Хроматикалық гаммадағы дыбыстардың байланысы шеңбері

Кіріспе

Хроматикалық шкаланың тондарының арақатынасы

Музыка теориясында, бесіншілік шеңбер – бұл дыбыстарды таза бесіншіліктер тізбегі ретінде ұйымдастыру тәсілі. C дыбысынан бастап, батыс музыкасының стандартты түйіндеу жүйесін (12 тондық тең темперамент) қолдансақ, тізбек былай болады: C, G, D, A, E, B, F (G), C (D), G (A), D (E), A (B), E (F), C. Бұл рет ең жақын туысқан тональдық есімдерді бір-біріне жақын орналастырады. Ол көбінесе шеңбер түрінде бейнеленеді. 12 тондық тең темперамент түйіндеуі әр октаваны он екі тең жарты тонға бөледі, ал бесіншілік шеңбері бастапқы нүктеден жеті октава жоғары C дыбысына жетеді. Егер бесіншіліктер 3:2 нақты қатынаста түйінделсе (әділ интонация деп аталатын түйіндеу жүйесі), онда бұл жағдай орын алмайды (шеңбер "жабылмайды").

Анықтама

Бесіншілік шеңбер биіктіктерді толық бесіншіліктер тізбегімен ұйымдастырады, әдетте биіктіктер (және оларға сәйкес кілттер) сағат тілімен орналасқан шеңбер түрінде көрсетіледі. Оны сағат тіліне қарсы бағытта төртіншілік шеңбер ретінде де қарастыруға болады. Батыс музыкасындағы гармониялық прогрессиялар көбінесе осы жүйедегі жақын кілттерді пайдаланады, сондықтан ол музыкалық композиция мен гармония үшін пайдалы анықтама болып табылады. Шеңбердің жоғарғы бөлігінде C мажор кілті орналасқан, онда өткір немесе жазы белгілер жоқ. Сағат тілімен қозғалғанда биіктіктер бесіншілікпен жоғарылайды. Осы биіктіктерге байланысты кілттік белгілер де сәйкес түрде өзгереді: G кілтінде бір өткір, D кілтінде 2 өткір және т.б. Шеңбердің жоғарғы бөлігінен сағат тіліне қарсы қозғалғанда ноталар бесіншілікпен төмендейді, ал кілттік белгілер де сәйкес түрде өзгереді: F кілтінде бір жазық, B кілтінде 2 жазық және т.б. Кейбір кілттер (шеңбердің төменгі бөлігінде) өткірлермен де, жазықтармен де жазылуы мүмкін. Кез келген биіктіктен бастап бесіншілікпен жоғарыласа, бастапқы биіктік класына оралғанға дейін барлық дыбыстар туындайды (биіктік класы – октаваға қарамастан, белгілі бір әріппен белгіленген барлық ноталардың жиынтығы, мысалы, барлық «C» ноталары бір биіктік класына жатады). Сағат тіліне қарсы қозғалғанда биіктіктер бесіншілікпен төмендейді, бірақ толық төртіншілікпен жоғарыласа, сол нота октава жоғары шығады (яғни сол биіктік класында). C-ден сағат тіліне қарсы қозғалуды F-ке бесіншілікпен төмендеу немесе F-ке төртіншілікпен жоғарылау деп қарастыруға болады.

Диатоникалық кілттер

Әрбір дыбыс үлкен немесе кіші кілттің тоникасы бола алады, және осы кілттердің әрқайсысымен диатоникалық гамма байланысты. Дөңгелек схема әрбір кілт таңбасындағы диездердің немесе бемольдердің санын көрсетеді, үлкен кілт бас әріппен, ал кіші кілт кішкенә әріппен белгіленеді. Бірдей кілт таңбасын бөлісетін үлкен және кіші кілттер бір-біріне қатысты мажор және минор кілттер деп аталады.

Модуляция және аккордтық прогрессия

Тональды музыка көбінесе жаңа тональды орталыққа модуляция жасайды, оның кілтінің белгісі түпнұсқадан тек бір жазық немесе өткірлікпен ғана ерекшеленеді. Бұл өте жақын байланысты кілттер бір-бірінен квинта арақашықтықта орналасқан, сондықтан квинта шеңберінде жанындас жатады. Акардтық прогрессиялар да көбінесе тамырлары таза квинтамен байланысты хордтар арасында өтеді, сондықтан квинта шеңбері хордтар арасындағы «гармониялық қашықтықты» көрсетуге ыңғайлы. Квинта шеңбері хордтардың гармониялық немесе тоналды функциясын ұйымдастыру және сипаттау үшін қолданылады. Акардтар «функционалдық тізбек» бойынша жоғарылайтын таза кварта (немесе керісінше, төмендейтін таза квинта) үлгісінде дами алады. Бұл квинта шеңбері арқылы көрсетілуі мүмкін (сол арқылы II сатысы IV сатысынан гөрі доминантқа жақын). Осы тұрғыдан алғанда тоникалық немесе тоналды орталық квинта шеңберінен туындаған акордтық прогрессияның соңғы нүктесі болып есептеледі. Ричард Франко Голдманның «Батыс музыкасындағы гармония» еңбегінде: «Диатоникалық қатынастардың ең қарапайым механизмдерінде IV аккорды I-ден ең алыс орналасқан. [Төмендейтін] квинта шеңберінің тұрғысынан алғанда, ол I-ден алыстайды, оған жақындамайды» делінген. Ол I–ii–V–I (шынайы каденция) прогрессиясы I–IV–I (плагальдық каденция) прогрессиясынан гөрі толыққандырақ немесе шешілгендей сезіледі дейді. Голдман Наттизбен келіседі, ол «I–IV–viio–iii–vi–ii–V–I прогрессиясында төртінші сатыдағы хорд II сатысынан бұрын және одан кейінгі соңғы I-ден бұрын пайда болады» дейді, және онда да тоникадан алыс. (Осы және ұқсас мақалаларда үлкен римдік сандар мажорлық үштікті, ал кіші римдік сандар минорлық үштікті білдіреді.)

Тең емес күйдету жүйелерінде шеңберді жабу

Толық бесіндік (жақсы интонация) анықтау үшін жиіліктердің дәл 3:2 қатынасын пайдалану, бесіндік шеңберін айналып келгеннен кейін бастапқы нотаның биіктік класына толыққанды оралуға әкелмейді. Он екі тондық тең темпераменттік настройка бастапқы тоннан дәл жеті октава жоғары тонға оралатын биіктіктерді тудырады және хроматикалық жарты тонның жиілік қатынасын диатоникалық жарты тонмен бірдей етеді. Стандартты темперленген бесіндік 27/12:1 (немесе шамамен 1.498307077:1) жиілік қатынасына ие, бұл жақсы настройкаланған бесіндіктен шамамен екі центке тар. Он екі жақсы настройкаланған бесіндікке көтерілу шеңберді шамамен 23,46 центке жабыстырмайды, бұл шамамен жарты тонның төрттен бірі, Пифагорлық кома деп аталатын интервал. Октаваға он екі тонмен шектелгенде, Пифагорлық настройка он екі бесіндіктің бірінің енін айтарлықтай қысқартады, бұл оны қатты диссонанты етеді. Бұл аномальды бесіндік – қасқыр бесіндігі деп аталады, бұл қасқырдың дұрыс емес нотаны айқайлауына жасалған әзілдеме сілтеме. Созылмаған төрттен бір комалы меантондық настройка он бір бесіндікті тең темпераменттік бесіндіктен сәл таррақ пайдаланады, ал шеңберді жабу үшін әлдеқайда кең және тіпті диссонанты қасқыр бесіндігі қажет. Жақсы интонацияға негізделген күрделірек настройка жүйелері, мысалы 5 лимиттік настройка, шеңберді жабу үшін ең көп дегенде сегіз жақсы настройкаланған бесіндік және кем дегенде үш жақсы емес бесіндік (кейбіреулері сәл тар, ал кейбіреулері жақсы бесіндіктен сәл кең) қолданылады.

Он екіден астам нотасы бар тең күйлі күйлер

Қазіргі кезде электронды изоморфты клавиатуралардың пайда болуымен октавасына он екі нотадан артық нотасы бар тең темпераментті жүйелерді басқа жүйелер үшін бесіншілік шеңберін жабу үшін қолдануға болады. Мысалы, 31 тонды тең темпераменттік жүйе төртінші коменттік меантонға жақын, ал 53 тонды тең темпераменттік жүйе пифагорлық жүйеге жақын.

Тарих

Бесіншілер шеңбері барокко дәуірінің модуляциясын теориялық тұрғыдан түсіндіру үшін 1600-шы жылдардың аяғы мен 1700-шы жылдардың басында пайда болды (қараңыз). Бесіншілер шеңберінің алғашқы диаграммасы композитор және теоретик Николай Дилецкийдің "Грамматика" (1677) шығармасында кездеседі, ол музыкалық теорияны композиция құралы ретінде ұсынуды көздеген. Бұл "орыс аудиториясына батыс стиліндегі полифониялық композицияларды жазуды үйретуге бағытталған" алғашқы жұмыс болды. Неміс композиторы және теоретигі Иоганн Давид Хайнихен өз "Музыкалық шеңбер" деп атаған "Neu erfundene und gründliche Anweisung" (1711) еңбегінде бесіншілер шеңберінің диаграммасын тәуелсіз түрде жасады. Бұл оның "Der General Bass in der Composition" (1728) еңбегінде жарияланды. Хайнихен үлкен тоналдылықты салыстырмалы минорлық тоналдылықтың қасына орналастырды, бұл тоналдылықтардың нақты жақындығын көрсетпеді. Иоганн Маттесон (1735) және басқалар осыны жақсартуға тырысты – Дэвид Келлнер (1737) үлкен тоналдылықтарды бір шеңберде, ал салыстырмалы минорлық тоналдылықтарды екінші, ішкі шеңберде орналастыруды ұсынды. Кейіннен бұл аккордтық кеңістікке дамыды, соған параллель минор да енгізілді. Кейбір дереккөздер бесіншілер шеңберінің ежелгі заманда, Пифагорға белгілі болғанын көрсетеді. Бұл түсініспеушілік және тарихи дұрыс емес мәлімдеме. Бесіншілермен келісімдеу (пифагорлық келісімдеу деп аталады) ежелгі Месопотамияға дейін жетеді; қараңыз, бірақ олар оны он екі ноталық шкалаға дейін кеңейтпеді, жеті нотада тоқтады. Пифагорлық команы Эвклид және қытай математиктері ("Huainanzi" еңбегінде) есептеген; қараңыз. Осылайша, ежелгі заманда он екі бесіншінің циклы шамамен жеті октаваға тең екені белгілі болды (практикалық тұрғыда, кезекпен жоғарылаған бесіншілер мен төмендеген төртіншілер шамамен бір октаваға тең болды). Дегенмен, бұл теориялық білім болды және қайталанатын он екі тондық шкала құруға немесе модуляция жасауға қолданылмады. Бұл кейінірек меттондық темпераментте және он екі тондық тең темпераментте жасалды, бұл әлі де келісімді күйде модуляцияға мүмкіндік берді, бірақ 1500 жылға дейін Еуропада дамыған жоқ. Бесіншілер шеңбері ретінде танымал болғанымен, оның англосаксондық этимологиялық түбірі "бесіншілердің доңғалағы" деген атауға барады.

The circle of fifths developed in the late 1600s and early 1700s to theorize the modulation of the Baroque era (see ). The first circle of fifths diagram appears in the Grammatika (1677) of the composer and theorist Nikolay Diletsky, who intended to present music theory as a tool for composition. It was "the first of its kind, aimed at teaching a Russian audience how to write Western style polyphonic compositions." A circle of fifths diagram was independently created by German composer and theorist Johann David Heinichen in his Neu erfundene und gründliche Anweisung (1711), which he called the "Musical Circle" (German: Musicalischer Circul). This was also published in his Der General Bass in der Composition (1728). Heinichen placed the relative minor key next to the major key, which did not reflect the actual proximity of keys. Johann Mattheson (1735) and others attempted to improve this—David Kellner (1737) proposed having the major keys on one circle, and the relative minor keys on a second, inner circle. This was later developed into chordal space, incorporating the parallel minor as well. Some sources imply that the circle of fifths was known in antiquity, by Pythagoras. This is a misunderstanding and an anachronism. Tuning by fifths (so called Pythagorean tuning) dates to Ancient Mesopotamia; see , though they did not extend this to a twelve note scale, stopping at seven. The Pythagorean comma was calculated by Euclid and by Chinese mathematicians (in the Huainanzi); see Thus, it was known in antiquity that a cycle of twelve fifths was almost exactly seven octaves (more practically, alternating ascending fifths and descending fourths was almost exactly an octave). However, this was theoretical knowledge, and was not used to construct a repeating twelve tone scale, nor to modulate. This was done later in meantone temperament and twelve tone equal temperament, which allowed modulation while still being in tune, but did not develop in Europe until about 1500. Although popularized as the circle of fifths, its Anglo Saxon etymological origins trace back to the name "wheel of fifths."

Барокко дәуірі

Ричард Тарускиннің айтуынша, Арханжело Корелли үлгіні стандартты гармоникалық «троп» ретінде орнатуда ең ықпалды композитор болды: «Дәл сол кезде, он жетінші ғасырдың соңында, бесіншілер шеңбері гармониялық қозғалыстың негізгі қозғалтқышы ретінде «теорияланды», және осы жаңа идеяны іс жүзінде жүзеге асырған композиторлардың ішінде Корелли ең білгірлісі болды». Бесіншілік прогрессия шеңбері Ж.С. Бахтың музыкасында жиі кездеседі. Мысалы, Jauchzet Gott in allen Landen, BWV 51 шығармасында, тіпті соло бас партиясы қатысқан аккордтарды толық айтпаса да, меңзеп көрсетеді:

Гендель өзінің 6-шы клавесин сюитасынан (G минор) Пасакалья бөлімінің негізі ретінде бесіншілік прогрессия шеңберін пайдаланады. Барокко композиторлары бесіншілер шеңберінің гармониясын «қозғаушы күшін» арттыру үшін, «көптеген құрамындағы аккордтарға жетіліктер қосу арқылы» үйренді. «Бұл жетіліктер, диссонанс бола отырып, аяқталу қажеттігін тудырады, осылайша шеңбердің әрбір прогрессиясы бір мезгілде гармониялық кернеуді жеңілдете де, қайтадан жандандыра да алады. Сөйтіп, оны көркемдік мақсаттар үшін пайдалануға болады». Жетіліктерді қолдануды көрсететін керемет үзінділер Гендельдің 1715 жылғы «Амаджи ди Гаула» операсындағы «Пена тиранна» ариясында, сондай-ақ Бахтың Алессандро Марчеллоның «Обои және скрипкаларға арналған концерттің» клавирлік аранжировкасында кездеседі.

Бесіншілердің диатоникалық шеңбері

Диатоникалық бесіншілік шеңбері – тек диатоникалық гамманың ноталарын қамтитын бесіншілік шеңбер. Сондықтан, оның ішінде C мажорда B мен F арасында кемітілген бесінші кездеседі. Құрылым көптеулікке ие екенін көрсетеді. Дөңгелек прогрессиясы көбінесе диатоникалық аккордтар арқылы жүретін бесіншілік шеңбер болып табылады, оның құрамында бір кемітілген аккорд болады. Төменде C мажордағы I–IV–viio–iii–vi–ii–V–I аккордтарынан тұратын дөңгелек прогрессия көрсетілген.

Хроматикалық шеңбер

Бесіншілік шеңбер хроматикалық шеңбермен тығыз байланысты, ол да белгілі бір құрайтын тең темпераментті биіктік сыныптарын дөңгелек тәртіппен орналастырады. Екі шеңбердің басты айырмашылығы – хроматикалық шеңберді үздіксіз кеңістік ретінде қарастыруға болады, онда шеңбердегі әрбір нүкте нақты бір биіктік сыныбына сәйкес келеді, ал әрбір нақты биіктік сыныбы шеңбердегі бір нүктеге сәйкес келеді. Ал бесіншілік шеңбері дискретті құрылым болып табылады, ол нақты аралықтар арқылы құрылған, және оның әрбір нүктесіне биіктік сыныбын тағайындаудың анық жолы жоқ. Осы тұрғыдан алғанда, екі шеңбер математикалық жағынан өте ерекше. Дегенмен, кез келген оң бүтін сан N үшін, N тонды тең темпераменттегі биіктік сыныптары N ретіндегі циклдік топ арқылы немесе, баламалы түрде, N-ге тең қалдық кластары модулі арқылы бейнеленеді. Он екі тонды тең темпераментте топтың төрт генераторы бар, оларды жоғары және төмен жартылау тонмен, сондай-ақ жоғары және төмен толық бесіншімен анықтауға болады. Жартылау тон генераторы хроматикалық шеңберді тудырады, ал толық төртінші және толық бесінші бесіншілік шеңберді тудырады. Басқа көптеген құрайтын түрлерде, мысалы, 31 тең темпераментте, генератор ретінде көптеген интервалдарды қолдануға болады, соның салдарынан көптеген шеңберлер мүмкін болады.

Энахрмониялық эквиваленттер, теориялық кілттер және бестіктер спиралі

Тең темпераментті күйлеулер толық бесіндік қатынасты, дәл 3:2 жиілік арақатынасын қолданбайды, ал таза интонация осы нақты арақатынасты пайдаланады. Тең темпераментте бесіндік қадамдар бастапқы биіктік класына оралуға әкеледі – C нотасынан бастап бесіндік қадамдар жасағанда, белгілі бір қайталанудан кейін тағы да C нотасына жетесіз. Ал егер 3:2 арақатынасы қолданылса (таза интонацияда), мұндай нәрсе болмайды. Тең темпераментте жасалған түзету пифагорлық комма деп аталады. Осы айырмашылықтың нәтижесінде, тең темпераментте энгармониялық түрде тең келетін ноталар (мысалы, 12 тондық тең темпераменттегі C және D, немесе 19 тондық тең темпераменттегі C және D) таза интонацияда бірдей болмайды. Сондықтан таза интонацияда бесіндік қадамдар тізбегін шеңбер емес, спираль ретінде көруге болады. Он екі бесіндік қадамнан тұратын тізбек пифагорлық комма арқылы «комма сорғысын» тудырады, бұл спиральдың бір деңгейіне көтерілу ретінде бейнеленеді. Қосымша қараңыз. Энгармониялық баламаларсыз, бесіндік қадамдар тізбегін жалғастыру қос акциденттерге (қос діріл немесе қос жалпақ) немесе тіпті үш немесе төрт акциденттерге алып келеді. Көптеген тең темпераментті күйлеулерде оларды энгармониялық түрде тең ноталармен алмастыруға болады. Қос діріл немесе қос жалпақтары бар кілттер теориялық кілттер деп аталады; олар 12 тондық тең темпераментте артық, сондықтан оларды қолдану өте сирек, тіпті басқа күйлеулер оларды ерекшелейтін болса да. Мұндай жағдайларда нотация стандарты жоқ. LilyPond-тың әдепкі мінез-құлқы (суретте көрсетілгендей) қос дірілдерді немесе қос жалпақтарды жазудан бұрын, бесіндік шеңбер ретімен бір дірілдерді немесе бір жалпақтарды жазады. Бұл форматты Джон Фолдстың «Әлемдік реквием», Op. 60 операсында қолданған, ол G мажор кілтімен аяқталады, суретте көрсетілгендей. G мажор кілтінің кілттік белгісіндегі дірілдер C, G, D, A, E, B, F ретімен келеді. Кілтік белгідегі жеке дірілдер немесе жалпақтар кейде сыпайылық таныту үшін қайталанады, мысалы, Макс Регердің «Модуляция теориясына қосымшасында», онда 42-45 беттерде D минор кілтінің кілттік белгілері бар. Олардың басында да, соңында да B нотасы бар (қос жалпақ белгісімен), B, E, A, D, G, C, F, B ретімен. LilyPond және Фолдстың конвенциясы бастапқы B нотасын жояды. Кейде қос белгілер кілттік белгінің басында жазылады, содан кейін бір белгілер келеді. Мысалы, F кілтінің кілттік белгісі B, E, A, D, G, C, F деп жазылады. Бұл конвенцияны Виктор Эвальд, Finale бағдарламасы және кейбір теориялық еңбектер қолданады.

Equal temperament tunings do not use the exact 3:2 ratio of frequencies that defines a perfect fifth, whereas just intonation uses this exact ratio. Ascending by fifths in equal temperament leads to a return to the starting pitch class—starting with a C and ascending by fifths leads to another C after a certain number of iterations. This does not occur if an exact 3:2 ratio is used (just intonation). The adjustment made in equal temperament tuning is called the Pythagorean comma. Because of this difference, pitches that are enharmonically equivalent in equal temperaments (such as C and D in 12 tone equal temperament, or C and D in 19 equal temperament) are not equivalent when using just intonation. In just intonation the sequence of fifths can therefore be visualized as a spiral, not a circle—a sequence of twelve fifths results in a "comma pump" by the Pythagorean comma, visualized as going up a level in the spiral. See also
Without enharmonic equivalences, continuing a sequence of fifths results in notes with double accidentals (double sharps or double flats), or even triple or quadruple accidentals. In most equal temperament tunings, these can be replaced by enharmonically equivalent notes. Keys with double sharps or flats in the key signatures are called theoretical keys; they are redundant in 12 tone equal temperament, and so their use is extremely rare, even though most other tunings distinguish them. Notation in these cases is not standardized. The default behaviour of LilyPond (pictured above) writes single sharps or flats in the circle of fifths order, before proceeding to double sharps or flats. This is the format used in John Foulds' A World Requiem, Op. 60, which ends with the key signature of G major, as displayed above. The sharps in the key signature of G major here proceed C, G, D, A, E, B, F.

Single sharps or flats in the key signature are sometimes repeated as a courtesy, e. g. Max Reger's Supplement to the Theory of Modulation, which contains D minor key signatures on pp. 42–45. These have a B at the start and also a B at the end (with a double flat symbol), going B, E, A, D, G, C, F, B. The convention of LilyPond and Foulds would suppress the initial B. Sometimes the double signs are written at the beginning of the key signature, followed by the single signs. For example, the F key signature is notated as B, E, A, D, G, C, F. This convention is used by Victor Ewald, by the program Finale, and by some theoretical works.