Генераторные функции вероятностей для дискретных случайных величин
Probability-generating function
Генераторная функция вероятности: определение, свойства и применение рядов вероятностей для дискретных случайных величин. Математическая теория вероятностей.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Ряды, порожденные дискретным распределением вероятностей. В теории вероятностей, производящая функция дискретной случайной величины является степенным рядом (генерирующей функцией), представляющим функцию массы вероятности этой случайной величины. Производящие функции вероятностей часто используются для лаконичного описания последовательности вероятностей Pr(X = i) в функции массы вероятности случайной величины X, а также для применения хорошо разработанной теории степенных рядов с неотрицательными коэффициентами.
Power series derived from a discrete probability distribution
In probability theory, the probability generating function of a discrete random variable is a power series representation (the generating function) of the probability mass function of the random variable. Probability generating functions are often employed for their succinct description of the sequence of probabilities Pr(X = i) in the probability mass function for a random variable X, and to make available the well developed theory of power series with non negative coefficients.
Однообразный случай
Если X является дискретной случайной величиной, принимающей значения в неотрицательных целых числах {0, 1, ...}, то производящая функция вероятностей X определяется как
If X is a discrete random variable taking values in the non negative integers {0,1, }, then the probability generating function of X is defined as
где p – функция вероятности (или функция массы вероятности) X. Следует отметить, что индексированные обозначения GX и pX часто используются для того, чтобы подчеркнуть, что они относятся к конкретной случайной величине X и ее распределению. Ряд абсолютно сходится, по крайней мере, для всех комплексных чисел z с |z| ≤ 1; во многих примерах радиус сходимости больше.
where p is the probability mass function of X. Note that the subscripted notations GX and pX are often used to emphasize that these pertain to a particular random variable X, and to its distribution. The power series converges absolutely at least for all complex numbers z with |z| ≤ 1; in many examples the radius of convergence is larger.
Многовариантный случай
Если X – дискретная случайная величина, принимающая значения в d-мерной решетке неотрицательных целых чисел {0, 1, …}^(d), то производящая функция вероятностей X определяется как
If is a discrete random variable taking values in the d dimensional non negative integer lattice {0,1, }^(d), then the probability generating function of X is defined as
где p – функция вероятности массы X. Ряд абсолютно сходится, по крайней мере, для всех комплексных векторов z, удовлетворяющих условию
where p is the probability mass function of X. The power series converges absolutely at least for all complex vectors with
Серия мощности
Функции, порождающие вероятности, подчиняются всем правилам степенных рядов с неотрицательными коэффициентами. В частности, G(1−) = 1, где G(1−) = lim_{z→1} G(z) при z, стремящемся к 1 снизу, поскольку сумма вероятностей должна равняться единице. Следовательно, радиус сходимости любой функции, порождающей вероятности, должен быть не меньше 1, согласно теореме Абеля для степенных рядов с неотрицательными коэффициентами.
Probability generating functions obey all the rules of power series with non negative coefficients. In particular, G(1−) = 1, where G(1−) = limz→1G(z) from below, since the probabilities must sum to one. So the radius of convergence of any probability generating function must be at least 1, by Abel's theorem for power series with non negative coefficients.
Связанные понятия
Функция, порождающая вероятность, является примером порождающей функции последовательности: см. также формальные степенные ряды. Она эквивалентна и иногда называется Z-преобразованием функции вероятностной массы. Другие порождающие функции случайных величин включают функцию моментов, характеристическую функцию и кумулянтную порождающую функцию. Функция, порождающая вероятность, также эквивалентна факториальной порождающей функции, которую можно рассматривать и для непрерывных и других случайных величин.
The probability generating function is an example of a generating function of a sequence: see also formal power series. It is equivalent to, and sometimes called, the z transform of the probability mass function. Other generating functions of random variables include the moment generating function, the characteristic function and the cumulant generating function. The probability generating function is also equivalent to the factorial moment generating function, which as can also be considered for continuous and other random variables.