Кіріспе

Оригамидің математикалық принциптеріне қатысты ережелер. Хузита-Джастин аксиомалары немесе Хузита-Хатори аксиомалары – қағазды бүктеу кезінде қолданылатын амалдарды сипаттайтын оригамидің математикалық принциптеріне қатысты ережелер жиынтығы. Аксиомалар амалдардың жазықтықта (яғни, мінсіз қағаз бетінде) орындалатынын және барлық бүктеулердің түзу сызықты болатынын қарастырады. Бұл аксиомалардың ең аз жиынтығы емес, керісінше, мүмкін болатын жеке бүктеулердің толық жиынтығы. Алғашқы жеті аксиоманы француздық қағаз өрілеуші және математик Жак Джастин 1986 жылы ашқан. 1-ден 6-ға дейінгі аксиомаларды жапон-итальяндық математик Хумиаки Хузита қайта ашып, 1991 жылы Оригамиді білім беру және терапия саласында қолдану жөніндегі бірінші халықаралық конференцияда баяндады. 1-ден 5-ке дейінгі аксиомаларды 1995 жылы Окли мен Кливленд қайта тапты. 7-аксиоманы 2001 жылы Коширо Хатори қайта ашты, ал Роберт Дж. Ланг та осы аксиоманы тапқан.

Жеті аксиома

Алғашқы 6 аксиома Юстин аксиомалары немесе Хузита аксиомалары деп аталады. 7-аксиоманы Жак Джастин ашқан. Коширо Хатори мен Роберт Дж. Ланг та 7-аксиоманы тапты. Аксиомалар былай тұжырымдалады:

Екі түрлі нүкте p1 және p2 берілген жағдайда, екеуінен де өтетін жалғыз бүктеу бар. Екі түрлі нүкте p1 және p2 берілген жағдайда, p1 нүктесін p2 нүктесіне орналастыратын жалғыз бүктеу бар. Екі түзу l1 және l2 берілген жағдайда, l1 түзуін l2 түзуіне орналастыратын бүктеу бар. P1 нүктесі және l1 түзуі берілген жағдайда, p1 нүктесінен өтетін және l1 түзуіне перпендикуляр жалғыз бүктеу бар. Екі нүкте p1 және p2 және l1 түзуі берілген жағдайда, p1 нүктесін l1 түзуіне орналастыратын және p2 нүктесінен өтетін бүктеу бар. Екі нүкте p1 және p2 және екі түзу l1 және l2 берілген жағдайда, p1 нүктесін l1 түзуіне, ал p2 нүктесін l2 түзуіне орналастыратын бүктеу бар. Бір нүкте p және екі түзу l1 және l2 берілген жағдайда, p нүктесін l1 түзуіне орналастыратын және l2 түзуіне перпендикуляр болатын бүктеу бар. 5-аксиомада 0, 1 немесе 2 шешім болуы мүмкін, ал 6-аксиомада 0, 1, 2 немесе 3 шешім болуы мүмкін. Осылайша, оригамидің туындаған геометриясы, компас пен сызғыш геометриясынан артық, онда аксиоманың максималды шешімдерінің саны 2-ге тең. Сондықтан компас және сызғыш геометриясы екінші дәрежелі теңдеулерді шешеді, ал оригами геометриясы немесе оригаметрия үшінші дәрежелі теңдеулерді шешеді және бұрыштарды үш бөлікке бөлу және кубты екі еселеу сияқты мәселелерді шешеді. 6-аксиомамен кепілдендірілген бүктеуді жасау үшін қағазды "сығу" немесе неузис қажет, бұл классикалық компас пен сызғыш құрылыстарында рұқсат етілмейді. Неузисті компас пен сызғышпен бірге қолдану кез келген бұрышты үш бөлікке бөлуге мүмкіндік береді.

4-аксиома

P1 нүктесі мен l1 түзуін ескере отырып, l1 түзуіне перпендикуляр және P1 нүктесінен өтетін бірегей бүгілу (қатпар) бар. Бұл P1 нүктесі арқылы l1 түзуіне перпендикуляр табумен тең. Егер біз l1 түзуіне перпендикуляр v векторын тапсақ, онда бүгілудің (қатпардың) параметрлік теңдеуі:

6-аксиома

Екі нүкте p1 және p2 және екі түзу l1 және l2 берілген болса, p1 нүктесін l1 түзуіне, ал p2 нүктесін l2 түзуіне бейімдейтін бүгілу бар. Бұл аксиома екі параболаға бір мезгілде жанасатын түзуді табуға баламалы, және оны үшінші дәрежелі теңдеуді шешумен тең деп санауға болады, себебі әдетте үш шешім болады. Екі параболаның фокустары сәйкесінше p1 және p2 нүктелерінде орналасқан, ал директрисалары сәйкесінше l1 және l2 түзулерімен анықталады. Бұл бүгілу Маргарита П. Белохтың есімімен аталып, Белох бүгілуі деп дараланады, ол 1936 жылы оригамидің жалпы кубтық теңдеулерді шешуге қолданылуын көрсетті.

7-аксиома

Бір нүкте p және қатар емес екі түзу l1 және l2 болғанда, p нүктесін l1 түзуіне бейімдеп, l2 түзуіне перпендикуляр болатын бүктеу бар. Бұл аксиоманы алғаш 1989 жылы Жак Джастин ашқан, бірақ ол ұмытылып, 2002 жылы Коширо Хатори қайта ашқан. Роберт Ланг осы аксиомалар тізімінің оригами аксиомаларын толықтыратынын дәлелдеді.

Құрылымы

Аксиомалардың ішкі жиынтықтары әртүрлі сандар жиындарын құру үшін қолданылуы мүмкін. Алғашқы үш аксиома Алперин «Талиандық құрылымдар» деп атаған нәрсені жасау үшін бір түзу сызықта жатпайтын үш берілген нүктемен бірге қолданылуы мүмкін. Екі берілген нүктесі бар алғашқы төрт аксиома, циркуль мен сызғыш құрылымдарынан әлсіз жүйені анықтайды: осы аксиомалармен бүктелетін кез келген пішін циркуль мен сызғышпен құрылуы мүмкін, бірақ кейбір нысандарды циркуль мен сызғышпен құрастыруға болады, ал оларды осы аксиомалармен бүктеу мүмкін емес. Құрылысы мүмкін сандар оригами немесе пифагорлық сандар деп аталады. Егер екі берілген нүкте арасындағы қашықтық 1 болса, онда құрастырылатын нүктелердің бәрі түрінде болады, мұнда және пифагорлық сандар. Пифагорлық сандар рационалды сандарды қамтитын ең кіші өріспен және осындай сан болғанда беріледі. Бесінші аксиоманы қосу эвклидтік сандарды береді, яғни циркуль мен сызғышпен құрастырылатын нүктелер. Неусис аксиомасын (6) қосу арқылы циркуль мен сызғышпен жасалатын барлық құрылымдар және одан да көптерін жасауға болады. Атап айтқанда, осы аксиомалармен құрастырылатын дұрыс көпбұрыштар жақты болады, мұнда - Пьерпон ажырамас алғашқы сандарының көбейтіндісі. Циркуль мен сызғыш құрылымдары тек жақты көпбұрыштарды ғана құруға мүмкіндік береді, мұнда - Ферма ажырамас алғашқы сандарының көбейтіндісі. (Ферма алғашқы саны - Пьерпон алғашқы сандарының ішкі жиынтығы.) Жетінші аксиома одан әрі аксиомаларды құруға мүмкіндік бермейді. Жеті аксиома аксиомалардың ең төменгі жиынтығы болудың орнына жасалуы мүмкін барлық бір бүктемелі құрылымдарды қамтиды.

Сегізінші аксиома

Сегізінші аксиоманың бар екендігі туралы 2017 жылы Люцеро мәлімдеді, оны былай түсіндіруге болады: берілген l1 сызығы бойынша жиырылу (бүгілу) бар. Жаңа аксиома, жазықтықтағы құрастырылатын нүктелер мен сызықтар арасындағы барлық мүмкін болатын жағдайларды тізімдегеннен кейін анықталды. Ол жаңа сызық тудырмаса да, нақты қағазды бүгу кезінде қажет, себебі қағаздың бір қабатын, тікелей астыңғы қабатта белгіленген сызық бойынша бүктеу талап етіледі.