Введение

Правила, связанные с математическими принципами оригами. Аксиомы Хузиты — Джастина, или аксиомы Хузиты — Хатори, — это набор правил, связанных с математическими принципами оригами, описывающих операции, которые можно выполнять при складывании листа бумаги. Аксиомы исходят из предположения, что операции выполняются на плоскости (то есть на идеальном листе бумаги) и что все сгибы линейны. Это не минимальный набор аксиом, а скорее полный набор возможных одиночных сгибов. Первые семь аксиом были впервые обнаружены французским мастером оригами и математиком Жаком Джастином в 1986 году. Аксиомы с 1 по 6 были повторно открыты японско-итальянским математиком Хумиаки Хузитой и представлены на Первой международной конференции по оригами в образовании и терапии в 1991 году. Аксиомы с 1 по 5 были повторно открыты Окли и Кливлендом в 1995 году. Аксиому 7 повторно открыл Косиро Хатори в 2001 году; Роберт Дж. Ланг также независимо пришел к этой аксиоме.

Семь аксиом

Первые 6 аксиом известны как аксиомы Юстина или аксиомы Хузиты. Аксиома 7 была открыта Жаком Джастином. Косиро Хатори и Роберт Лэнг также обнаружили аксиому 7. Аксиомы следующие:

Для двух различных точек p1 и p2 существует единственная складка, проходящая через обе точки. Для двух различных точек p1 и p2 существует единственная складка, совмещающая точку p1 с точкой p2. Для двух прямых l1 и l2 существует складка, совмещающая прямую l1 с прямой l2. Для точки p1 и прямой l1 существует единственная складка, перпендикулярная l1 и проходящая через точку p1. Для двух точек p1 и p2 и прямой l1 существует складка, совмещающая точку p1 с прямой l1 и проходящая через точку p2. Для двух точек p1 и p2 и двух прямых l1 и l2 существует складка, совмещающая точку p1 с прямой l1 и точку p2 с прямой l2. Для точки p и двух прямых l1 и l2 существует складка, совмещающая точку p с прямой l1 и перпендикулярная прямой l2. Аксиома 5 может иметь 0, 1 или 2 решения, а аксиома 6 может иметь 0, 1, 2 или 3 решения. Таким образом, геометрии, получаемые с помощью оригами, более мощные, чем геометрии, основанные на циркуле и линейке, где максимальное количество решений для аксиомы равно 2. Следовательно, геометрия циркуля и линейки решает уравнения второй степени, в то время как геометрия оригами, или оригаметрия, может решать уравнения третьей степени и решать такие задачи, как трисекция угла и удвоение куба. Построение складки, гарантируемой аксиомой 6, требует "скольжения" бумаги, или неузиса, что недопустимо в классических построениях с использованием циркуля и линейки. Использование неузиса вместе с циркулем и линейкой позволяет трисектировать произвольный угол.

Аксиома 4

При заданной точке p1 и прямой l1 существует единственный сгиб, перпендикулярный l1 и проходящий через точку p1. Это эквивалентно нахождению перпендикуляра к l1, проходящего через p1. Если мы найдем некоторый вектор v, перпендикулярный прямой l1, то параметрическое уравнение сгиба будет:

Аксиома 6

При наличии двух точек p1 и p2 и двух прямых l1 и l2, существует сгиб, который отображает точку p1 на прямую l1, а точку p2 на прямую l2. Эта аксиома эквивалентна нахождению прямой, одновременно касающейся двух парабол, и может рассматриваться как эквивалент решению уравнения третьей степени, поскольку в общем случае существует три решения. Обе параболы имеют фокусы в точках p1 и p2 соответственно, а их директрисы определены прямыми l1 и l2 соответственно. Этот сгиб называется сгибом Белоха в честь Маргариты П. Белоха, которая в 1936 году показала, что с его помощью оригами можно использовать для решения общих кубических уравнений.

Аксиома 7

Для заданной точки p и двух непараллельных прямых l1 и l2 существует сгиб, отображающий точку p на прямую l1 и перпендикулярный прямой l2. Эта аксиома была впервые обнаружена Жаком Джастином в 1989 году, но оставалась незамеченной и была повторно открыта Коширо Хатори в 2002 году. Роберт Ланг доказал, что данный список аксиом полностью определяет аксиоматику оригами.

Конструируемость

Подмножества аксиом могут быть использованы для построения различных множеств чисел. Первые три аксиомы можно использовать с тремя заданными точками, не лежащими на одной прямой, для выполнения того, что Альперин называет тальянскими построениями. Первые четыре аксиомы вместе с двумя заданными точками определяют систему, более слабую, чем построения с помощью циркуля и линейки: любую фигуру, которую можно сложить, используя эти аксиомы, можно построить с помощью циркуля и линейки, но некоторые фигуры можно построить с помощью циркуля и линейки, которые нельзя сложить, используя эти аксиомы. Числа, которые можно построить таким образом, называются числами оригами или пифагорейскими числами. Если расстояние между двумя заданными точками равно 1, то все конструируемые точки имеют вид , где и – пифагорейские числа. Пифагорейские числа задаются наименьшим полем, содержащим рациональные числа и , всякий раз, когда является таким числом. Добавление пятой аксиомы дает евклидовы числа, то есть точки, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Добавление аксиомы 6 (аксиомы неозиса) позволяет выполнять все построения с помощью циркуля и линейки и даже больше. В частности, правильные многоугольники, которые можно построить с использованием этих аксиом, имеют стороны, где является произведением различных простых чисел Пьерпона. Построения с помощью циркуля и линейки допускают только те многоугольники, у которых стороны, где является произведением различных простых чисел Ферма. (Простые числа Ферма являются подмножеством простых чисел Пьерпона.) Седьмая аксиома не позволяет строить дополнительные аксиомы. Семь аксиом описывают все возможные построения одним сгибом, а не представляют собой минимальный набор аксиом.

Восьмая аксиома

Существование восьмой аксиомы было заявлено Луцеро в 2017 году, которую можно сформулировать следующим образом: существует сгиб вдоль заданной прямой l1. Новая аксиома была обнаружена после перечисления всех возможных взаимных положений конструктивных точек и прямых на плоскости. Хотя она и не порождает новую прямую, она тем не менее необходима при практическом складывании бумаги, когда требуется согнуть слой бумаги по линии, отмеченной на слое непосредственно под ним.