфизм rng, определяемый как выше, за исключением третьего условия f(1R) = 1S. Гомоморфизм rng между (унитальными) кольцами не обязательно является гомоморфизмом колец. Композиция двух гомоморфизмов колец является гомоморфизмом колец. Следовательно, кольца образуют категорию, где гомоморфизмы колец выступают в качестве морфизмов (см. Категория колец). В частности, получаются понятия кольцевого эндоморфизма, кольцевого изоморфизма и кольцевого автоморфизма.
In mathematics, a ring homomorphism is a structure preserving function between two rings. More explicitly, if R and S are rings, then a ring homomorphism is a function that preserves addition, multiplication and multiplicative identity; that is,
for all in
These conditions imply that additive inverses and the additive identity are preserved too. If in addition is a bijection, then its inverse −1 is also a ring homomorphism. In this case, is called a ring isomorphism, and the rings R and S are called isomorphic. From the standpoint of ring theory, isomorphic rings have exactly the same properties. If R and S are rngs, then the corresponding notion is that of a rng homomorphism, defined as above except without the third condition f(1R) = 1S. A rng homomorphism between (unital) rings need not be a ring homomorphism. The composition of two ring homomorphisms is a ring homomorphism. It follows that the rings forms a category with ring homomorphisms as morphisms (see Category of rings). In particular, one obtains the notions of ring endomorphism, ring isomorphism, and ring automorphism.
Примеры
Функция f : Z → Z/nZ, определяемая как f(a) = [a]n = a mod n, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом с ядром nZ (см. модульную арифметику). Комплексное сопряжение C → C является кольцевым гомоморфизмом (это пример кольцевого автоморфизма). Для кольца R с простой характеристикой p, функция является кольцевым эндоморфизмом, называемым эндоморфизмом Фробениуса. Если R и S – кольца, то нулевая функция из R в S является гомоморфизмом кольца тогда и только тогда, когда S – нулевое кольцо (в противном случае она не отображает 1R в 1S). С другой стороны, нулевая функция всегда является гомоморфизмом rng. Если R[X] обозначает кольцо всех многочленов в переменной X с коэффициентами в поле R, а C обозначает комплексные числа, то функция f : R[X] → C, определяемая как f(p) = p(i) (подстановка мнимой единицы i вместо переменной X в многочлен p), является сюръективным кольцевым гомоморфизмом. Ядро f состоит из всех многочленов в R[X], делящихся на . Если f : R → S является кольцевым гомоморфизмом между кольцами R и S, то f индуцирует кольцевой гомоморфизм между матричными кольцами Mn(R) → Mn(S). Пусть V – векторное пространство над полем k. Тогда отображение ρ : k → End(V), заданное как ρ(a)v = av, является кольцевым гомоморфизмом. В более общем случае, для абелевой группы M, модульная структура на M над кольцом R эквивалентна заданию кольцевого гомоморфизма R → End(M). Унитальный алгебраический гомоморфизм между унитальными ассоциативными алгебрами над коммутативным кольцом R является кольцевым гомоморфизмом, который также является R-линейным.
Непримеры
Функция f : Z/6Z → Z/6Z, определенная как f([a]₆) = [4a]₆, является гомоморфизмом rng (и эндоморфизмом rng) с ядром 3Z/6Z и образом 2Z/6Z (который изоморфен Z/3Z). Не существует кольцевого гомоморфизма Z/nZ → Z для любого n ≥ 1. Если R и S – кольца, то включение R → R × S, которое отображает каждый элемент r в (r, 0), является гомоморфизмом rng, но не гомоморфизмом кольца (если S не является нулевым кольцом), поскольку оно не отображает мультипликативную единицу 1 из R в мультипликативную единицу (1, 1) из R × S.
Эндоморфизмы, изоморфизмы и автоморфизмы
Эндоморфизм кольца — это гомоморфизм кольца из кольца в само себя. Изоморфизм кольца — это гомоморфизм кольца, имеющий двустороннее обратное, которое также является гомоморфизмом кольца. Можно доказать, что гомоморфизм кольца является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен как функция на базовых множествах. Если между двумя кольцами R и S существует изоморфизм колец, то R и S называются изоморфными. Изоморфные кольца отличаются только переобозначением элементов. Пример: до изоморфизма существует четыре кольца порядка 4. (Это означает, что существует четыре попарно неизоморфных кольца порядка 4, таких что любое другое кольцо порядка 4 изоморфно одному из них.) С другой стороны, до изоморфизма существует одиннадцать rng порядка 4. Автоморфизм кольца — это изоморфизм кольца из кольца в само себя.
Мономорфизмы и эпиморфизмы
Инъективные кольцевые гомоморфизмы идентичны мономорфизмам в категории колец: Если f : R → S — мономорфизм, который не является инъективным, то он отображает некоторые r1 и r2 в один и тот же элемент S. Рассмотрим два отображения g1 и g2 из Z[x] в R, которые отображают x в r1 и r2 соответственно; f ∘ g1 и f ∘ g2 совпадают, но поскольку f — мономорфизм, это невозможно. Однако сюръективные кольцевые гомоморфизмы существенно отличаются от эпиморфизмов в категории колец. Например, включение Z ⊆ Q является кольцевым эпиморфизмом, но не сюръекцией. Однако они в точности совпадают с сильными эпиморфизмами.