Введение

В основном неопределённые интегралы в математическом анализе.

Интегрирование — основная операция в интегральном исчислении. Если дифференцирование имеет чёткие правила, позволяющие найти производную сложной функции, дифференцируя её более простые составляющие, то для интегрирования таких правил нет, поэтому таблицы известных интегралов часто оказываются полезными. На этой странице перечислены некоторые из наиболее распространённых первообразных.

Историческое развитие интегралов

Сборник списков интегралов (Integraltafeln) и методов интегрального исчисления был опубликован немецким математиком (также известным как Мейер Хирш) в 1810 году. Эти таблицы были переизданы в Великобритании в 1823 году. Более обширные таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком Дэвидом Биренсом де Хааном для его Tables d'intégrales définies, дополненные Supplément aux tables d'intégrales définies примерно в 1864 году. Новое издание было опубликовано в 1867 году под названием Nouvelles tables d'intégrales définies. Эти таблицы, содержащие в основном интегралы элементарных функций, оставались в использовании до середины XX века. Затем они были заменены гораздо более обширными таблицами Градштейна и Рыжика. В таблицах Градштейна и Рыжика интегралы, происходящие из книги Биренса де Хаана, обозначаются как BI. Не для всех выражений в замкнутой форме существуют первообразные в замкнутой форме; это является предметом изучения дифференциальной теории Галуа, которая была первоначально разработана Жозефом Лиувилем в 1830-х и 1840-х годах и привела к теореме Лиувиля, классифицирующей выражения, имеющие первообразные в замкнутой форме. Простым примером функции, не имеющей первообразной в замкнутой форме, является e^(−x^(2)), чья первообразная (с точностью до константы) является функцией ошибок. С 1968 года существует алгоритм Риша для определения неопределённых интегралов, которые могут быть выражены через элементарные функции, как правило, с использованием системы компьютерной алгебры. Интегралы, которые нельзя выразить с помощью элементарных функций, могут быть символически обработаны с использованием специальных функций, таких как функция Межера G.

Интегралы простых функций

C используется для произвольной константы интегрирования, которую можно определить только в том случае, если известно что-либо о значении интеграла в определенной точке. Таким образом, каждая функция имеет бесконечное количество первообразных. Эти формулы лишь перефразируют утверждения, содержащиеся в таблице производных.

Интегралы с сингулярностью

Когда в интегрируемой функции есть сингулярность, при которой первообразная становится неопределенной или в некоторой точке (сингулярности), то константа интегрирования C не обязана быть одинаковой с обеих сторон сингулярности. Приведенные ниже формулы обычно подразумевают использование главного значения по Коши вблизи сингулярности для C, но это, как правило, не является необходимым условием. Например, в рассматриваемом случае есть сингулярность в точке 0, и первообразная становится бесконечной в этой точке. Если использовать вышеуказанный интеграл для вычисления определенного интеграла от -1 до 1, то будет получен неверный результат 0. Однако это и есть главное значение по Коши интеграла вблизи сингулярности. Если интегрирование выполняется на комплексной плоскости, результат зависит от контура обхода начала координат; в этом случае сингулярность вносит вклад −i при обходе сверху и i при обходе снизу. Функция на действительной прямой может использовать совершенно разные значения C по обе стороны от начала координат, как, например:

Тригонометрические функции

(См. Интеграл функции секанс. Этот результат был широко известным предположением в 17 веке.) (См. интеграл секанса в кубе.)

Видео

Самая мощная техника интегрирования, которая когда-либо существовала. Видео на YouTube от Flammable Maths о симметриях.