Кіріспе
Дискреттік ықтималдық үлестірімінен туындаған қуат қатарлары. Ықтималдық теориясында дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдық тудыратын функциясы – бұл кездейсоқ шаманың ықтималдық массалық функциясының қуат қатары түріндегі бейнесі (тудыратын функция). Ықтималдық тудыратын функциялар көбінесе кездейсоқ шама X үшін ықтималдық массалық функциясындағы Pr(X = i) ықтималдықтар тізбесін қысқаша сипаттау үшін және теріс емес коэффициенттері бар қуат қатарларының жақсы дамыған теориясын қолжеткілі ету үшін қолданылады.
In probability theory, the probability generating function of a discrete random variable is a power series representation (the generating function) of the probability mass function of the random variable. Probability generating functions are often employed for their succinct description of the sequence of probabilities Pr(X = i) in the probability mass function for a random variable X, and to make available the well developed theory of power series with non negative coefficients.
Біркелкі жағдай
Егер X – нөлдік емес бүтін сандар жиынындағы {0, 1, …} мәндерді қабылдайтын дискретті кездейсоқ шама болса, онда X-тің ықтималдық тудыратын функциясы былай анықталады:
мұнда p – X-тің ықтималдық массалық функциясы. GX және pX белгілеулері көбінесе осы функциялар нақты X кездейсоқ шамасына және оның үлестіріліміне қатысты екенін көрсету үшін қолданылады. Бұл қуат қатары кем дегенде |z| ≤ 1 шарты орындалған барлық кешенді сандар үшін абсолютті түрде жинақталады; көптеген жағдайларда жинақталу радиусы одан да үлкен.
Көптүрлі жағдай
Егер X d өлшемді теріс емес бүтін сандар торында {0, 1, …}^(d) мәндерін қабылдайтын дискретті кездейсоқ шама болса, онда X-тің ықтималдық тудыратын функциясы былай анықталады:
мұнда p – X-тің ықтималдық тығыздық функциясы. Күштік қатар кем дегенде барлық кешенді векторлар үшін абсолютті түрде жинақталады, яғни:
Қуат сериясы
Ықтималдықты тудыратын функциялар теріс емес коэффициенттері бар қуат қатарларының барлық қағидаларын сақтайды. Атап айтқанда, G(1−) = 1, мұнда G(1−) = limz→1G(z) – z бірге жақындағандағы G(z) шегі, себебі ықтималдықтардың қосындысы бірге тең болуы керек. Осылайша, Абель теоремасы бойынша теріс емес коэффициенттері бар қуат қатарлары үшін, кез келген ықтималдықты тудыратын функцияның конвергенция радиусы кем дегенде 1-ге тең болуы тиіс.
Қарым-қатынас ұғымдары
Ықтималдықты тудыратын функция – тізбек тудыратын функцияның мысалы, сонымен қатар формалды қуат қатарларын қараңыз. Ол ықтималдық массалық функцияның z-трансформациясына тең және кейде осылай аталады. Кездейсоқ шамалардың басқа тудыратын функциялары: момент тудыратын функция, сипаттамалық функция және кумулятивті тудыратын функция. Ықтималдықты тудыратын функция факторлық момент тудыратын функцияға да тең, оны үздіксіз және басқа да кездейсоқ шамалар үшін де қарастыруға болады.