Кіріспе

Интегралды есептеуде көбінесе белгісіз интегралдар қарастырылады.

Интегралдау – интегралды есептеудің негізгі амалы. Егер дифференциалдаудың түсінікті ережелері болса, олар арқылы күрделі функцияның туындысын оның қарапайым құраушы функцияларын дифференциалдау жолымен табуға болады, ал интегралдау үшін мұндай ережелер жоқ. Сондықтан белгілі интегралдардың кестелері көбінесе пайдалы болады. Осы бетте ең көп қолданылатын антитуындылардың тізімі келтірілген.

Интегралдардың тарихи дамуы

Интегралдар тізімі (Integraltafeln) мен интегралды есептеу әдістерін жинақтауды 1810 жылы неміс математигі (Мейер Хирш деп те жазылады) жариялады. Бұл кестелер 1823 жылы Ұлыбританияда қайта басылды. 1858 жылы голланд математигі Дэвид Биренс де Хаан өзінің Tables d'intégrales définies үшін кеңейтілген кестелер құрастырды, оны шамамен 1864 жылы Supplément aux tables d'intégrales définies толықтырды. 1867 жылы "Nouvelles tables d'intégrales définies" деген атпен жаңа басылым жарық көрді. Негізінен элементар функциялардың интегралдарын қамтитын бұл кестелер 20 ғасырдың ортасына дейін қолданыста болды. Оларды Градштейн мен Рыжик кестелері алмастырды. Градштейн мен Рыжикте Биренс де Хаанның кітабынан шыққан интегралдар BI арқылы белгіленеді. Барлық жабық түрдегі өрнектердің жабық түрдегі антитуындылары бола бермейді; бұл зерттеу бастапқыда 1830 және 1840 жылдары Жозеф Лиувилл дамытқан дифференциалдық Галуа теориясының тақырыбын құрайды, бұл Лиувилл теоремасына әкелді, ол қандай өрнектердің жабық түрдегі антитуындылары бар екенін жіктейді. Жабық түрдегі антитуындысы жоқ функцияның қарапайым мысалы e^(−x^(2)), оның антитуындысы (константаларға дейін) қателік функциясы болып табылады. 1968 жылдан бері, әдетте компьютерлік алгебра жүйесін пайдалана отырып, элементар функциялар арқылы өрнектелетін анықталмаған интегралдарды анықтау үшін Риш алгоритмі бар. Элементар функциялар арқылы өрнектеуге болмайтын интегралдарды Мейер G функциясы сияқты жалпы функцияларды пайдаланып символдық түрде өңдеуге болады.

Қарапайым функциялар интегралдары

C интегралдың кез келген тұрақтысы ретінде қолданылады, оның мәні интегралдың белгілі бір нүктедегі шамасы туралы қосымша мәлімет болған жағдайда ғана анықталады. Сондықтан, әрбір функцияның шексіз көп антитуындысы болады. Бұл формулалар туындылар кестесіндегі мәлімдемелерді басқа түрінде ғана көрсетеді.

Бірегейлік бар интегралдар

Интегралдайтын функцияда ерекшелік болғанда, туындысы анықталмаған немесе белгілі бір нүктеде (ерекшелік) болса, онда C ерекшеліктің екі жағында да бірдей болуы міндетті емес. Төмендегі түрлер әдетте C мәніндегі ерекшелік бойынша Коши бас мәнін қарастырады, бірақ бұл, жалпы алғанда, қажет емес. Мысалы, онда 0-де ерекшелік бар, ал туындысы шексіз болады. Егер жоғарыдағы интегралды -1 мен 1 арасындағы белгілі интегралды есептеу үшін қолданса, дұрыс жауап 0 алынбайды. Бұл, алайда, ерекшелік маңындағы интегралдың Коши бас мәні. Егер интегралдау кешенді жазықтықта жасалса, нәтиже бастапқы нүктеден айналатын жолға байланысты болады, бұл жағдайда ерекшелік бастапқы нүктенің үстінен өтетін жол үшін -i және бастапқы нүктенің астынан өтетін жол үшін i үлесін қосады. Нақты түзудегі функция бастапқы нүктенің екі жағында C-нің мүлдем басқа мәнін пайдалана алады:

Тригонометриялық функциялар

(Секант функциясының интегралына қараңыз. Бұл нәтиже 17 ғасырда белгілі бір болжам болған.) (Секанттың кубының интегралына қараңыз.)

Бейнероликтер

Қазіргі кездегі ең тиімді интеграция техникасы. Flammable Maths-тың YouTube видеосы симметриялар туралы.